(新人教)高三数学第一轮复习教案2.2.1函数(1)函数概念

一．课题：函数（1）——函数概念
二．教学目的：1. 能用映射的概念理解函数的概念，掌握函数符号“()y f x =”，掌握区间
的概念；
2. 培养学生理解抽象概念的能力。

三．教学重点、难点：函数的概念 四．教学过程： （一）复习：（提问）
1．什么映射？一一映射？
2．下列对应是不是从A 到B 的映射？
（1）A R =，{|0}B x R x =∈>，f ：||x y x →=； （不是） （2）A B N ==，f ：|3|x y x →=-； （是）
（3）{|0}A x R x =∈>，B R =，f ：x y →= （不是） （4）{|06}A x x =≤≤，{|03}B y y =≤≤，
f ：12x y x →=
f ：13x y x →= f ：x y x →= f ：16
x y x →= （是） （是） （不是） （是） （二）新课讲解： 1．函数的定义：
（1）传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有
唯一的一个值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，自变量x 的取值的集合叫做定义域，自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）近代定义：（从映射的观点定义函数）如果,A B 都是非空的数集，那么A 到B 的映射f ：
A B →就叫做A 到B 的函数，记作()y f x =，其中x A ∈，y B ∈，原象的集合叫做
函数()y f x =的定义域，象的集合C （C B ⊆）叫做函数()y f x =的值域。

说明：①映射f ：A B →，,A B 都是非空的数集；
②函数的三要素：定义域、值域、对应法则；
③函数符号()y f x =表示“y 是x 的函数”，可简记为函数()f x ，有时也用(),()g x F x 。

④()f a 的意义：自变量x 取确定的值a 时，对应的函数值用符号()f a 表示； ⑤定义域：自变量x 的取值的集合， 值域：函数值y 的集合； ⑥两个函数相同：当且仅当函数的三要素全相同。

例1．已知2
()352f x x x =-+，求(3)f ，(f ，()f a ，(1)f a +。

解：2
(3)323114f =+⨯-=
2(3(5(28f =⨯-⨯+=+ 2
()52f a a a =-+
22(1)3(1)5(1)23f a a a a a +=+-++=+．
例2．判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？
（1）3
)
5)(3(1+-+=
x x x y 52-=x y （不是同一函数，定义域不同）
（2）111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y （不是同一函数，定义域不同）
（3）x x f =)( 2
)(x x g =
（ 不是同一函数，值域不同）
（4）
x x f =)( 33)(x x F = （是同一函数）
（5）21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f （不是同一函数，定义域、值域都不同）
2．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则也不同，
这样的函数通常称为分段函数。

说明：分段函数是一个函数，而不是几个函数。

例3．用分段函数表示()|1|f x x =-，并求(0),(2),(3)f f f -． 解：1(1)
()1(1)x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩
(0)1f =，(2)1(2)3f -=--=，(3)312f =-=．
例4．已知234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪
=⎨⎪<⎩
，求(2)f -，((1))f f ，((0))f f ．
解：(2)0f -=，2
((1))(314)(1)0f f f f =⨯-=-=，2
((0))()34f f f ππ==-．
3．区间的概念：
设,a b 是两个实数，而且a b <，规定：
（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ； （2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ；
（3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[,)a b ，(,]a b ．
这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点。

在数轴上，这些区间可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示（如下表），在图中，用实心点
表示包括在区间内的端点，空心点表示不包括在区间内的端点。

无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”；
2.满足x a ≥，x a >，x b ≤，x b <的实数x 的集合分别表示为[,)a +∞，(,)a +∞，
(,]b -∞，(,)b -∞.
五．小结：1．函数的概念；分段函数概念；
2．函数的三要素；
3．函数符号“()y f x =”，区间的概念。

六．作业：习题2.2 第1题 补充：1．已知：243()32x f x x +=
-，求(3)f -，(0)
f ，1()2f ，1
()4
f ； 2．已知集合{|54}A x x =-<<，{|1B x x =≥或0}x <，用区间表示A ，B ，
A B I ，A B U ．
3．已知函数2(0)()1(0)0(0)x x f x x x ⎧>⎪
==⎨⎪<⎩
，求(2)f ，(2)f -，((2))f f -，(((2)))f f f -．。