2016-2017学年九年级上期中数学试卷

2016-2017学年九年级上学期期中数学试卷A
一、选择题（每小题3分，共30分）
1、在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( C )
2、如图，⊙O 的直径AB=2，点D 在AB 的延长线上，DC 与⊙O
相切于点C ，连接AC. 若∠A=30°，则CD 长为 ( )
A .1
3
B .33
C .233
D .3
3、将抛物线y=2x 2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）
A ． y=﹣2x 2﹣12x+16
B ． y=﹣2x 2+12x ﹣16
C ． y=﹣2x 2+12x ﹣20
D ． y=﹣2x 2+12x ﹣19
4、现有A 、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A 立方体朝上的数字为x 、小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （x ，y ），那么它们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线2
4y x x =-+上的概率为（ ） A ．
1
18 B ．
1
12
C ．
1
9 D ．
1
6
5、两年前生产某药品的成本是5000元，现在生产这种药品的成本是3000元，设该药品成本的年平均下降率为x ，则下面所列方程中正确的是( ) A ．5000（1﹣2x ）=3000 B ．3000（1+2x ）=5000 C ．3000（1+x ）2=5000 D ．5000（1﹣x ）2=3000
6、如图所示，△ABC 中，AC=5，中线AD=7，△EDC 是由△ADB 旋转180°所得，则AB 边的取值范围是（ ）
A ．1＜A
B ＜29 B ．4＜AB ＜24
C ．5＜AB ＜19
D ．9＜AB ＜19 7、若方程x 2﹣5x ﹣10=0的两根为x 1、x 2，则的值为（ ）
A ．2
B ．﹣2
C ．
D ．
8、如图，一次函数y 1=x 与二次函数y 2=ax 2+bx+c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y=ax 2+（b ﹣1）x+c 的图象可能是( )
B
O
A
第2题
A ．
B ．
C ．
D ．
9、如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac ＜b 2；②方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3；
③3a+c ＞0④当y ＞0时，x 的取值范围是﹣1≤x ＜3⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大 其中结论正确的个数是（ ）1、2、5
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
10、如图，在正方形ABCD 中，点O 为对角线AC 的中点，过点0作射线OM 、ON
分别交AB 、BC 于点E 、F ，且∠EOF=900
,BO 、EF 交于点P ．则下列结论中： (1)图形中全等的三角形只有两对；(2)正方形ABCD 的面积等于四边
形OEBF 面积的4倍；(3)BE+BF=2 0A ；(4)AE 2
+CF 2
=22
OE ，正确的结论
有
( )个．
A ．1 8．2 C ．3 D ．4 二、填空题（每小题3分，共30分） 11、 元． 12、函数y=
中，自变量x 的取值范围是 ．
13\如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，若AB=6，BC=3，则∠BDC=______度．
14、已知关于x 的一元二次方程2(1)210a x x --+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 15、若函数y=（a ﹣1）x 2﹣4x+2a 的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为 ﹣1或2或1 ．
16、从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数，作为关于x 的一元二次方程x 2﹣x+k=0中的k 值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是
17、菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°，OC=，将菱形OABC 绕点O 旋转90°则点B 对应的坐标为 ．
18．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为 19、已知整数k ＜5，若△ABC 的边长均满足关于x 的方程x 2
－3kx ＋8＝0，则△ABC 的周长是__6或12或10__.
20、如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第n 个图形中小正方形的个数是_______
三、解答题（共60分）
21、（本小题5分）先化简，再求值：（+2﹣x ）÷
，其中x 满足x 2﹣4x+3=0．
22、（本题满分6分）如图已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
23、23（本小题6分）在△ABC中， AB=25，AC=4，BC=2，以AB为边向△AB C外作
△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．
2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB=900．
解：∵AC=4，BC=2，AB=5
分三种情况如图(1)，过点D作DE⊥CB，垂足为点E．易证△ACB≌△BED，
易求CD=210
如图(2)，过点D作DE⊥CA，垂足为点E．易证△ACB≌△DEA，
易求CD=213．
如图(3)，过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．
易证△AFD≌△DEB，易求CD=32
24、（本题7分）某校分别于2014年、2015年随机调查相同数量的学生，对数学课开展变式训练的情况进行调查（开展情况为极少、有时、常常、总是四种），并绘制了部分统计图.请你根据图中信息，解答下列问题：
（1）m= %,n= %, “总是”对应扇形统计图的圆心角的度数为；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校2015年共有1200名学生，请你估计其中认为数学课“总是”开展变式训练的学生有多少名？
（4）与2014年相比，2015年该校开展变式训练的情况有何变化？
1）m= 19 %，n= 10 % ，
144°.--------------------------------------------------------3分
(2)“有时”20人，“常常”62人.------------------------------------------------------------------2分
（3）1200×40%=480，约为480人.------------------------------------------------------------3分
（4）提高很大. （意思相近均可）------------------------------------------------------------2分
25．（本小题满分8分）快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小
时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）请直接写出快、慢两车的速度；
（2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式；
（3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案．
26、（本题满分8分）在▱ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD=BD．（1）如图①，求证：BP+BQ=BC；
（2）请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，若DQ=1，DP=3，则BC=______．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵AP∥CQ，
∴∠APQ=∠CQB，
∴△ADP≌△CBQ，
∴DP=BQ，
∵AD=BD，AD=BC，
∴BD=BC，
∵BD=BP+DP，
∴BC=BP+BQ；
（2）图②：BQ﹣BP=BC，理由是：
∵AP∥CQ，
∴∠APB=∠CQD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠ABP=∠CDQ，
∵AB=CD，
∴△ABP≌△CDQ，
∴BP=DQ，
∴BC=AD=BD=BQ﹣DQ=BQ﹣BP；
图③：BP﹣BQ=BC，理由是：
同理得：△ADP≌△CBQ，
∴PD=BQ，
∴BC=AD=BD=BP﹣PD=BP﹣BQ；
（3）图①，BC=BP+BQ=DQ+PD=1+3=4，
图②，BC=BQ﹣BP=PD﹣DQ=3﹣1=2，
27、（本题满分10分）某中学为贯彻“全员育人，创办特色学校，培养特色人才”育人精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．
（1）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；
（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？
（3）学校已经筹集资金24420元，在（2）的条件下，将剩余资金全部用于奖励“诚实刻苦、博学多才”的学生，设立一等奖价值300元学习用品，二等奖价值200元学习用品，问有多少学生能获得奖励？【解答】解：（1）设组建x个中型图书角，则组建30﹣x个小型图书角
，
解得18≤x≤20，
3种方案；分别为中型18个，小型12个；或中型19个，小型11个；或中型20个，小型10个．（2）设总费用w元，建设中型x个，则小型（30﹣x）个
W=290x+17100，
∵290＞0∴w随x的增大而增大
∴当x=18时，w最小，此时w
=22320元．
最小
答：方案一即建设中型18个，小型12个费用最少，最少为22320元．
（3）剩余资金为24420﹣22320=1100元，设获得200元有a人，300元的有b人．
则200a+300b=1100，
2a+3b=11，方程的整数解为a=1，b=3，
∴一共有4人获得奖励．
28、（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2=0的两个根（OA＞OC）．
（1）求点A，C的坐标；
（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，求出直线AB的解析式
（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）=0，
∴x1=1，x2=2，∵OA＞OC，∴OA=2，OC=1，∴A（﹣2，0），C（1，0）．
（2）将C（1，0）代入y=﹣x+b中，
得：0=﹣1+b，解得：b=1，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+1．
∵点E为线段AB的中点，A（﹣2，0），B的横坐标为0，
∴点E的横坐标为﹣1．
∵点E为直线CD上一点，
∴E（﹣1，2）．
将点E（﹣1，2）代入y=（k≠0）中，
得：2=，解得：k=﹣2．
（3）假设存在，设点M的坐标为（m，﹣m+1），
以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示）：
①以线段BE为边时，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E为线段AB的中点，
∴B（0，4），
∴BE=AB==．
∵四边形BEMN为菱形，
∴EM==BE=，
解得：m1=，m2=，
∴M（，2+）或（，2﹣），
∵B（0，4），E（﹣1，2），
∴N（﹣，4+）或（，4﹣）；
②以线段BE为对角线时，MB=ME，
∴=，
解得：m3=﹣，
∴M（﹣，），
∵B（0，4），E（﹣1，2），
∴N（0﹣1+，4+2﹣），即（，）．
综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（﹣，4+）、（，4﹣）或（，）．。