高中数学知识点精讲精析 二倍角的三角函数

3.2 二倍角的三角函数
1． 二倍角公式：
αααcos sin 22sin =；)(2αS ；
ααα22sin cos 2cos -=；)(2αC
α
αα2tan 1tan 22tan -=；)(2αT 因为1cos sin 22=+αα，所以公式)(2αC 可以变形为
1cos 22cos 2-=αα或αα2sin 212cos -=)(2
αC ' 探究：
（１）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．
（２）二倍角公式为仅限于α2是α的二倍的形式，其它如α4是α2的两倍，
2α是4α的两倍，α3是23α的两倍，3α是6
α的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．因此，要理解“二倍角”的含义，即当2=β
α时，α就是β的二倍角．凡是符合二倍角关系的就可以应（３）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式．
（4） 公式)(2αS ，)(2αC ，)(2
αC '，)(2αT 成立的条件是: 公式)(2αT 成立的条件是Z k k k R ∈+≠+≠∈,4,2,π
παπ
παα．其他R ∈α（5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）
（6）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
2
2cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α
例1 设α∈(
2π，π)，sin α＝1213，求2α的正弦、余弦和正切。

解：∵α∈(2
π，π)，sin α＝1213 ∴cos α＝－513 则sin2α＝2sin αcos α＝－
120169；cos2α＝1－2sin 2α＝－119169；tan α＝sin cos αα＝120119
——没必要傻乎乎地先去求tan α，再用二倍角正切公式。

例2 用cos α表示cos3α；用sin α表示sin3α。

——设计意图：练练公式，提高兴趣 解：cos3α＝cos2αcos α－sin2αsin α＝(2cos 2α－1)cos α－2cos α(1－sin 2α)＝4cos 3α－3cos α
sin3α＝sin2αcos α＋cos2αsin α＝2sin α(1－sin 2α)＋(1－2sin 2α)sin α＝3sin α－4sin 3α
例3化简：——设计意图：正向、逆向运用公式
解：(1) 1cos 2x sin x －＝22sin x sin x
＝2sinx (2) sin 41cos 4αα＋＝22sin 2cos 22cos 2ααα
＝tan2α ——倍角是相对的：4α是2α的倍角 (3) 1cos 1cos αα＋－＝22
2cos 22sin 2
αα＝cot 22α ——倍角是相对的：α是2α的倍角 (4) cotx －cot2x ＝1tan x －21tan x 2tan x －＝21tan x 2tan x
＋＝2sec x 2tan x ＝12sin x cos x ＝1sin 2x
(5) α∈(－2
π，0) 分析：cos α＞0，sin α＜0
cos α－sin α
(6)
α∈(π，32π)
2cos α
(7) α∈(－2π，0)
2
α
(8) α∈(32π，2π) 分析：cos α＞0，cos 2
α＜0
cos 2
α 例4求值：cos200 cos400 cos800
分析：三个角成倍角关系，创造条件运用倍角公式
解：原式＝
0000
2sin20cos20cos40cos80
2sin20
＝
000
sin40cos40cos80
2sin20
＝
00
sin80cos80
4sin20
＝
sin160
8sin20
＝
1
8。