高二数学 上学期两条直线的位置关系 第三课时教案二
人教版高中必修2(B版)2.2.3两条直线的位置关系课程设计
人教版高中必修2(B版)2.2.3两条直线的位置关系课程设计1. 课程背景在平面直角坐标系中，探究两条直线的位置关系是数学课程中的重要内容。
这不仅是因为在日常生活中，我们经常会遇到两条直线相交、互相平行或重合的情况，还因为这种探究可以促进学生运用数学知识解决实际问题的能力。
因此，对于学习高中数学的学生而言，学会判断两条直线的位置关系，以及运用相关定理和方法求解问题是必不可少的。
2. 教学目标•掌握两条直线的位置关系：相交、平行、重合。
•学会判断两条直线的位置关系的方法和定理。
•运用判断两条直线的位置关系的方法和定理解决实际问题。
3. 教学内容3.1 两条直线的位置关系3.1.1 相交的情况两条不重合的直线在平面直角坐标系中有且只有一个交点。
3.1.2 平行的情况两条直线没有交点，且在平面直角坐标系中具有完全相同的方向。
3.1.3 重合的情况两条直线有无限多个交点，且在平面直角坐标系中完全重合。
3.2 判断两条直线的位置关系的方法和定理3.2.1 用斜率判断两条直线的位置关系当两条不重合的直线的斜率不相等时，它们必相交。
如果两条直线的斜率相等且不相交，那么它们必平行。
3.2.2 用截距判断两条直线的位置关系当两条不重合的直线的截距不相等时，它们必相交。
如果两条直线的截距相等且不相交，那么它们必平行。
3.2.3 用一般式判断两条直线的位置关系两条直线的一般式方程分别为Ax+By+C=0和Dx+Ey+F= 0，如果A/D eqB/E，则表示它们必相交；如果A/D=B/E eqC/F，则表示它们必平行；如果A/D=B/E=C/F，则表示它们重合。
3.3 运用方法和定理解决实际问题讲解完判断两条直线的位置关系的方法和定理后，分别进行计算和解答下列实际问题：1.已知两条直线L1,L2的一般式分别为2x−3y+4=0和4x−6y−2=0，试求它们的位置关系。
2.在平面直角坐标系中，有一对平行的铁路轨道，其中一条距离x轴的距离为3，另一条距离x轴的距离为7。
高中两直线位置关系教学设计
篇一：两条直线的位置关系教学设计两条直线的位置关系教学设计新课改下教师的教学策略要实现新转变,由重知识传播向学生发展转变,由重教师教学内容选择向重学生学习方法指导转变,由统一规格教育向差异性教育转变。
教师在教学方法上要有新的突破,在课堂教学的设计上要多下功夫。
本着这个理念,我在两条直线的位置关系教学设计中做了以下工作:一、教学背景分析1、教材结构分析。
“两直线的位置关系”安排在《全日制普通高级中学教科书(必修)数学》第二册(上)第七章第3节第一课时。
主要内容是两直线平行与垂直条件的推导和公式的应用。
从初中平面解析几何中平行和垂直的定性过渡到高中解析几何的定量计算。
它是学生在研究了直线倾斜角、斜率、直线方程的基础上学习的又一平面解析几何的基础知识。
本节的研究,将直接影响以后的曲线方程、导数、微分等的进一步学习,贯穿于高中教学的始终,具有承上启下的作用。
2、学情分析。
两条直线位置关系的探究是学生在已经掌握了三角函数、平面向量的基础上进行的。
说明学生已具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力。
但由于学生接触平面解析几何的时间还不长学习程度较浅,特别是处理抽象问题的能力还有待提高,在学习过程中可能会出现困难。
因此,教师要在今后的教学滚动中逐步深化,使之和学生的知识结构同步发展完善。
3、教学目标。
(1)知识和技能目标。
①理解两条直线平行与垂直充要条件的推导、公式及应用。
②能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
(2)过程与方法目标。
①通过探索两条直线平行或垂直的充要条件和推导过程,培养学生“会观察”、“敢归纳”、“善建构”的逻辑思维能力,渗透算法的思想。
②通过灵活运用公式的过程,提高学生类比化归、数形结合的能力。
(3)情感态度和价值目标。
培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣即成为本节的情感目标。
4、教学重点与难点.根据学生现状、教学目标及教材内容分析,确立本节课的教学重点为两条直线垂直和平行的条件。
高二数学：两条直线的位置关系(教案参考)
高中数学标准教材高二数学：两条直线的位置关系(教案参考)Mathematics is the door and key to science. Learning mathematics is a very important measure to make yourself rational.学校：______________________班级：______________________科目：______________________教师：______________________--- 专业教学设计系列下载即可用 ---高二数学：两条直线的位置关系(教案参考)教学目标（1）熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断．（2）理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角．（3）能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标．（4）掌握点到直线距离公式的推导和应用．（5）进一步掌握求直线方程的方法．（6）进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法．（7）通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法．教学建议一、教材分析1．知识结构2．重点、难点分析重点是两条直线的平行与垂直的判断；两条直线的夹角；点到直线的距离．难点是两条直线垂直条件的推导；一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导．本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的应用，因此非常重要．（1）平行与垂直①平行在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件（即判定定理和性质定理）转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况．②垂直教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件．结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：或一个为0，另一个不存在．（2）夹角①应正确区分直线到的角、直线到的角、直线和的夹角这三个概念．到的角是带方向的角，它是指按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，它与到的角是不同的，如果设前者是，后者是，则＋＝．与所夹的不大于的角成为和的夹角，夹角不带方向．当到的角为锐角时，则和的夹角也是；当到的角为钝角时，则和的夹角也是．②在求直线到的角时，应注意分析图形的几何性质，找出与，的倾斜角，关系，得出或，然后由，联想差角的正切公式，便可把图形的几何性质转化为坐标语言来表示，推导出．再由与的夹角与到的角之间的关系，而得出夹角计算公式这种把“形”转化为“数”的方法，是解析几何的基本方法，要认真揣摩．③对于以上两个求角公式，在解决实际问题时，要注意根据具体情况选用．（3）交点①求两条直线的交点问题就是求它们的方程的公共解的问题，这可以由直线的方程与方程的直线的定义来理解．②在同一平面内，两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合，相应的由直线方程组成的二元一次方程组的解有三种情况：有惟一解、无解、无数多个解．但在实际判定时，利用直线的斜率和截距更方便．若，，则：与相交；且；与重合且．（4）点到直线的距离①点到直线的距离公式是研究点与直线位置关系的重要工具．教科书借助于直角三角形的面积公式，推导出点到直线的距离公式．在推导过程中，把与两条坐标轴都不平行的线段的长度的计算，转化为与坐标轴平等或垂直的线段长度的计算，从而简化了运算过程．②利用点到直线的距离公式可推出两平行线，间的距离公式：．③点到直线距离公式的推导，有多种方法，应鼓励同学们思考，下面介绍一种较简便的方法．如右图，设，过点作直线的垂线，垂足为，则有即得，即，．当时，上述公式也成立．（5）当直线中有一条没有斜率时，讨论平行、垂直、角、距离的问题，不必套用以上结论，这时可结合图形几何性质；直接求解．二、教法建议1．本节知识与初中所学的平面几何知识和三角知识联系非常紧密，教学时应加强启发和引导．如学生对两条直线的平行同位角相等的条件已经非常熟悉，因此在研究两直线平行时，应引导学生迅速建立联系：同位角—倾斜角—斜率（直线方程）．又如，在求到的角时，根据图形中角的关系，建立与倾斜角和的联系（有且只有或两种情况），进而借助三角建立与斜率的关系，得出公式．2．本节内容中在研究两直线的垂直条件时，由于采用向量这一更高级的工具来处理，显得既简单又深刻．所以教学中应注意向量工具的运用，可让学生尝试用向量推导两直线平行的条件和点到直线距离公式的推导．3．本节内容新概念不多，但要求推导的内容不少，教学时要坚持启发式的教学思想，重点放在思路的探求和结论或公式的运用上．本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能熟练地掌握公式，增强学生动手计算的能力．本节还要加强根据已知条件求直线方程的教学．4．不仅要使学生熟悉用斜率求两直线夹角的公式，也要掌握根据直线方程系数求夹角的方法（即教材中例6的方法），同时会根据所给条件选用．5．已知两直线的方程会求其交点即可，不必研究两直线方程系数与位置关系之间的关系．6．在学习点到直线距离公式时，可利用课余时间发动学生寻找更多的推导公式的方法，并通过寻找多种推导公式的方法，锻炼思维，培养能力．7．本节学完以后学生可以解决很多较复杂、较综合的问题，如对称问题、直线系过定点问题、光路最短与足球射门角度最大等最值问题．教学中应适当安排一些这样的内容，以训练学生思维和培养学生分析问题、解决问题的能力．教学设计方案课题：点到直线的距离教学目标：（1）理解点到直线距离公式的推导过程.（2）会求点到直线的距离.（3）在探索点到直线距离公式推导思路的过程中，培养学生发散思维、积极探索的精神.教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程：一、引入点到直线的距离是指过点作的垂线，与垂足之间的长度【问题1】已知点（-1，2）和直线：，求点到直线的距离．（由学生分析、解答）分析：先求出过点和垂直的直线：：，再求出和的交点∴如果把问题1一般化就有如下问题：【问题2】已知：和直线：（不在直线上，且，），试求点到直线的距离．二、点到直线距离分析1：要求的长度可以象问题1的解法一样，利用两点的距离公式可以求的长度．∵点坐标已知，∴只要求出点坐标就可以了．又∵点是直线和直线的交点又∵直线的方程已知∴只要求出直线的方程就可以了.即：←点坐标←直线与直线的交点←直线的方程←直线的斜率←直线的斜率（这一解法在课前由学生自学完成，课上进行评价总结）问：这种解法好不好，为什么? 根据学生讨论，教师适时启发、引导，得出分析2：如果垂直坐标轴，则交点和距离都容易求出，那么不妨做出与坐标轴垂直的线段和，如图1所示，显然相对而言，和好求一些，事实上，设到直线的距离为，坐标为，坐标为，则易求：，所以：，所以：根据三角形面积公式：所以：（至此问题2已经解决）公式的完善.容易验证（由学生完成）：当，即轴时，公式成立；当，即轴时，公式成立；当点在上时，公式成立．公式结构特点师生一起总结：（1）分子是点坐标代入直线方程；（2）分母是直线未知数、系数平方和的算术根．类似于勾股定理求斜边的长三、检测与巩固练习1（1）到直线的距离是____．（2）到直线的距离是_____．（3）用公式解到直线的距离是____．（4）到直线的距离是_____．订正答案：（1）5；（2）0；（3）；（4）．练习21．求平行直线和的距离．解：在直线上任取一点，如，则两平行线的距离就是点到直线的距离．因此，＝＝【问题3】两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢？求两条平行直线与 0的距离．解：在直线上任取一点，如则两平行线的距离就是点到直线的距离，（如图2）．因此，＝＝注意：用公式时，注意一次项系数是否一致．四、小结作业 1、点到直线的距离公式及其推导；师生一起总结点到直线距离公式的推导过程：2、利用公式求点到直线的距离．3、探索两平行直线的距离4、探索“已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线距离．作业：P54 13、14、16思考研究：运用多种方法推导点到直线的距离公式．探究活动研究性学习点到直线距离公式是本节的重点和难点之一，公式的推导历来是探索的重点．教材上的第二种方法较传统已有不少改进，但运用向量的理论研究的新思想在这一问题上没有体现，而运用向量理论推导点到直线的距离公式又是可行的，因此尝试用向量推导距离公式是很有意义的．为此设计如下研究性题目：试用向量的理论推导（或证明）点到直线的距离公式．简要思路：首先规定直线的法向量．设直线的方程为，是上任意一点，则的方程可表示为的形式．由向量内积的概念可知向量是与直线的方向向量垂直的向量，我们把称为直线的法向量．其次推导点到直线的距离公式．设是直线：外的一点，是上的任一点，垂直于．则所求为．如图５，不妨l的法向量到的角为，则不论为锐角还是钝角，总有，因为：1 2 页XXX图文设计本文档文字均可以自由修改。
《两条直线的位置关系》教学设计
《两条直线的位置关系》教学设计教学目标：1.理解两条直线的位置关系，包括平行、垂直、相交和重合等概念；2.能够判断两条直线的位置关系，并能够正确地使用相关术语和符号描述直线的位置关系；3.能够解决与两条直线的位置关系相关的简单几何问题。
教学重难点：1.理解和判断两条直线的位置关系，需要正确理解并运用直线平行、垂直、相交和重合的定义和判断方法；2.解决与直线位置关系相关的几何问题，需要能够灵活运用所学的知识和方法。
教学准备：白板、黑板、彩色粉笔、直尺、尺规、活动卡片等。
教学过程：Step 1 导入新知通过给学生展示两条平行直线和两条垂直直线的例子，让学生自由讨论这两组直线有什么特点和相同之处。
引导学生发现并总结出直线平行和直线垂直的定义，并用文字和图形表示出来。
Step 2 引入新知给学生展示两条相交直线和两条重合直线的例子，让学生自由讨论这两组直线有什么特点和相同之处。
引导学生发现并总结出直线相交和直线重合的定义，并用文字和图形表示出来。
Step 3 巩固练习1.给学生出示一些图片或图形，让他们判断两条直线的位置关系，并用文字和图形表示出来。
鼓励学生积极参与讨论，并相互交流观点，帮助他们提高判断和表达能力。
2.提供一些简单的几何问题，要求学生利用所学的知识和方法解决。
例如：已知AB和CD是两条平行直线，EF是另一条与它们相交的直线，求证EF与AB的垂直距离等。
鼓励学生积极思考，相互合作，培养解决问题的能力。
Step 4 拓展延伸给学生展示一些有趣的几何问题，让他们利用所学的知识和方法解决。
例如：已知AB是平行于CD的直线，在直线上任取一点E，证明AE与CD的垂直距离等。
引导学生通过解决这些问题，进一步巩固和深化对直线位置关系的理解和应用。
Step 5 归纳总结通过学生的讨论和解决问题的过程，引导学生总结直线位置关系的定义和判断方法，并归纳出相关的术语和符号。
将这些总结内容写在黑板上，供学生参考和复习。
数学《两条直线的位置关系》教学设计
教师活动
预设学生活动
设计意图
一、创境导入，初识垂线预习成果展示（课前预习作业附后）
1.创设情境走进生活 引入课题 如图，小明欲穿过马路，那么，从点A到马路对面最短的路线是怎样的？
2.检查预习垂直的概念 ，教师课前利用网络群发布预习作业 。
1. 斑马线处穿过马路最短路线是怎样的？拍摄或搜集图片说明。 2.这条路线与一条斑马线两条线之间的关系是怎样的？在生活中还有这种关系的图片吗？（展示学生课前搜集的图片）
教学设计模板：
教学设计
课题名称：两条直线的位置关系
姓名：
工作单位：
学科年级：
教材版本：
一、教学内容分析
本节的主要内容就是对垂直关系进行研究，明确概念，探讨性质，画图操作。学习本节课会为今后学习三角形、四边形等数学知识提供条件和依据，因此《垂直》在数学学习中是重要的基础内容。本节的任务就是引导学生由表及里，深入认识垂直这一特殊相交关系的本质特征,还涉及到垂直的两条性质，这些知识的学习直接影响后续学习的情况，是进一步学习平面直角坐标系、三角形的高、切线的性质和判定、以及空间里的垂直关系等知识的基础，因此本节课垂直的教学极其重要。
三、学习者特征分析
知识基础：在学习本节课前，学生已了解过垂直的概念及画法，学生对两条直线相交已有认识，在直观，表象的层面已有认知。以前的内容，和上节课的相交线也为本节课的学习做好铺垫。
认知能力：（1）由于在之前的学习中，学生接受几何知识能力较差，很多学生并不能真正理解垂直概念中所蕴含的识别与性质，而垂线的两条性质的获得只是通过画图以及测量、比较等方法获得的，由于两条性质的文字表达极其精炼并且准确，例如“有且只有”，对于初中学生来说，归纳、表述和理解都有难度。所以，本节课难点，垂线的性质探索。（2）经过之前的学习，学生已经初步掌握了垂直的概念，有一定的分析和总结归纳能力，但学生对抽象概念的理解可能还有困难，再加上本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求。另外，学生在探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，所以学生学习起来仍有一定难度。
高中数学人教版必修2 2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系 教案(系列二)
珍贵文档2.1.2 空间中直线与直线的位置关系姓名： ；班级： 1探究导航[知识要点]1.两条直线的位置关系；2.平行线间的传递性（公理4）；3.空间的等角定理；4.异面直线所成的角（或夹角）；5.空间两条直线互相垂直．[学习要求]1.了解空间中两条直线的位置关系；2.掌握公理4及等角定理3.理解异面直线的概念；4掌握异面直线所成角的求法． 2记忆和理解教材新知知识点一：空间两条直线的位置关系 [提出问题]问题1：在同一平面内，两条直线有怎样的位置关系？ 问题2：若把立交桥抽象成一条直线，它们是否在同一平面内？有何特征？问题3：观察一下，日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在直线，是否也具有类似的特征？ [导入新知] 1．异面直线（1）定义：不同在 的两条直线． （2）异面直线的画法2．空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种． （1）若从公共点的数目分，可以分为： ① 只有一个公共点—— ；② 没有公共点（2）若从平面的基本性质分，可以分为：① 在同一平面内② 不同在任何一个平面内—— ； 思考：若βα⊂⊂b a ,，那么a 与b 一定是异面直线吗？知识点二：平行公理及等角定理 [提出问题]1．同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行． 问题：空间中是否有类似规律？ 2．观察下图中的AOB ∠与B O A '''∠问题1：这两个对应的两条边之间有什么样的位置关系？问题2：测量一下，这两个角的大小关系如何？[导入新知]1．平行公理（公理4）（1）文字表述：平行于同一直线的两条直线，这一性质叫做空间．符号表述：⇒⎭⎬⎫cbba////．2．等角定理：空间中如果两个角的两边分别，那么这两个角或．3．异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线ba,，经过空间任意一点O作直线bbaa//,//''，我们把a'与b'所成的（或）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．（2）异面直线所成的角θ的取值范围：．（3）当=θ时，异面直线a与b垂直，记作：．3突破常考题型题型一：两条直线位置关系的判定[例1]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是；②直线A1B与直线B1C的位置关系是；③直线D1D与直线D1C的位置关系是；④直线AB与直线B1C的位置关系是．[活学活用]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和B1C1的中点，问：（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．题型二：平行公理及等角定理的应用[例2]在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CD和AD的中点．（1）求证：四边形MN A1C1是梯形；（2）求证：111CADDNM∠=∠珍贵文档[活学活用]已知如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．题型三：两异面直线所成的角[例3]如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求异面直线CD1，EF所成角的大小．[活学活用]已知正方体ABCD-A1B1C1D1．（1）哪些棱所在的直线与直线BA1是异面直线？（2）直线BA1和CC1的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？珍贵文档珍贵文档4应用落实体验 [随堂即时演练]1．如图，是长方体的一条棱，这个长方体中与AA 1平行和异面的棱的条数是（ ）A ．6，4B ．3，4C ．5,，8D ．8，42．已知如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，2321===AA AD AB ,．BC 和A 1C 1以及BC 1和AB 1所成的角分别是（ ）A ．6045, B ．4545, C ．9060, D ．6030, 3．如果B O OB A O OA ''''//,//，那么AOB ∠和B O A '''∠ ．4．已知b a ,是异面直线，直线c //直线a ，那么c 与b 的位置关系 ．5．如图所示，空间四边形ABCD 中，AB=CD ，CD AB ⊥， E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．5课时跟踪检测A 组基础达标1．空间两个角βα,，且α与β的两边对应平行，60=α，则β为（ ）A ． 60B ． 120C ． 30D ． 60或 120 2．给出下列四个命题：①若b a ,是异面直线，c b ,是异面直线，则c a ,异面； ②若直线b a ,相交，c b ,相交，则c a ,相交； ③若b a //，则b a ,与c 所成的角相等； ④若c b b a ⊥⊥,，则c a //． 其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是（ ）A．梯形B．矩形C．平行四边形D．正方形4．在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且352===PRQRPQ,,，那么异面直线AC和BD所成的角是（）A．90B．60C．45D．305．在三棱锥A—BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角是60，那么FEG∠为（）A．60B．30C．120D．60或1206．如图，将无盖的正方体纸盒展开，直线AB，CD，在原正方体的位置关系是（）A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成607．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是．8．已知ba,为不垂直的异面直线，α是一个平面，则ba,在α上的射影有可能的是（）①两条平行的直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在以上结论中，正确的是（写出所有正确的结论的编号）9．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别AA1，CC1是的中点．求证：1EDBF//且1EDBF=10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求（1）AA1与B1C所成的角；（2）A1B与B1C所成的角．珍贵文档珍贵文档B 能力提升11．如图，在空间四边形ABCD 中，两条对边3==CD AB ，E ，F 分别是另外两条对边AD ，BC 上的点，且521===EF FC BF ED AE ,，求AB 和CD 所成的角的大小．。
2.1.3两条直线的位置关系 教案(北师大版必修二)
1．3两条直线的位置关系(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能根据两条直线的斜率判定平行或垂直．(2)能运用两条直线的平行或垂直，求直线的方程．2．过程与方法通过对两条直线平行、垂直关系的判定，培养学生发现数学规律的思维方法与能力．3．情感、态度与价值观学习用数学思维方法解决问题、认识问题，不断提高学习数学的兴趣．●重点难点重点：两条直线平行或垂直的判定和性质的应用．难点：直线无斜率时平行或垂直的关系．教学时要抓住知识的切入点，从学生原有的认识水平和所需的知识特点入手，引导学生结合初中学习的平面几何知识，不断观察、分析发现平行、垂直的判定，引导学生从倾斜角与斜率的关系入手思考，从而化解难点，强化重点．(教师用书独具)●教学建议在初中学习了平面几何中两直线平行或垂直的判定、性质定理的基础上，本节内容进一步在直角坐标系中根据直线方程特征来判断两直线平行或垂直关系，教学时引导学生从倾斜角与斜率的关系寻找两直线平行或垂直的条件，让学生讨论、探究，总结出两直线平行或垂直的结论．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，归纳、理解平行或垂直的有关结论⇒通过例1及变式训练，使学生掌握两直线平行、垂直的判定方法⇒通过例2及互动探究，使学生掌握利用垂直、平行关系求直线方程⇒通过例3及变式训练，使学生掌握平行、垂直的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并反馈、矫正1．直线y＝x＋1与y＝x－1，它们的斜率分别是多少？它们有什么位置关系？2．直线y＝－x与y＝x的斜率是什么？它们有什么位置关系？3．直线x＝3和y＝3，有什么位置关系？【提示】 1.斜率均为1，平行.2.斜率分别为－1,1，垂直.3.垂直．(1)l 1：3x ＋5y －6＝0，l 2：6x ＋10y ＋3＝0； (2)l 1：3x －6y ＋14＝0，l 2：2x ＋y －2＝0； (3)l 1：x ＝2，l 2：x ＝4； (4)l 1：y ＝－3，l 2：x ＝1.【思路探究】 利用两直线斜率和在坐标轴上截距的关系来判断．【自主解答】 (1)将两直线方程各化为斜截式：l 1：y ＝－35x ＋65，l 2：y ＝－35x －310.则k 1＝－35，b 1＝65，k 2＝－35，b 2＝－310.∵k 1＝k 2，b 1≠b 2，∴l 1∥l 2.(2)l 1：y ＝12x ＋73，l 2：y ＝－2x ＋2.则k 1＝12，k 2＝－2，∵k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(3)直线l 1、l 2的斜率均不存在，且2≠4. ∴l 1∥l 2.(4)直线l 1的斜率k 1＝0，直线l 2斜率不存在． ∴l 1⊥l 2.1．判断两直线位置关系应注意斜率不存在的情况． 2．判断两直线平行、垂直的方法已知点A (2,2＋22)，B (－2,2)和C (0,2－22)可组成三角形，求证：△ABC 为直角三角形．【证明】 ∵k AB ＝2－(2＋22)－2－2＝22，k BC ＝2－22－20－(－2)＝－2，∴k AB ·k BC ＝－1， ∴AB ⊥BC ，∴△ABC 为直角三角形．(1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．【思路探究】 利用两条直线的位置关系，设出直线的方程，然后由另一条件确定直线方程．【自主解答】 法一 ∵直线l 的方程为3x ＋4y －20＝0，∴k l ＝－34.(1)设过点A 与直线l 平行的直线为l 1，∵k l ＝kl 1，∴kl 1＝－34.∴l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0.(2)设过点A 与直线l 垂直的直线为l 2，∵k l ·kl 2＝－1，∴(－34)·kl 2＝－1，∴kl 2＝43.∴l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.法二 (1)设所求直线方程为3x ＋4y ＋C ＝0， ∵点(2,2)在直线上，∴3×2＋4×2＋C ＝0，∴C ＝－14. ∴所求直线方程为3x ＋4y －14＝0. (2)设所求直线方程为4x －3y ＋λ＝0， ∵点(2,2)在直线上， ∴4×2－3×2＋λ＝0，∴λ＝－2，即所求直线方程为4x －3y －2＝0.1．根据两直线的位置关系求出所求直线的斜率，点斜式求解；或利用待定系数法求解． 2．直线方程的常用设法①过定点P (x 0，y 0)，可设点斜式y －y 0＝k (x －x 0)； ②知斜率k ，设斜截式y ＝kx ＋b ；③与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行，设为Ax ＋By ＋m ＝0； ④与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直，设为Bx －Ay ＋n ＝0.本例中条件“l ：3x ＋4y －20＝0”改为“l ：x ＝1”，求相应的直线方程． 【解】 (1)设x －m ＝0，则m ＝2，∴所求直线方程为x －2＝0； (2)易知l ：x ＝1的斜率不存在，∴所求直线的斜率k ＝0， 所以，所求直线方程为y ＝2， 即y －2＝0.1212(2)l 1⊥l 2.【思路探究】 由于l 2的斜率未必存在，故应从l 2的斜率存在与不存在两种情况入手，分a ＝0和a ≠0讨论．【自主解答】 将直线l 1化成斜截式方程为y ＝－a 4x ＋12，当a ＝0时，l 2的方程为x ＝－1，l 1的方程为y ＝12，此时l 1⊥l 2；当a ≠0时，l 2的斜截式方程为y ＝－1a x －1a.若⎩⎨⎧－a4＝－1a ， 12≠－1a ， 即a ＝2时，l 1∥l 2；若－a 4·(－1a )＝－1，即14＝－1，矛盾，故l 1与l 2在a ≠0时不垂直．综上，当a ＝2时，l 1∥l 2； 当a ＝0时，l 1⊥l 2.1．利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论．2．当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系： 直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.①l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)； ②l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.已知直线l 1过点A (1,1)，B (3，a )，直线l 2过点M (2,2)，N (3＋a,4)． (1)若l 1∥l 2，求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求a 的值．【解】 kl 1＝k AB ＝a －13－1＝a －12，(1)若l 1∥l 2，则3＋a ≠2，且kl 2＝k MN ＝4－2(a ＋3)－2＝2a ＋1＝a －12，即a ≠－1且a ＝5， ∴a ＝±5.(2)当a ＋3＝2即a ＝－1时，l 2无斜率， 此时kl 1＝－1，所以l 1与l 2不垂直，当a ＋3≠2即a ≠－1时，kl 2＝2a ＋1，由l 1⊥l 2得，kl 1·kl 2＝a －12×2a ＋1＝－1.即a ＝0.忽视斜率不存在的情形致误已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．【错解】 由斜率公式k AB ＝4－2－2m －4－(－m －3)＝2－(m ＋1)，k CD ＝3m ＋2－m 3－(－m )＝2(m ＋1)m ＋3.∵AB ⊥CD ， ∴k AB ·k CD ＝－1，即2－(m ＋1)·2(m ＋1)m ＋3＝－1， 解得m ＝1，∴m 的值为1.【错因分析】 两直线垂直⇔k 1k 2＝－1的前提条件是k 1、k 2均存在且不为零，本题出错的原因正是忽视了前提条件，这类问题的解决方式应分斜率存在和不存在两种情况讨论．【防范措施】 遇到垂直、平行的判断时一定要考虑到直线斜率不存在的情况． 【正解】 ∵A 、B 两点纵坐标不等， ∴AB 与x 轴不平行．∵AB ⊥CD ，∴CD 与x 轴不垂直，－m ≠3，m ≠－3. ①当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1.而m ＝－1时C 、D 纵坐标均为－1， ∴CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意． ②当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式k AB ＝4－2－2m －4－(－m －3)＝2－(m ＋1)，k CD ＝3m ＋2－m 3－(－m )＝2(m ＋1)m ＋3.∵AB ⊥CD ， ∴k AB ·k CD ＝－1，即2－(m ＋1)·2(m ＋1)m ＋3＝－1， 解得m ＝1，综上m 的值为1或－1.1．判断两条直线平行的一般性结论是：l 1∥l 2⇔k 1＝k 2或l 1，l 2的斜率均不存在．2．判断两条直线垂直的一般结论是：l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1或一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.3．根据两条直线的平行或垂直关系求直线方程时，可根据两直线的位置关系求出直线的斜率再求解；也可利用待定系数法求解．1．下列直线中与直线x －y －1＝0平行的是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y ＋1＝0C ．ax －ay －a ＝0D ．x －y ＋1＝0或ax －ay －a ＝0【解析】 显然B 中直线与x －y －1＝0斜率相等但不重合． 【答案】 B2．已知直线l 1的斜率k 1＝1，直线l 2的斜率k 2＝－1，则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．不确定 【解析】 ∵k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.【答案】 B3．若直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行，则m ＝________.【解析】 －2m ＝3，∴m ＝－23.【答案】 －234．已知直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0垂直，求实数a . 【解】 由题意得(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， ∴a ＝±1.一、选择题1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0【解析】 过点(1,0)且斜率为12的直线方程为y ＝12(x －1)即x －2y －1＝0.【答案】 A2．两直线2x －a 2y －3＝0与ax －2y －1＝0互相垂直，则( ) A ．a ＝0 B ．a ＝－1C ．a ＝0或a ＝－1D ．不存在 【解析】 由2·a ＋(－a 2)·(－2)＝0得a 2＋a ＝0， ∴a ＝0或a ＝－1. 【答案】 C3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( ) A ．0 B ．－8 C ．2 D ．10【解析】 因为直线2x ＋y －1＝0的斜率是－2，所以，若两直线平行，则有－2＝4－mm －(－2)，解得m ＝－8. 【答案】 B4．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2过点A (1,2)，B (－5，－4)，则l 1与l 2的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．平行或重合【解析】 ∵l 1的倾斜角为45°，∴k 1＝tan 45°＝1， 又∵l 2过点A (1,2)，B (－5，－4)，∴k 2＝2－(－4)1－(－5)＝66＝1，∴k 1＝k 2，∴l 1与l 2平行或重合，故选D. 【答案】 D 5．(2013·合肥高一检测)以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形【解析】 ∵k AB ＝－23，k AC ＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，即AB ⊥AC . 【答案】 C 二、填空题 6．(2013·海淀高一检测)若直线l 经过点(1,2)且与直线2x ＋y －1＝0平行，则直线l 的方程为________．【解析】 由已知得直线l 的斜率为－2，则方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0. 【答案】 2x ＋y －4＝07．若直线l 1：2x －5y ＋20＝0，l 2：mx －2y －10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为______．【解析】 l 1、l 2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补．因为坐标轴垂直，故l 1⊥l 2，即2m ＋10＝0，∴m ＝－5. 【答案】 －58．已知A (3,1)，B (－1，－1)，C (2,1)，则△ABC 的BC 边上的高所在的直线方程为________．【解析】 k BC ＝1－(－1)2－(－1)＝23，∴BC 边上的高所在直线的斜率k ＝－32，∴所求直线方程为y －1＝－32(x －3)，即3x ＋2y －11＝0.【答案】 3x ＋2y －11＝0 三、解答题9．求经过点A (2,1)且与直线2x ＋ay －10＝0垂直的直线l 的方程． 【解】 设直线l 的方程为ax －2y ＋m ＝0. ∵直线l 经过A (2,1)，∴2a －2＋m ＝0，m ＝2－2a ，即直线l 的方程为ax －2y ＋2－2a ＝0.10．已知点A (－1,3)，B (4,2)，以AB 为直径的圆与x 轴交于点M ，求点M 的坐标． 【解】 设M (x,0)∴M 是以AB 为直径的圆与x 轴的交点， ∴AM ⊥BM ，∴k AM ·k BM ＝－1， 即3－0－1－x ×2－04－x＝－1， ∴x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2， ∴M (1,0)或M (2,0)．11．已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：x ＋(a －2)y ＋a ＝0，求满足下列条件的a 的值： (1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.【解】 (1)对于l 1：y ＝－a 3x －13，若l 1∥l 2，则kl 2存在．∴y ＝－1a －2x －aa －2.∴⎩⎨⎧－a3＝－1a －2， 13≠a a －2，解得a ＝3. (2)若l 1⊥l 2，则kl 2也存在．∴y ＝－1a －2x －aa －2.∴－a 3×(－1a －2)＝－1，解得a ＝32.(教师用书独具)(1)直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)直线l 1：ax ＋(1－a )y －3＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y －2＝0垂直，求a 的值． 【思路探究】 解答本题可先讨论斜率是否存在，然后利用两直线平行或垂直的条件求相应参数．【自主解答】 (1)法一 当m ＋1＝0，即m ＝－1时，直线l 1的斜率k 1不存在，直线l 2的斜率k 2＝13，两直线不平行；当m ＋1≠0，即m ≠－1时，两直线方程化为斜截式为l 1：y ＝－2m ＋1x －4m ＋1，l 2：y＝－m 3x ＋23.由l 1∥l 2知两直线斜率相等，截距不相等，所以⎩⎨⎧－2m ＋1＝－m 3， ① －4m ＋1≠23. ② 由①得m 2＋m －6＝0，解得m ＝2或m ＝－3，经验证均适合②式，故m 的值为2或－3.法二 l 1中A 1＝2，B 1＝m ＋1，C 1＝4， l 2中A 2＝m ，B 2＝3，C 2＝－2，若l 1∥l 2，则有{ A 1B 2－A 2B 1＝0 B 1C 2－B 2C 1≠0或{ A 1B 2－A 2B 1＝0 A 1C 2－A 2C 1≠0，即{ 2×3－m (m ＋1)＝0 －2(m ＋1)－3×4≠0或{ 2×3－m (m ＋1)＝0 2×(－2)－4×m ≠0，解得{ m ＝－3或m ＝2 m ≠－7或{ m ＝－3或m ＝2 m ≠－1， ∴m 的值为2或－3. (2)法一 当a ＝1时，l 1：x ＝3，l 2：y ＝25，∴l 1⊥l 2；当a ＝－32时，l 1：y ＝35x ＋65，l 2：x ＝－45，∴l 1不垂直于l 2；当a ≠1且a ≠－32时，k 1＝aa －1，k 2＝1－a 2a ＋3，由于l 1⊥l 2，则aa －1×1－a 2a ＋3＝－1，解得a ＝－3.综上可知，当a ＝1或a ＝－3时，l 1⊥l 2. 法二 l 1中，A 1＝a ，B 1＝1－a ， l 2中，A 2＝a －1，B 2＝2a ＋3. 若l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即a (a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝1或a ＝－3，∴a 的值为－3或1.1．由l 1∥l 2，利用k 1和k 2求参数的值时，应首先考虑斜率是否存在，当k 1＝k 2时，还应排除两直线重合的情况．2．由l 1⊥l 2利用k 1k 2＝－1时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0.已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 的坐标． (1)∠MOP ＝∠OPN (O 为坐标原点)； (2)∠MPN 是直角． 【解】 设P (x,0)，(1)∵∠MOP ＝∠OPN ，∴MO ∥PN ， ∴k OM ＝k NP ，又k OM ＝2－02－0＝1，k NP ＝0－(－2)x －5＝2x －5.∴2x －5＝1，解得x ＝7，即P (7,0)． (2)∵∠MPN ＝90°，∴MP ⊥NP ，∴k MP ·k NP ＝－1，∵k MP ＝22－x ，k NP ＝2x －5，∴22－x ×2x －5＝－1，解得x ＝1或x ＝6. ∴P (1,0)或(6,0)．。
高中数学直线位置关系教案
高中数学直线位置关系教案课题：直线位置关系教学目标：1. 理解两条直线的位置关系：平行、垂直、相交；2. 掌握判断直线位置关系的方法；3. 能够解决实际问题中涉及直线位置关系的计算题。
教学重点：1. 掌握直线平行、垂直、相交的判断方法；2. 理解相交线、平行线和垂直线的性质。
教学难点：1. 熟练运用判断直线位置关系的方法；2. 解决实际问题中的直线位置关系计算题。
教学准备：1. 教师准备课件、黑板、粉笔、直尺等教学工具；2. 学生准备笔记本、铅笔、橡皮等学习工具。
教学过程：一、导入（5分钟）教师通过引入两条直线的位置关系，让学生思考两条直线相交、平行、垂直的含义，并引入直线的位置关系的判断方法。
二、讲解（15分钟）1. 直线相交的判断方法：利用直线的交点来判断两条直线是否相交。
2. 直线平行的判断方法：利用两条直线的斜率来判断两条直线是否平行。
3. 直线垂直的判断方法：利用两条直线的斜率的乘积为-1来判断两条直线是否垂直。
三、练习（20分钟）让学生通过练习题来熟练掌握直线位置关系的判断方法，并解决实际问题中的计算题。
四、总结（5分钟）教师对直线位置关系的判断方法进行总结，让学生能够掌握直线相交、平行、垂直的性质，并能够灵活运用判断方法解决问题。
五、作业布置（5分钟）布置相关作业，让学生巩固所学知识。
教学反思：本节课主要围绕直线位置关系展开，通过引入实际问题、讲解、练习等环节，让学生深入理解直线的位置关系，并能够熟练掌握判断方法和解题技巧。
在教学过程中，需要注重学生的动手能力和思维能力的培养，激发学生学习的兴趣和积极性。
高二数学上 7.3 两条直线的位置关系(二)优秀教案
两条直线的交点一、教学目标(一)知识教学点1，知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解，会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件．2点到直线距离公式的推导及其熟练应用(二)能力训练点1，通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解，培养学生的数形结合能力；通过对方程组解的讨论培养学生的分类思想；求出x后直接分析出y的表达式，培养学生的抽象思维能力与类比思维能力．2，培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法．(三)学科渗透点通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系，培养学生的转化思想．二、教材分析1．重点：两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系，本节是从交点个数为特征对两直线位置关系的进一步讨论．展示点到直线的距离公式的探求思维过程2．难点：对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论．3．疑点：当方程组中有一个未知数的系数为零时两直线位置关系的简要说明．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)两直线交点与方程组解的关系设两直线的方程是l1： A1x+B1y+c1=0， l2： A2x+B2y+C2=0．如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点．因此，两条直线是否相交，就要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解．(二)例题例1 求下列两条直线的交点：l1：3x+4y-2=0， l2： 2x+y+2=0．解：解方程组∴l1与l2的交点是M(-2，2)．(三)推导点到直线的距离公式设A≠0，B≠0，直线l的倾斜角为α，过点P作PR∥Ox， PR与l交于R(x1，x1)(图1-37)．∵PR∥Ox，∴y1=y．代入直线l的方程可得：当α＜90°时(如图1-37甲)，α1=α．当α＞90°时(如图1-37乙)，α1=π-α．∵α＜90°，∴|PQ|=|PR|sinα1这样，我们就得到平面内一点P(x0，y0)到一条直线Ax+By+C=0的距离公式：如果A=0或B=0，上面的距离公式仍然成立，但这时不需要利用公式就可以求出距离．(四)例题例1 求点P0(-1，2)到直线：(1)2x+y-10=0，(2)3x=2的距离．解：(1)根据点到直线的距离公式，得(2)因为直线3x=2平行于y轴，所以例2 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离．解：在直线2x-7y-6=0上任取一点，例如取P(3，0)，则两平行线间的距离就是点P(3，0)到直线2x-7y+8=0的距离(图1-38)．(五)课后小结(1)两直线的位置关系与它们对应的方程的解的个数的对应关系．(2)直线的三种位置关系所对应的方程特征．(3)对方程组中系数含有字母的两直线位置关系的讨论方法．五、布置作业习题3第7题。
37979_《两条直线的位置关系》教案3(人教B版必修2)
两条直线的位置关系4、点到直线的距离（说课教案）一．教材分析：1．本节教材在本章中的地位和作用：本章内容作为高中数学中仅有的两章解析几何知识的第一章，是属于解析几何学的基础知识，不但是进一步学习圆锥曲线以及其他曲线方程的基础，也是学习导数，微分、积分等的基础，在解决许多实际问题中有着广泛的应用，而本节教材是本章教材三大部分的第一部分中的重要内容，是本章环环紧扣的知识链中必不可少的一环。
这节课“点到直线的距离”是本节教材“两直线的位置关系”的最后一个内容，在解决实际生活问题中以及代数、解析几何、立体几何中都有着重要而广泛的应用。
例如：求最小值问题，对一些新知识新概念的定义，建立方程的问题等等，立竿见影，运用点到直线的距离公式都可以简便迅速地解决问题，还可使学生形成完整的直线这部分知识的结构体系。
2、本节内容的具体安排及编写思路：出于简洁性的考虑，教材编写单刀直入地直接提出核心问题，并给予解决的方法。
我编写本节教案时，通过创设问题情境引入课题，降低难度，教给学生从特殊到一般的研究问题的方法和策略，激发学生去解决问题，探究问题，得出结论。
在这个过程中，老师作适当的点拨、引导，让学生逐步逼近目标，充分展示数学知识产生的思维过程，让学生均能自觉主动地参与进来。
教师的主导作用，学生的主体地位都得以充分体现，然后让学生自己归纳、总结得出结论，享受成功的喜悦和快乐。
对教材上的例10、例11，由于是直接应用点到直线的距离公式，较易，故我让学生直接去阅读、去理解，熟悉点到直线的距离公式。
但对例11的稍许变化，却抓住不放，通过例11的解法的启示，激发学生进一步去应用点到直线的距离公式去探究二平行直线间的距离公式，利用有限的时间和学生刚成功的那一股学习的惯性，对教材进行拓广，让学生对归纳总结出的公式有更加深刻、透彻的理解和掌握，达到灵活应用的目的。
3．教学目标：1）、使学生掌握点到直线的距离公式及结构特点，并能熟练准确的应用这一公式，达到理解掌握知识的目的。
教学设计1：2.2.3 两条直线的位置关系
2.2.3 两条直线的位置关系整体设计教学分析直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.三维目标1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.2.通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.重点难点教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂直.教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.设问（1)平面内不重合的两条直线的位置关系有哪几种？(2)两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？(3)“α＝β”是“tanα＝tanβ”的什么条件？根据倾斜角和斜率的关系,能否利用斜率来判定两条直线平行呢?思路2.上节课我们学习的是什么知识？想一想倾斜角具备什么条件时两条直线会平行、垂直呢?你认为能否用斜率来判断.这节课我们就来专门来研究这个问题.推进新课新知探究提出问题①平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？②两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？③“α＝β”是“tanα＝tanβ”的什么条件？④两条直线的斜率相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？⑤l1∥l2时，k1与k2满足什么关系？⑥l1⊥l2时，k1与k2满足什么关系？活动:①教师引导得出平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.②数形结合容易得出结论.③注意到倾斜角是90°的直线没有斜率,即tan90°不存在.④注意到倾斜角是90°的直线没有斜率.⑤必要性：如果l1∥l2，如图1所示，它们的倾斜角相等,即α1＝α2，tanα1＝tanα2,即k1＝k2.图1充分性：如果k1＝k2,即tanα1＝tanα2,∵0°≤α1＜180°，0°≤α2＜180°，∴α1＝α2.于是l1∥l2.⑥学生讨论，采取类比方法得出两条直线垂直的充要条件.讨论结果：①平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.②两条直线的倾斜角相等，这两条直线平行，反过来成立.③“α＝β”是“tanα＝tanβ”的充要条件.④两条直线的斜率相等，这两条直线平行，反过来成立.⑤l1∥l2⇔k1＝k2.⑥l1⊥l2⇔k1k2＝－1.知识点一两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇐两直线的斜率都不存在图示知识点二 两条直线垂直的判定 图示对应关系 l 1⊥l 2(两直线的斜率都存在)⇔k 1k 2＝－1 l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0⇒l 1⊥l 2类型一 两条直线平行的判定例1 下列直线l 1与直线l 2(l 1与l 2不重合)平行的有________.(填序号)①l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)；②l 1的斜率为2，l 2经过点A (1,1)，B (2,2)；③l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)；④l 1经过点E (－3,2)，F (－3,10)，l 2经过点P (5，－2)，Q (5,5).【答案】 ①③④【解析】 ①∵k AB ＝5－1－3－2＝－45，k CD ＝－7＋38－3＝－45， ∴k AB ＝k CD ，∴l 1∥l 2.②∵2l k ＝2－12－1＝1≠1l k ＝2， ∴l 1不平行于l 2.③∵1l k ＝tan 60°＝3，2l k ＝3＋231＋2＝3， ∴1l k ＝2l k ，∴l 1∥l 2.④l 1，l 2斜率均不存在，∴l 1∥l 2.跟踪训练1 已知A ⎝⎛⎭⎫1，－a ＋13，B ⎝⎛⎭⎫0，－13，C (2－2a,1)，D (－a,0)四点，若直线AB 与直 线CD 平行，则a ＝________.【答案】 3【解析】 k AB ＝－13＋a ＋130－1＝－a 3，当2－2a ＝－a ，即a ＝2时，k AB ＝－23，k CD 不存在. ∴AB 和CD 不平行；当a ≠2时，k CD ＝0－1－a －2＋2a ＝12－a. 由k AB ＝k CD ，得－a 3＝12－a，即a 2－2a －3＝0. ∴a ＝3或a ＝－1.当a ＝3时，k AB ＝－1，k BD ＝0＋13－3＝－19≠k AB ， ∴AB 与CD 平行.当a ＝－1时，k AB ＝13，k BC ＝1＋134＝13，k CD ＝1－04－1＝13， ∴AB 与CD 重合.∴当a ＝3时，直线AB 和直线CD 平行.类型二 两条直线垂直的判定例2 已知△ABC 的顶点为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值. 解 若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，解得m ＝－7； 若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5·m －12－1＝－1，解得m ＝3； 若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5·m －12－1＝－1，解得m ＝±2. 综上所述，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.跟踪训练2 若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线的斜率为________.【答案】 －1【解析】 由k PQ ＝3－a －b 3－b －a＝1，得线段PQ 的垂直平分线的斜率为－1.类型三 垂直与平行的综合应用例3 已知四边形ABCD 的顶点B (6，－1)，C (5,2)，D (1,2).若四边形ABCD 为直角梯形，求A 点坐标.(A ，B ，C ，D 按逆时针方向排列)解 ①若∠A ＝∠D ＝90°，由已知AB ∥DC ，AD ⊥AB ，而k CD ＝0，故A (1，－1).②若∠A ＝∠B ＝90°，设A (a ，b )，则k BC ＝－3，k AD ＝b －2a －1，k AB ＝b ＋1a －6. 由AD ∥BC ，得k AD ＝k BC ，即b －2a －1＝－3；① 由AB ⊥BC ，得k AB ·k BC ＝－1，即b ＋1a －6·(－3)＝－1.② 由①②得⎩⎨⎧ a ＝125，b ＝－115，故A ⎝⎛⎭⎫125，－115. 综上所述，A 点坐标为(1，－1)或⎝⎛⎭⎫125，－115. 跟踪训练3 已知▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4).(1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？解 (1)设D 点坐标为(a ，b )，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6. 所以D (－1,6).(2)因为k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， 所以k AC ·k BD ＝－1，所以AC ⊥BD ，所以▱ABCD 为菱形.当堂检测1.已知两条直线l 1，l 2的斜率是方程3x 2＋mx －3＝0(m ∈R )的两个根，则l 1与l 2的位置关系是( )A.平行B.垂直C.可能重合D.无法确定【答案】 B【解析】 由方程3x 2＋mx －3＝0，知Δ＝m 2－4×3×(－3)＝m 2＋36>0恒成立.故方程有两相异实根，即l 1与l 2的斜率k 1，k 2均存在.设两根为x 1，x 2，则k 1k 2＝x 1x 2＝－1，所以l 1⊥l 2，故选B.2.若过点P (3,2m )和点Q (－m,2)的直线与过点M (2，－1)和点N (－3,4)的直线平行，则m 的值是( )A.13B.－13C.2D.－2 【答案】 B【解析】 由k PQ ＝k MN ，即2m －23－(－m )＝4－(－1)－3－2，得m ＝－13. 经检验知，m ＝－13符合题意. 3.直线l 过(m ，n )，(n ，m )两点，其中m ≠n ，mn ≠0，则( )A.l 与x 轴垂直B.l 与y 轴垂直C.l 过原点和第一、三象限D.l 的倾斜角为135°【答案】 D【解析】 ∵直线的斜率k ＝m －n n －m＝－1， ∴直线l 的倾斜角为135°.4.已知平面内有A (5，－1)，B (1,1)，C (2,3)三点，则下列说法正确的是________.(填序号) ①△ABC 是直角三角形，且∠BAC ＝90°；②△ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝90°；③△ABC 是直角三角形，且∠ACB ＝90°；④△ABC 不是直角三角形.【答案】 ②【解析】 ∵k AB ·k BC ＝－1，∴AB ⊥BC ，则∠ABC ＝90°，∴△ABC 为直角三角形.5.当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行.解 (1)由k AB ＝m －32m 2＝tan 135°＝－1， 解得m ＝－32或m ＝1. (2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3， 则m －32m 2＝－13，解得m ＝32或m ＝－3. (3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2， 解得m ＝34或m ＝－1. 经检验，当m ＝34或m ＝－1时，均符合题意. 拓展提升问题：已知P （－3，2），Q （3，4）及直线ax ＋y ＋3＝0.若此直线分别与PQ 的延长线、QP 的延长线相交，试分别求出a 的取值范围.（图2）图2解：直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过定点A （0，－3）的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ 、AQ 、AP 、l 的斜率分别为：k PQ ＝31，k AQ ＝37，k AP ＝35 ，k 1＝－a . 若l 与PQ 延长线相交，由图,可知k PQ ＜k 1＜k AQ ，解得－37＜a ＜－31； 若l 与PQ 相交，则k 1＞k AQ 或k 1＜k AP ，解得a ＜－37或a ＞35； 若l 与QP 的延长线相交，则k PQ ＞k 1＞k AP ，解得－31＜a ＜35. 课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.2.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.3.注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.4.认识事物之间的相互联系，用联系的观点看问题.设计感想本课通过探究两直线平行或垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励.。
2.2.3两条直线的位置关系导学案 2
§2.2.3两条直线的位置关系导学案 （一）学习目标1．会利用直线的方程判断两条直线的位置关系2.掌握两条直线平行、重合、相交的判定3.学会用代数的方法推导平行的思路 学习过程二、新课导学※探索新知探究1：1.利用两直线方程所组成的方程组判断两直线的位置关系： 两直线位置方程组解的个数 相交____________ ____________无数解 平行 ____________2设1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，若222,,0A B C ≠，完成下表12,l l 相交12,l l 重合 12,l l 平行3． 坐标平面内任意两条直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，1l ∥2l ⇔___________________________4 .坐标平面内两条直线为111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，1l ∥2l ⇔___________________________典型例题【例1】判断下列各组直线的位置关系．(1) 1l ：2x ＋y ＋1＝0，2l ：x －3y －5＝0； (2) 1l ：x －y －2＝0，2l ：2x －2y ＋3＝0；(3) 1l ：3x －4y －1＝0，2l ：6x －8y －2＝0； (4) 1l ：y ＝x ，2l ：2x ＋2y －7＝0.例2 .已知直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=求证：当12C C ≠时，12l l 与平行。
例3 .（1）求过点（1，-4）且与直线2350x y ++=平行的直线方程。
（2）求过点（-1，2）且与直线112y x =+平行的直线方程。
例4.已知直线l 1 ：2x+(m+1)y+4=0,与 l 2: mx+3y-2=0平行，求值m升华练习3已知直线ax+y-1=0与直线2x+(a-1)y-3=0平行,求a 值【小结】：1 .判断两直线平行、相交、重合的方法。
4.2 直线与直线的位置关系(教案)(3课时)-【中职专用】高二数学同步精品课堂(高教版2021·拓
4.2 直线与直线的位置关系（教案）（3课时）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2021·拓展模块一上册）教学目标：1. 理解直线与直线之间的位置关系；2. 熟练掌握判断两条直线之间的关系的方法；3. 能够综合运用多种方法分析直线间的位置关系；4. 能够将所学知识应用于实际问题解决过程中。
教学重点：1. 掌握判断两条直线相交或平行的方法；2. 理解异面直线的概念及判定方法。
教学难点：1. 熟练掌握判断两条直线是否异面的方法；2. 理解直线与平面之间关系的联系。
教学方法：1. 集体讨论法：以问题为导向，引导学生逐步探索位置关系的判定方法；2. 实验演示法：通过实物模型、平面图等形式，让学生更直观、深入地了解直线位置关系。
教学过程：一、复习导入（10分钟）教师出示多组图形，让学生回忆之前已经学习的直线与直线的位置关系，帮助学生迅速进入今日的学习状态。
二、探究判断两条直线的位置关系（30分钟）1. 垂直相交法：教师通过黑板图形演示，让学生了解垂直相交的特点，并引导学生探究垂直相交的判定方法。
2. 平行法：教师通过黑板图形演示，让学生了解平行的特点，并引导学生探究平行的判定方法。
3. 倾斜相交法：教师通过黑板图形演示，让学生了解倾斜相交的特点，并引导学生探究倾斜相交的判定方法。
三、理解异面直线的概念及判定方法（30分钟）1. 异面直线的定义：教师通过黑板图形演示，引导学生理解异面直线的概念。
2. 判定异面直线方法：教师通过黑板图形演示，引导学生掌握判断异面直线的方法。
四、综合应用练习（40分钟）1. 练习1：给定多组直线的方程，让学生判断相交、平行、倾斜相交和异面的情况，并解释判断的依据。
2. 练习2：给定多组实际问题，让学生运用所学知识判断直线的位置关系，并解决问题。
五、总结归纳（10分钟）教师对今天的学习内容进行总结，让学生对所学知识进行梳理，并将注意点、难点进行重点强调。
六、作业布置（5分钟）布置相应的作业，巩固所学知识。
2022年 《学案2.2.3 两条直线的位置关系》优秀教案
两条直线的位置关系1．两条直线相交、平行与重合的条件1几何方法判断假设两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：设1：＝1＋b1，2：＝2＋b2，①1与2相交⇔1≠2；②1∥2⇔1＝2且b1≠b2；③1与2重合⇔1＝2且b1＝b2．2向量方法判断设直线1：A1＋B1＋C1＝0，2：A2＋B2＋C2＝0，因为v1＝A1，B1是直线1的一个法向量，v2＝A2，B2是直线2的一个法向量．①1与2相交即只有一个交点的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1．②1与2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2＝A2B1；与2重合的充要条件是，存在实数λ使得错误!1思考：直线A ＋B ＋C 1＝0与直线A ＋B ＋C 2＝0，平行的充要条件是什么？重合呢？ [提示] 平行的充要条件是C 1≠C 2，重合的充要条件为C 1＝C 2． 2．两条直线垂直1．思考辨析正确的打“√〞，错误的打“×〞 1假设两条直线斜率相等，那么这两条直线平行． 2假设1∥2，那么1＝2．3假设两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，那么两直线相交．4假设两直线斜率都不存在，那么两直线平行．[答案] 1× 2× 3√ 4×[提示] 1、4中两直线有可能重合，故14错误；2可能出现两直线斜率不存在情况，故2错误；3正确．2．A 2,0，B 3,3，直线∥AB ，那么直线的斜率为 A ．－3 B ．3 C ．－错误! D ．错误! B [因为＝AB ＝错误!＝3，所以的斜率为3．]3．直线1与2的斜率是一元二次方程2 0192－2 02021 019＝0的两根，那么1与2的位置关系为 ．垂直 [由题意知一元二次方程2 0192－2 02021 019＝0的两根1·2＝－1， ∴直线1、2的斜率之积12＝－1，∴直线1⊥2．]4．假设直线：＋a ＋2＝0平行于直线2－＋3＝0，那么a ＝ ．－错误! [因为直线：＋a ＋2＝0平行于直线2－＋3＝0，所以1×－1－2a ＝0，解得a ＝－错误!．] 5．经过点＋6＝0；2123重合． [思路探究] 可尝试根据两直线相交、平行、重合的等价条件，列出方程求参数的值． [解] ∵直线1：＋m ＋6＝0，直线2：m－2＋3＋2m＝0，∴A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m．1假设1与2相交，那么A1B2－A2B1≠0，即1×3－mm－2≠0，即m2－2m－3≠0，即m－3m＋1≠0，即m≠3，且m≠－1．故当m≠3，且m≠－1时，直线1与2相交．2假设1∥2，那么有错误!即即错误!即错误!∴m＝－1．故当m＝－1时，直线1与2平行．3假设1与2重合，那么有∴错误!∴m＝3．故当m＝3时，直线1与2重合．根据两直线的位置关系确定参数取值时，因为斜率是否存在不清楚，假设使用斜率判定，两直线位置关系需分类讨论，但使用直线方程一般式的系数来判定两直线的位置关系不必讨论因此使用直线方程一般式系数来判定两直线位置关系更简便易行错误!1．1：9－＋a＋2＝0；2：a＋a－2＋1＝0．求当a为何值时，直线1与2：1相交；2平行；3重合．[解]由题意：A1＝9，B1＝－1，C1＝a＋2，A2＝a，B2＝a－2，C2＝1，1假设1与2相交，那么A1B2－A2B1≠0，即9a－2－a×－1≠0，∴a≠错误!．故当a≠错误!时，直线1与2相交．2假设1∥2，那么有错误!即∴错误!∴当a＝错误!时，1与2平行．3假设1与2重合，那么有错误!由2知错误!不成立，∴直线1与2不重合．综上所述：当a≠错误!时，两直线相交，当a＝错误!时，两直线平行，不管a为何值两直线不会重合．【例2】11212是否垂直；2直线1经过点A3，a，Ba－2,3，直线2经过点C2,3，D－1，a－2，假设1⊥2，求a的值．[思路探究]1假设斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；假设一条直线的斜率不存在，再看另一条的斜率是否为0，假设为0，那么垂直；2当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；假设一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解．[解]1直线1的斜率不存在，直线2的斜率为0，所以1⊥2．2由题意，知2的斜率2一定存在，1的斜率可能不存在．当1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时2＝0，那么1⊥2，满足题意．当1的斜率1存在时，a≠5，由斜率公式，得＝错误!＝错误!，2＝错误!＝错误!．1由1⊥2，知12＝－1，即错误!×错误!＝－1，解得a＝0．综上所述，a的值为0或5．利用斜率公式来判定两直线垂直的方法1一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，假设相等，那么直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，假设相等，那么垂直，假设不相等，那么进行第二步．2二代：就是将点的坐标代入斜率公式．3求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．提醒：假设点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．错误!2．分别判断以下两直线是否垂直．1直线1的斜率为－10，直线2经过点A10,2，B2021．2直线1经过A3,4，B3,7，直线2经过点，你能求出m[提示]假设∠A为直角，那么AC⊥AB，所以AC·AB＝－1，即错误!·错误!＝－1，得m＝－7；假设∠B为直角，那么AB⊥BC，所以AB·BC＝－1，即错误!·错误!＝－1，得m＝3；假设∠C为直角，那么AC⊥BC，所以AC·BC＝－1，即错误!·错误!＝－1，得m＝±2．综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2．【例3】如下图，在平面直角坐标系中，四边形O和Bm,4的直线与直线2＋－1＝0平行，那么m的值为A．－8 B．0C．2 D．10A[由，得错误!＝－2，∴m＝－8．]4．直线的倾斜角为45°，直线2的斜率为＝m2－3，假设1∥2，那么m的值为．±2[由题意知m2－3＝tan 45°，解得m＝±2．]5．当m为何值时，过两点A1,1，B2m2＋1，m－2的直线：1倾斜角为135°；2与过两点3,2，0，－7的直线垂直；3与过两点2，－3，－4,9的直线平行．[解]1由AB＝错误!＝tan 135°＝－1，解得m＝－错误!或m＝1．2由AB＝错误!，且错误!＝3．那么错误!＝－错误!，解得m＝错误!或m＝－3．3令错误!＝错误!＝－2，解得m＝错误!或m＝－1．。
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高二数学上学期两条直线的位置关系第三课时教案二
●教学目标
(一)教学知识点
1.交点.
2.二元一次方程组的惟一解.
(二)能力训练要求
1.
2.
3.
4.体会判断两直线相交中的数形结合思想.
(三)德育渗透目标
1.
2.用辩证的观点看问题.
●教学重点
判断两直线是否相交.
●教学难点
两直线相交与二元一次方程组的关系.
●教学方法
启发引导式
在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线的交点与二元一次方程的解的相互关系.引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题.由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决，这也是“解析法”的实质，即用代数的方法来研究解决平面内的几何问题，从而将数与形有机地结合在一起.
●教具准备
投影片两张
第一张：判断两直线相交的方法
(记作§7.3.3 A)
第二张：(记作§7.3.3 B)
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］由直线方程的概念，我们知道，直线上的一点一定与二元一次方程的一组解对应，那么，如果现在有两条直线相交于一点，那么这一点与两条直线的方程又有何关系?如果我们想要在已知两直线方程的前提下求出交点，又应如何?这一交点是否与两直线方程有着一定的关系呢?
我们这一节就将研究这个问题.
Ⅱ.讲授新课
(给出投影片§7.3.3 A)
1.两条直线是否相交的判断
设两条直线的方程是
l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的惟一公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点.因此，两条直线是否有交点，
就要看这两条直线方程所组成的方程组.⎩⎨⎧=++=++00
2
22111C y B x A C y B x A 是否有惟一解.
［师］下面，我们主要通过例题训练来熟悉两直线相交问题的解决.
2.例题讲解
［例6］当k 为何值时，直线y ＝kx ＋3过直线2x －y ＋1＝0与y ＝x ＋5的交点?
解法一：解方程组⎩
⎨⎧+==+-50
12x y y x
得交点(4，9)
将x ＝４，y ＝9代入y ＝kx ＋3得9＝４k ＋3 解得k ＝
2
3
. 解法二：过直线2x －y ＋1＝0与y ＝x ＋5的交点的直线系方程为2x －y ＋1＋λ（x －y ＋5）＝0
整理得：y ＝
λλλλ+++
++15112x 与直线y ＝kx ＋3比较系数，得λλ
++151＝3即λ＝1. ∴k ＝2
312=++λλ.
［例7］已知a 为实数，两直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －a ＝0相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x 轴上.
分析：此题先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围. 解：解方程组
⎩
⎨
⎧=-+=++00
1a y x y ax 得交点(－11
,112-+-+a a a a ) 若1
12-+a a ＞0，则a ＞1.
当a ＞1时，－
1
1
-+a a ＜0， 此时交点在第二象限内.
又因为a 为任意实数时，都有a 2
＋1＞0，故1
1
2-+a a ≠0
(因为a ≠1，否则两直线平行，无交点) 所以，交点不可能在x 轴上. ［师］下面我们进行课堂练习. Ⅲ.课堂练习 课本P 51练习
1.求下列各对直线的交点，并画图：
(1)l 1：2x ＋3y ＝12，l 2：x －2y ＝４. (2)l 1：x ＝2，l 2：3x ＋2y －12＝0.
解：(1)解方程组.
74
736421232⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==
⎩⎨⎧=-=+y x y x y x 得
∴交点坐标为（7
4
,736） (2)解方程组
⎩
⎨
⎧==⎩⎨⎧=-+=32
012232y x y x x 得 ∴交点坐标为(2，3) 图形依次为：
（1） （2）
2.判定下列各对直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标. (1)l 1：2x －y ＝7 l 2：４x ＋2y ＝1 (2)l 1：2x －6y ＋４＝0 l 2：y ＝
3
23+x (3)l 1：（2－1）x ＋y =3 l 2：x ＋（2＋1）y ＝2 解：(1)解方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
-==⎩⎨
⎧=+=-.
4
13,
8
1512472y x y x y x 得 ∴两直线交点为(
4
13
,815-）. (2)l 1：2x －6y ＋４＝0，l 2：x －3y ＋2＝0 ∵
2
4
3612=--= ∴两直线重合.
(3)∵k 1＝1－2，k 2＝－
1
21+＝－（2－11－2
.
∴k 1＝k 2 又b 1＝3≠b 2＝－1
22+
∴l 1∥l 2. 解法二：解方程组
⎪⎩⎪⎨
⎧=++=+-2
)12(3
)12(y x y x 由①得y ＝3－（2－1）x 代入②得
x ＋（2＋1）（3－（2－1）x ）＝2
整理得：3（2＋1）＝2不成立. ∴方程组无解. ∴直线l 1∥l 2. Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握两直线相交的判断方法，并能熟练求解两直线交点坐标.另外，了解两直线方程组成的二元一次方程组无解，则两直线平行；有无数多个解，则两直线重合.并且要进一步认识数形结合的思想.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P 53习题7.3
10.光线从点M (－2，3）射到x 轴上一点P (1，0)后被x 轴反射，求反射光线所在的直线的方程.
解：设M ′是M （－2，3）关于x 轴的对称点，则M ′的坐标为（－2，-3）.又反射线所在直线就是过点M ′、P 的直线，所以反射线所在的直线方程为
2
12
303++=
++x y ，即：x －y －1＝0
11.求满足下列条件的方程：
(1)经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋４y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋４＝0，
(2)经过两条直线2x ＋y －８＝0和x －2y ＋1＝0的交点，且平行于直线４x －3y -7＝0；
(3)经过直线y ＝2x ＋3和3x －y ＋2＝0的交点，且垂直于第一条直线. 解：(1)解方程组
⎩⎨⎧=-=⎩⎨
⎧=-+=+-22
024301032y x y x y x 得 又k ＝－
32. ∴y －2＝－3
2
（x ＋2）
即2x ＋3y －2＝0
①
②
(2)解方程组
⎩⎨
⎧==⎩⎨⎧=+--+2
3
01282y x y x y x 得 又 k ＝
34∴y －2＝3
4
（x －3) 即４x －3y －6＝0. (3)解方程组
⎩⎨
⎧==⎩⎨⎧=+-+=51
02332y x y x x y 得 又 k ＝－21 ∴y －5＝－2
1
（x －1）
即x ＋2y －11＝0
12.直线ax ＋2y ＋８＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，求a 的值. 解：解方程组
⎩
⎨⎧-==⎩⎨
⎧=-=+24
1021034y x y x y x 得 将x ＝４，y ＝－2代入直线方程ax ＋2y ＋８＝0得a ＝－1. （二）1.预习内容：P
51～53 2.预习提纲：
（1）点到直线的距离公式是什么? （2）两平行线间距离如何求解? ●板书设计
新财界财经/ 峞奣尛。