学练优2017年九年级数学上册21.4第2课时建立二次函数模型解决实际问题学案
九年级数学上册 21.4 第2课时 建立二次函数模型解决实际问题教案1 沪科版(2021年整理)
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第2课时建立二次函数模型解决实际问题1．能运用二次函数的知识分析解决相关实际问题；(重点、难点) 2．经历探索解决实际问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学建模的思想和数学的应用价值．一、情境导入跳绳是同学们非常喜欢的一种体育活动,在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，设拿绳的手此时距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2。
5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶,已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗?要解决这个问题,同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决?二、合作探究探究点一：二次函数在建筑问题中的应用如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4米时,拱顶(拱桥洞的最高点）离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y＝ax2，把点(2,－2)代入，得－2＝a×22，a＝－错误!,∴y＝－错误!x2,当y＝－3时，－错误! x2＝－3，x＝±错误!。
21.4 二次函数的应用 沪科版数学九年级上册课后练习(含答案解析)
二次函数的应用一、单选题1．如图，小明以抛物线y=x2-2x+4为灵感设计了一款杯子，若AB=4，DE=2，则杯子的高CE为（）A．4B．5C．6D．72．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（）A．18m2B．12 m2C．16 m2D．22 m23．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥AB距离为（）A．180m B．200m C．220m D．240m4．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再下降，水面宽度为（）．A．B．C．D．5．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．A．60B．65C．70D．756．将进货价为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价为元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（）A．B．C．D．7．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）A．米B．8米C．10米D．2米8．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）A．球不会过网B．球会过球网但不会出界C．球会过球网并会出界D．无法确定9．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（ ）A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣x2﹣x+1B．水流喷射的最远水平距离是40米C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌10．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车辆，若第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么与的函数关系是（）A．B．C．D．11．汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）的关系大致如下：S甲，S乙．由此可以推测（ ）A．甲车超速B．乙车超速C．两车都超速D．两车都未超速12．如图，菱形的边长是，，动点P从点A出发，以的速度沿运动至点C，动点Q从点A出发，以的速度沿运动至点C．若P，Q同时出发，设运动时间为，的面积为（当B，P，Q三点共线时，不妨设），则下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（）A．B．B．C．D．二、填空题13．如图，要在夹角为30°的两条小路与形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边和上取点和点，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）．若和两段篱笆的总长为8米，则当______米时，该花坛的面积最大．14．如图，一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等．小强骑自行车从桥的一端0沿直线匀速穿过桥面到达另一端A，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需_____________秒．15．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．16．为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩是___．17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD 绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于____________．三、解答题18．用规格长为6m，宽为0.1m的铝合金型材，恰好制作成一个“日”字型窗子的边框（如图1，不计耗损），中间装长x m，宽y m完全一样的两张玻璃．这个窗子要装入最大边长为1.5m的正方形墙洞（如图2）中．（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围．（2）这个窗子的采光面积（两张玻璃面积之和）存在最大值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．19．一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个高为9米的柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如果抛物线的最高点M离柱形喷水装置1米，离地面12米，若不计其他因素，水池的半径OB至少为多少米时，才能使喷出的水流不落在池外？20．某商场将一种每件成本价为10元的商品连续加价两次后，以每件24元作为定价售出．已知第二次加价的增长率比第一次加价的增长率多．（1）求第一次加价的增长率；（2）该商场在试销中发现，如果以定价售出，则每天可售出100个．如果销售单价每降低1元，销售量就可以增加10件．那么当销售单价为多少元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？21．在“学习一项体育技能”活动中，小明作为学生代表去观看“青岛黄海足球队”的训练．他看到队员们在做掷界外球训练，甲球员要将足球掷给离他7.5米远的乙球员，掷出足球的运行轨还是一条抛物线，足球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系如图所示，足球出手时离地面的高度为2米，在距离甲球员4米处达到最大高度3.6米．若不计其他因素，身高1.85米的乙球员要能触到足球，他垂直起跳的高度至少要达到多少米？22．如图，是等腰直角三角形，，，点P是边上一动点，沿的路径移动，过点P作于点D，设，的面积为y．（1）当时，求y的值；（2）在这一变化过程中，写出y关于x的函数解析式及x的取值范围；（3）当x取何范围时，（直接写出结果即可）．参考答案1．C解：∵=（x-1）2+3，∴抛物线的顶点D的坐标为（1，3），∵AB=4，∴BC=2，点B的横坐标为x =3，把x =3代入得y=7，∴CD=7-3=4，∴CE=CE+DE=4+2=6，故选：C.2．A解：设与墙垂直的矩形的边长为xm，则这个花园的面积是：S=x（12-2x）=，∴当x=3时，S取得最大值，此时S=18，故选：A．3．B解：以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：，，，设抛物线的解析式为，将代入，得：，解得：，，抛物线顶端的坐标为，此抛物线顶端到连桥距离为．故选：B．4．D解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，2），设该抛物线的解析式为y=ax2+2，将B（2，0）代入得：0=a×4+2，解得：a=-．∴抛物线的解析式为y=-x2+2，∴若水面再下降1.5m，则有-1.5=-x2+2，解得：x=±．∵-（-）=2，∴水面宽度为2m．故选：D．5．C解：每顶头盔降价x元，利润为w元，由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，故选：C．6．B解：设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，根据题意可得：即y=（x-35）（400-5x），故选：B．7．B解：当y＝0时，即＝0，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，故选：B．8．C解：根据题意,将点A(0,2)代入得：36a+2.6=2，解得：∴y与x的关系式为当x=9时,∴球能过球网，当x=18时,∴球会出界.故选C.9．D解：A、设石块运行的函数关系式为y=a（x-20）2+11，把（0，1）代入解析式得：400a+11=1，解得：，∴解析式为；故A不符合题意；B、当y=0时，；解得x=2+20，∴水流喷射的最远水平距离是2+20米；故B不符合题意；C、当x=20时，y=11，∴11-2=9∴喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9米故C不符合题意；D、向后平移后的解析式为，当x=37时，y=8.58.5-3=5.5＞2.3，∴可以避开对这棵石榴树的喷灌；故选：D10．A解：第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，第三个月的增长率为第一个月投放辆单车，第二个月投放辆第三个月投放量故选：A．11．B解：由，先求出，x的解也就是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标：从图象可得，x是在A点的左侧以及B点的右侧，即或．由，先求出，x的解也就是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标：从图象可得，x是在C点的左侧以及D点的右侧，即或．由于，从而可得：，．经比较：乙车超过限速．故选：B．12．B解：当0≤t≤2时，BQ=4﹣2t，AP= t,点P到AB的距离为t，S＝（4﹣2t）×t＝﹣（t﹣1）2+，∴该函数图象开口向下，当2＜t≤4时，BQ=4﹣2t，点P在AD上，到BC的距离为×4，S＝×（2t﹣4）××4＝2t﹣4，∴该函数图象是线段，且y随x的增大而增大，当4＜t≤8时，S＝×4××（8﹣t）＝8﹣t，∴该函数图象是线段，且y随x的增大而减小．故选：B．13．4解：设OP=x，则OQ=8-x，过点P作PM⊥OQ,交OQ于点M，如图，∵∴∴∵∴函数图象开口向下，有最大值，为4，故当OP=4时，花坛的面积最大．故答案为：4．14．46解：∵主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，且小强骑行18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，∴MN的对称轴为直线x==23，∴他通过整个桥面OA共需23×2=46（秒）．故答案为：46．15．1264解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．据题意：∴∵∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元故答案为：126416．7m解：由题意，得当y＝0时，，化简，得：，解得：（舍去），故答案为：7m．17．解：如图，△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，∴△BDC≌△AEC，∴∠B=∠CAE，∵BC=AC=，△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠CAE=∠BAC=45°，∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理AB=，设BD=AE=x，则AD=（2-x），∴，∵，函数开口向下，函数有最大值，当x=1时，．故答案为：．18．（1）y＝﹣0.75x+1.35，1≤x≤1.3；（2）这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2，见解析．解：（1）由题意，得3x+2（2y+0.1×3）＝6，整理，得3x+4y＝5.4，∴y＝﹣0.75x+1.35，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣0.75x+1.35，由题意，得，解得1≤x≤1.3，即x的取值范围是1≤x≤1.3；（2）设这个窗子的采光面积为Sm2，由题意，得S＝2xy＝2x（﹣0.75x+1.35）＝﹣1.5x2+2.7x，配方，得S＝﹣1.5（x﹣0.9）2+1.215，∵a＝﹣1.5＜0，对称轴为x＝0.9，∴当x＞0.9时，y随x的增大而减小，∵1≤x≤1.3，∴当x＝1时，S有最大值，S最大＝1.2，答：这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2．19．3米解：由题意可得：抛物线顶点坐标为（1，12），A点坐标为（0，9），故设抛物线解析式为：，则，解得：a＝﹣3，故抛物线解析式为：，当y＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝3，则水池的半径OB至少为3米时，才能使喷出的水流不落在池外．20．（1）50%；（2）当销售单价为22元/个时，该商场每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1440元解：（1）解：设第一次加价的增长率为x，由题意得解得：（不合题意，舍去）答：第一次加价的增长率为．（2）解：当销售单价为m元/个时，获得的利润为y元，由题意得∵∴当时，y可取得最大值为1440答：当销售单价为22元/个时，该商场每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1440元．21．他垂直起跳的高度至少要达到米解：根据题意可知抛物线的顶点坐标为，与抛出点的坐标为，设抛物线的解析式为：，顶点坐标代入得：，抛出点坐标代入得：，解得：，∴抛物线得解析式为：，当时，，米，故他垂直起跳的高度至少要达到米．22．（1）；（2）；（3）x的取值范围为：或解：（Ⅰ）是等腰直角三角形，则，因为PD⊥BC ，则为等腰直角三角形，故，则，当时，；（Ⅱ）当点在上运动时，由（1）知，，当点在上运动时，同理可得为等腰直角三角形，则，则，故；（Ⅲ）①当时，则，当时，即，解得（舍去负值），当时，即，解得（舍去负值），故；②当时，则，当时，即=，解得：，当时，即，解得：，故；综上，x的取值范围为：或．。
九年级上册人教版数学《学练优 湖北专版》习题讲评 第22章 第20课时 二次函数的实际应用(1)
(1)求出抛物线型拱桥的解析式． 解：建立如答图的直角坐标系．
设抛物线形拱桥的解析式为 y＝ax2(a≠0)． 将点(2，－2)代入， 得 4a＝－2，解得 a＝－12， ∴抛物线形拱桥的解析式为 y＝－12x2.
(2)若水面下降 2.5 米，则水面宽度将增加多少米？
解：当 y＝－4.5 时，－12x2＝－4.5，解得 x＝±3， ∴此时水面宽度为 6 米，∴水面宽度将增加 2 米．
解：由题意，得 3.05＝－15x2＋3.5，即 x2＝2.25， ∵篮圈中心在第一象限，∴x＝1.5. ∴他与篮底的距离 l 为 1.5＋2.5＝4(m)．
5．如图是抛物线拱桥，点 P 处有一照明灯，水面 OA 宽 4 m，以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立平面 直角坐标系，已知点 P 的坐标为3，32.
3．如图，某学生推铅球，铅球出手(点 A 处)的高度 是53 m，出手后的铅球沿一段抛物线弧运行，当运行到高 度 y＝3 m 时，水平距离是 x＝4 m．求：
(1)铅球行进高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数解 析式；
解：设二次函数的解析式为 y＝a(x－4)2＋3. 把点 A0，53代入解析式，解得 a＝－112. ∴铅球行进高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数解 析式为 y＝－112(x－4)2＋3.
与水平距离 x(m)之间的关系式是 y＝－112x2＋23x＋53.求他 将铅球推出时的高度和成绩是多少米．
解：铅球推出时的高度是53m. 当 y＝0 时，－112x2＋32x＋53＝0， 解得 x1＝10，x2＝－2(不合题意，舍去)． 所以推铅球的成绩是 10 m.
变式 1 在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作 是抛物线 y＝－14x2＋bx＋c 的一部分，如图，其中出球点 B 离地面点 O 的距离是 1 m，球落地点 A 到点 O 的距离 是 4 m，求这条抛物线的解析式和羽毛球飞行的最大高 度．
[配套K12]【学练优】2017年九年级数学上册 21.2.2 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质学案 (新版)沪
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21.2 二次函数的图象和性质2.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质第4课时 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质学习目标：1．使学生掌握用描点法画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象。
2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质。
重点难点：重点：用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是学习的重点。
难点：理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x ＝－b 2a 、(－b 2a ，4ac －b24a)是学习的难点。
学习过程： 一、提出问题1．你能说出函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？2．函数y ＝－4(x －2)2＋1图象与函数y ＝－4x 2的图象有什么关系?(函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象可以看成是将函数y ＝－4x 2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)3．函数y ＝－4(x －2)2＋1具有哪些性质?(当x ＜2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x ＞2时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝2时，函数取得最大值，最大值y ＝1)4．不画出图象，你能直接说出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?5．你能画出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?二、解决问题由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y ＝－12x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象，进而观察得到这个函数的性质。
【学练优】九年级数学上册 21.2.3 二次函数表达式的确定学案 沪科版(2021-2022学年)
二次函数表达式的确定学习目标：１.能根据实际问题列出函数关系式、2.使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。
3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生用数学的意识。
重点难点:根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围,既是学习的重点又是难点。
学习过程:一、复习旧知1.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.（１)ｙ＝６ｘ2+12x；（2）y＝－4x2+８x－1０２. 以上两个函数，哪个函数有最大值,哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?二、范例有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决第2页提出的两个实际问题;例1、要用总长为２0m的铁栏杆,一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?解:设矩形的宽AB为xm，则矩形的长ＢＣ为(20－2x)ｍ，由于x＞0,且２０－2x＞O,所以O<x<１O.围成的花圃面积y与x的函数关系式是ｙ＝x(20-2ｘ)即ｙ＝-2ｘ2+２0x配方得y＝-２（x-5）２＋50所以当x＝5时，函数取得最大值,最大值y=50。
因为x＝5时，满足O＜x＜1O，这时２0－２x＝10.所以应围成宽5m,长10ｍ的矩形，才能使围成的花圃的面积最大。
例2．某商店将每件进价8元的某种商品按每件1０元出售，一天可销出约1００件,该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低０.1元，其销售量可增加约10件。
将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?学习要点(1）学生阅读第2页问题2分析，(2)请同学们完成本题的解答;(３）教师巡视、指导;(4）教师给出解答过程:解：设每件商品降价x元(0≤x≤2),该商品每天的利润为y元。
商品每天的利润y与x的函数关系式是： y＝(10-x－8）(100+1OOx）即y=－1ＯOx２＋1OOx+2０0 配方得y＝-１0０（x－＼f（1,2)）２＋２25因为x＝错误!时，满足０≤x≤２。
学练优2017年九年级数学上册21.2.2第3课时二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质学案
21.2 二次函数的图象和性质2.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质第3课时 二次函数y =a (x +h )2+k 的图象和性质学习目标：1．使学生理解函数y=a(x+h)2＋k 的图象与函数y=ax 2的图象之间的关系；2．会确定函数y=a(x+h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；3．让学生经历函数+h)2＋k 性质的探索过程，理解函数y=a(x+h)2＋k 的性质. 重点难点：重点：确定函数y=a(x+h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x+h)2＋k 的图象与函数y=ax 2的图象之间的关系，理解函数y=a(x+h)2＋k 的性质是学习的重点。
难点：正确理解函数y=a(x+h)2＋k 的图象与函数y=ax 2的图象之间的关系以及函数y=a(x+h)2＋k 的性质是学习的难点。
学习过程： 一、提出问题1．函数y=2x 2＋1的图象与函数y=2x 2的图象有什么关系?(函数y=2x 2＋1的图象可以看成是将函数y=2x 2的图象向上平移一个单位得到的)2．函数y=2(x －1)2的图象与函数y=2x 2的．图象有什么关系?3．函数y=2(x －1)2＋1图象与函数y=2(x －1)2图象有什么关系?函数y=2(x －1)2＋1有哪些性质?二、试一试，系吗?问题3：你能发现函数y=2(x －1)2＋1有哪些性质?对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；函数y ＝2(x －1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x －1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x 2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。
当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而减小，当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。
三、做一做问题4：在图3中，你能再画出函数y=2(x －1)2－2的图象，并将它与函数y=2(x －1)2的图象作比较吗?问题5：你能说出函数y=－13(x －1)2＋2的图象与函数y=－13x 2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?(函数y ＝－13(x －1)2＋2的图象可以看成是将函数y=－13x 2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)四、课堂练习： 练习1、2、3、4。
沪科版数学九年级上册21.4《二次函数的应用》(第2课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.4《二次函数的应用》（第2课时）教学设计一. 教材分析沪科版数学九年级上册第21.4节《二次函数的应用》（第2课时）的内容，主要围绕二次函数在实际问题中的应用进行展开。
本节课的内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行的，旨在培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过丰富的例题和练习题，引导学生学会如何将实际问题转化为二次函数模型，并利用二次函数的性质解决问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的概念、图像和性质有了初步的了解。
但是，学生在应用二次函数解决实际问题时，往往会因为对实际问题理解不深、对二次函数模型掌握不牢固而遇到困难。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生深入理解实际问题，将实际问题转化为二次函数模型，并巩固学生对二次函数性质的掌握。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际问题中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2.巩固学生对二次函数图像和性质的理解，提高学生对二次函数模型的掌握程度。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用，如何将实际问题转化为二次函数模型。
2.难点：对实际问题进行合理建模，灵活运用二次函数的性质解决问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题情境，引导学生主动探究二次函数的应用。
2.案例分析法：分析典型例题，让学生学会如何将实际问题转化为二次函数模型。
3.小组讨论法：引导学生进行团队协作，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含实际问题、例题和练习题的PPT，方便学生直观地理解和学习。
2.教学素材：准备一些与生活相关的实际问题，作为教学案例。
3.练习题：准备一些针对本节课内容的练习题，帮助学生巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的实际问题，引导学生回顾二次函数的图像和性质，为新课的学习做好铺垫。
时建立二次函数模型解决实际问题PPT课件
问题：如何建立直角坐标系？
y
解：如图建立直角坐 标系.
l
o
x
问题：解决本题的关键是什么？ 解：建立合适的直角坐标系.
解：如图建立直角坐标系.
y
根据题意可设该拱桥形成
的抛物线的解析式为
y=ax2+2.
∵该抛物线过(2,0),
l
x
o
x
∴0=4a+2，a= 1 2
y 1 x2 2. 2
解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，A点坐标为(0， 1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).
y x 12 2.25
数学化
y ●B(1,2.25) A
(0,1.25)
●
D(-2.5,0) o
●x
C(2.5,0)
设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式 为：y=－ (x-1)2+2.25. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点 D的坐标为(-2.5,0) .
导入新课
回顾与思考 问题：解决生活中面积的实际问题时，你会用到什么知识？ 所用知识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？
讲授新课
二次函数在建筑问题中的应用
问题：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
问题引导 （1）求宽度增加多少需要什么数据？ （2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （3）如何求这组数据？需要先求什么？ （4）图中还知道什么？ （5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
沪科版九年级数学上册21.4.1利用二次函数模型解决最值问题同步练习题
21.4.1利用二次函数模型解决最值问题一、选择题1．某汽车出租公司一天的租车总收入y (元)与每辆出租车的日租金x (元)满足函数表达式y ＝－35(x －120)2＋19440(0≤x ≤200)，则该公司一天的租车总收入最多为( )A ．120元B ．200元C ．1200元D ．19440元2．]某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图1所示的三处各留1m 宽的门，已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m ，则能建成的两间饲养室总面积最大为 ( )图1A ．75m2B. 752m 2 C ．48m2D. 2252m 23．某超市的小王对该超市苹果的销售情况进行了统计，某种进价为2元/千克的苹果每天的销售量y (千克)和当天的售价x (元/千克)之间满足y ＝－20x ＋200(3≤x ≤5)，若要使该种苹果当天的利润W 达到最高，则其售价应为( )A ．5元/千克B ．6元/千克C ．3.5元/千克D ．3元/千克4．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y (单位：万元)与销售量x (单位：辆)之间分别满足：y 1＝－x 2＋10x ，y 2＝2x .若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为( )A ．30万元B ．40万元C ．45万元D ．46万元二、填空题5．某商品的利润y (元)与单价x (元/件)之间的函数表达式为y ＝－5x 2＋10x ，当0.5≤x ≤2时，该商品的最大利润是________.6．某市新建成的一批楼房都是8层，房子的价格y (元/平方米)是楼层数x (楼)的二次函数．其中一楼价格为4930元/平方米，二楼和六楼均为5080元/平方米，则________楼房子最贵，且价格为________元/平方米．7．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________cm2.8．一件工艺品的进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价________元．三、解答题9．直线l过点A(a，0)和点B(0，b)，其中a＞0，b＞0，若a＋b＝12，点O为原点，△AOB的面积为S，则当b为何值时，S取得最大值？并求出这个最大值．10．某种商品每天的销售利润y(元)与每个商品的售价x(元)之间满足关系y＝ax2＋bx －75，其图象如图2所示．(1)当每个商品的售价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)每个商品的售价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元．图211.某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为y＝⎩⎨⎧－2x ＋140()40≤x <60，－x ＋80()60≤x ≤70. (1)若企业销售该产品获得的年利润为W (万元)，请直接写出年利润W (万元)关于售价x (元/件)的函数表达式；(2)当该产品的售价为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？12．如图3，有长为24m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃(由两个小矩形花圃组成)．设花圃的一边AB 为x m ，面积为S m 2.(1)求S 与x 之间的函数表达式(写出自变量的取值范围)． (2)如果要围成面积为45m 2的花圃，那么AB 的长是多少米？(3)能围成面积比45m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．图313 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m 的围网在水库中围成了如图4所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC 的长度为x m ，矩形区域ABCD 的面积为y m 2.(1)求y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？图4答案1．D2．[解析]A 设垂直于现有墙的一边长为x m ，则平行于现有墙的一边长为27＋3－3x ＝(30－3x)m ，则饲养室的总面积S ＝x(30－3x)＝－3x 2＋30x ＝－3(x －5)2＋75，故能建成的饲养室的最大面积为75m 2.3．[解析]A W ＝(x －2)(－20x ＋200)＝－20(x －6)2＋320，因为3≤x ≤5，当x ≤6时，W 随x 的增大而增大，故当x ＝5时，W 取最大值．故选A .4．[解析]D 设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x)辆．根据题意，得总利润W ＝ y 1＋y 2＝－x 2＋10x ＋2(15－x)＝－x 2＋8x ＋30＝－(x －4)2＋46，故能获得的最大利润为46万元．5．[答案]5元[解析]当x ＝1时，函数有最大值5，且1在0.5≤x ≤2的范围内，所以当0.5≤x ≤2时，该商品的最大利润为5元．6．[答案]四 5200[解析]设y ＝ax 2＋bx ＋c ，代入(1，4930)，(2，5080)，(6，5080)， 解得y ＝－30(x －4)2＋5200. 当x ＝4时，y ＝5200. 7．[答案]12.5[解析]设这两个正方形的边长分别为x cm 和y cm ，它们的面积之和为S cm 2.根据题意，得4x ＋4y ＝20，S ＝x 2＋y 2，所以y ＝5－x ，S ＝x 2＋(5－x)2＝2x 2－10x ＋25＝2(x 2－5x)＋25＝2(x －52)2＋252.所以当x ＝2.5时，这两个正方形的面积之和最小，最小是12.5cm 2.8．59．解：∵a ＋b ＝12，∴a ＝12－b.又∵S ＝12ab ，∴S ＝12(12－b)b ＝－12b 2＋6b ＝－12(b －6)2＋18.又∵－12＜0，∴当b ＝6时，S 取得最大值，最大值为18.10．解：(1)函数y ＝ax 2＋bx －75的图象过点(5，0)，(7，16)，则⎩⎪⎨⎪⎧25a ＋5b －75＝0，49a ＋7b －75＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝20， 则y ＝－x 2＋20x －75＝－(x －10)2＋25，故函数图象的顶点坐标是(10，25)． ∵a ＝－1＜0，∴当x ＝10时，y 最大值＝25.故当每个商品的售价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元． (2)∵函数y ＝－x 2＋20x －75的图象的对称轴为直线x ＝10， ∴点(7，16)关于对称轴的对称点是(13，16)． 又∵函数y ＝－x 2＋20x －75的图象开口向下， ∴当7≤x ≤13时，y ≥16.即每个商品的售价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元． 11．解：(1)当40≤x ＜60时，W ＝(x －30)(－2x ＋140)＝－2x 2＋200x －4200， 当60≤x ≤70时，W ＝(x －30)(－x ＋80)＝－x 2＋110x －2400. (2)当40≤x ＜60时，W ＝－2x 2＋200x －4200＝－2(x －50)2＋800， ∴当x ＝50时，W 取得最大值，最大值为800；当60≤x ≤70时，W ＝－x 2＋110x －2400＝－(x －55)2＋625， ∴当x ＞55时，W 随x 的增大而减小，∴当x ＝60时，W 取得最大值，最大值为－(60－55)2＋625＝600. ∵800＞600，∴当x ＝50时，W 取得最大值800.答：该产品的售价为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800万元．12．解：(1)S ＝x(24－3x)＝－3x 2＋24x(143≤x<8)．(2)当S ＝45时，有－3x 2＋24x ＝45. 解得x 1＝3，x 2＝5. ∵143≤x<8， ∴x ＝5， 即AB 的长为5m .(3)能围成面积比45m 2更大的花圃．∵S ＝－3x 2＋24x ＝－3(x －4)2＋48，其函数图象开口向下，对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，∴在143≤x<8的范围内，当x ＝143时，S 取得最大值，S 最大值＝1403.即最大面积为1403m 2，此时AB ＝143m ，BC ＝10m .13 解：(1)方法一：设AE ＝a m ．由题意，得AE ·AD ＝2BE ·BC ，AD ＝BC ，所以BE ＝12a ，AB ＝32a.由题意，得2x ＋3a ＋a ＝80，所以a ＝20－12x ，所以y ＝AB ·BC ＝32a ·x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫20－12x x ，即y ＝－34x 2＋30x ，其中0<x<40.方法二：根据题意，得CF ·x ＝y 3，CF ＝y 3x ，DF ·x ＝2y 3，DF ＝2y 3x ，所以2x ＋2×y 3x ＋3×2y3x ＝80，整理得y ＝－34x 2＋30x ，其中0＜x ＜40.(2)y ＝－34x 2＋30x ＝－34(x －20)2＋300，因为－34＜0，所以抛物线开口向下．又因为0＜x ＜40，所以当x ＝20时，y 取得最大值，最大值为300.。
沪科版数学九年级上册21.4《二次函数的应用》(第1课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.4《二次函数的应用》（第1课时）教学设计一. 教材分析《二次函数的应用》是沪科版数学九年级上册第21.4节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是让学生学会如何运用二次函数解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材中提供了丰富的例题和练习题，有助于学生巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的概念和图像有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为数学模型，因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题与数学知识相结合，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际问题中的应用。
2.学会将实际问题转化为二次函数模型，并解决实际问题。
3.提高学生的数学应用能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数模型，并解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与学习。
2.案例分析法：通过分析具体案例，让学生理解二次函数在实际问题中的应用。
3.小组合作学习：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数在实际问题中的应用。
2.案例材料：收集一些实际问题，用于教学中的案例分析。
3.练习题：准备一些练习题，巩固学生所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，如抛物线形状的物体、二次函数图像等，引导学生思考这些实际问题与二次函数之间的关系。
2.呈现（15分钟）讲解教材中的例题，引导学生学会将实际问题转化为二次函数模型，并解决实际问题。
例如，讲解如何根据抛物线形状的物体求解最大值或最小值。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，分析教材中的练习题，将实际问题转化为二次函数模型，并解决实际问题。
实际问题与二次函数—建立二次函数模型解决实际问题(教材配套课件)
到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
典例精析
例1 图中是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离
水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增
加了多少？
解法一: 如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建
立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2
∴-4=100a，a=-0.04
∴y=-0.04x2 .
C
A
O
h
20 m
D
x
B
在“拱桥类”问题中，一般知道拱高和拱长，这时可根据抛物线的对
称性建立以对称轴为y轴的坐标系，然后根据所建立的坐标系，确定抛物线
上一些点的坐标.若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2；若
顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2+k.
面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）
2
近似满足函数关系y＝﹣ x + x+c，其图象如
图所示．已知铅球落地时的水平距离为10m．
（1）求铅球出手时离地面的高度；
（2）在铅球行进过程中，当它离
地面的高度为 m时，求此时铅球
的水平距离．
2
解：（1）根据题意，将（10，0）代入y＝﹣ x +
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即抛物线过点(2,-2)
∴-2=a×22
∴a=-0.5
∴这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5x2 .
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:
-3=-0.5x² 解得x=± ，这时水面宽度为2 m
二次函数应用(运动中的抛物线问题)
(2) 已知某运动员在2.5m高度时扣球效果最佳，如果
她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣
球最佳？（精确到0.1s） 解：当h=2.5 m时，得
h
v0t
1 2
gt 2
10t 5t2 2.5
解得 t1 0.3s, t2 1.7s
排球在上升和下落中，各有一次经过2.5m高度， 但第一次经过是离排球被垫起仅有0.3s，要打快攻， 选择此时扣球，可令对方措手不及，易获成功.
y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为y 1 x2 1 x 3 ，
8 22
那么铅球运动过程能达到的最大高度是 2 米.铅球成绩
是__6___米
y
O
x
课堂小结
运动中的抛 物线问题
转化
建立恰当的 直角坐标系
① 能够将实际距离准确 的转化为点的坐标；
② 选择运算简便的方法.
y=－0.2x2+3.5.
y
当 x=－2.5时，y=2.25 .
答：该运动员出手时的高度为2.25m.
O
x
当堂练习
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式 h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过 的时间，则球在 4 s后落地.
2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度
解：如图，建立如图所示的坐标系.则点A的坐标是（1.5，3.05）， 篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.则点C表示运动员投篮球 的出手处.
根据题意可设抛物线的解析式为 y=ax2+3.5.点A（1.5,3.05）
在抛物线上，代入有
2.25a+3.5=3.05，
九年级数学上册 21.4 第2课时 建立二次函数模型解决实际问题学案 沪科版(2021学年)
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21。
4 二次函数的应用第2课时建立二次函数模型解决实际问题学习思路(纠错栏)学习目标:1。
根据给出的函数解析式，应用二次函数的知识解决实际问题．2。
经历解决实际问题,再应用于实践,能够对问题的变化趋势进行分析．根据函数图象确立函数关系式，解决实际问题.学习重点:二次函数的最值问题和二次函数模型的建立．预设难点：二次函数模型的建立.☆预习导航☆一、链接:(１)函数()13212--=xy，当x时，函数值y随x值的增大而减少;当x时，函数值y随x值的增大而增大;当x__＿__时，函数y有最____值，为______。
（2)在直角三角形中，勾和股之和是20，试问：勾和股各是多少时，这个直角三角形的面积最大, 最大面积是多少？二、导读通过主动的计算、观察、分析、比较、思考，逐渐地建构起用二次函数的知识解决实际问题的思维模式。
☆合作探究☆1。
一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4米，跨度为10米,你能建立适当的坐标系求出该抛物线的解析式吗?学习思路 (纠错栏)2。
上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下关系式:h ＝v ０t-错误!gt 2，其中h 是物体上升的高度，ｖ0是物体被上抛时的初始速度,ｇ表示重力加速度,通常取g ＝10m/s 2,t 是舞台抛出后经过的时间。
[配套K12]【学练优】2017年九年级数学上册 21.4 第1课时 二次函数在面积最值问题中的应用学案 (新版)沪科
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21.4 二次函数的应用第1课时 二次函数在面积最值问题中的应用学习目标：1、会利用二次函数的知识解决面积、利润等最值问题．2、经过面积、利润等最值问题的学习，学会分析问题，解决问题的方法，并总结和积累 解题经验．学习重点：利用二次函数求实际问题的最值．预设难点：对实际问题中数量关系的分析．学习流程（一）复习引入: 复习引入阶段我设计了三个问题：1.复习二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）的图象、顶点坐标、对称轴和最值。
2.（1）求函数y ＝ 2x 2+2x －3的最值。
（2）求函数y ＝x 2+2x －3的最值。
（0≤x ≤ 3）3、抛物线在什么位置取最值？（二）讲解新课新课分为在创设情境中发现问题、在解决问题中找出方法、在巩固与应用中提高技能几个环节1、在创设情境中发现问题[做一做]：请你画一个周长为40厘米的矩形，算算它的面积是多少？再和同学比比，发现了什么？谁的面积最大？2、在解决问题中找出方法这一环节我设计了：[想一想]：某工厂为了存放材料，需要围一个周长40米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大？3、在巩固与应用中提高技能例1：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？（三）分层评价这一阶段，我设计了三组练习题让学生选做，每一组题做对都能得到一百分，共三百分，学生自由选择完成，使不同层次的学生都能够体会到成功的喜悦。
A层：（你能行！）我设计了两道题，学生只要仔细观察基本上都能完成，尝试到成功之后，他们肯定会向更高层次发起进攻。
指出下列函数的最大或最小值（1）y= -3（x-1）2+5 （2）B层：（你肯定行！）我选择了学生感兴趣的最佳下料问题有一块三角形余料如图所示，∠C=90°，AC=30cm，BC=40cm，要利用这块余料如图截出一个矩形DEFC，设DE=xcm,矩形的面积ycm2 。
九年级上册人教版数学《学练优 湖北专版》习题讲评 第22章 第21课时 二次函数的实际应用(2)
第21课时 二次函数的实际应用(2)
核心提要 典例精炼 变式训练 基础巩固 能力拔高 拓展培优
二次函数与价格调整和利润最大问题． 调整类型：调整价格分涨价和降价． 利润求法：(1)由总利润＝单单个个利利润润×数数量量 得到二 次函数的关系式； (2)根据函数图象和性质求最大值．
解：由题意知，矩形的另一边长为(12－x)m， 则 y＝x(12－x)＝－x2＋12x. 自变量 x 的取值范围是 0＜x＜12.
变式 1 如图，用长为 12 m 的篱笆(虚线部分)，两 面靠墙围成矩形的苗圃．
(2)当 x 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积 是多少？
解：∵y＝－x2＋12x＝－(x－6)2＋36， ∴当 x＝6 时，所围苗圃的面积最大，最大面积是 36 m2.
ABC－S△
BPQ＝8－－
42t2＋
2t＝
42t2－
2t＋8.
∴y 与 t 的函数解析式为 y＝ 42t2－ 2t＋8，t 的取值范围
为 0＜t＜4.
(2)当 t 为何值时，y 取得最小值？最小值为多少？
解：y＝ 42t2－ 2t＋8＝ 42(t－2)2＋8－ 2. ∴当 t＝2 时，y 取得最小值，最小值是 8－ 2.
(1)当售价为 13 元/个时，每天的销售利润为 335500元；
3．某公司将进货单价为 8 元一个的商品按 10 元一 个出售，每天可以卖出 100 个，若这种商品的售价每个 上涨 0.5 元，则销售量就减少 5 个．
(2)求当定价为多少元/个时，每天的销售利润最大， 最大利润是多少．
解：设当定价为 x 元/个时，每天的销售利润 y 最大． 由题意，得 y＝(x－8)(200－10x)＝－10(x－14)2＋360. 所以当 x＝14 时，y 取得最大值，最大值为 360. 答：当定价为 14 元/个时，每天的销售利润最大，最 大利润为 360 元．
第21章 21.4.2 二次函数在桥梁建筑等问题中的应用
解：由题意知抛物线顶点坐标为(5,2.5)、C(10,0)，设抛物线的函数关系式为 y＝a(x－5)2＋2.5, 把 C 代入得 0＝25a＋2.5，解得 a＝－110，∴y＝－110(x－ 5)2＋2.5.当 y＝4－2.4＝1.6 时，即 1.6＝－110(x－5)2＋2.5，解得 x1＝2(不合 题意，舍去)，x2＝8，即 10－8＝2(m)，故汽车右侧离隧道右壁至少 2m 才 不会碰到隧道顶部．
第第21章章二次函数与反比例函数214二次函数的应用2142二次函数在桥梁建筑等问题中的应用数学九年级上册?hk建立二次函数模型解决与建筑有关的问题在解决建筑桥梁等问题中的实际问题时可根据形体特征选择合适的原点建立坐标构建模型再结合条件进行相关计算解决相应问题
数学 九年级 上册•HK
第21章 二次函数与反比例函数
4．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物，如图所示，大门地面宽 AB＝4m， 顶部 C 离地面的高度为 4.4m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶 部距地面 2.8m，装货宽度为 2.4m，请判断这辆汽车能否顺利通过大门？
解：以 AB 为 x 轴，AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系，则可设抛物线表 达式为 y＝ax2＋4.4，把(2,0)代入得 0＝4a＋4.4，解得 a＝－1.1，∴有 y＝－ 1.1x2＋4.4，当 x＝1.2 时，y＝2.816＞2.8，∴这辆汽车能顺利通过大门．
(2)由题意，OC＝5m.令 y＝0，即－210x2＋5＝0，解得 x1＝10，x2＝－10.∴ 地毯的总长度为 AB＋2OC＝20＋2×5＝30(m)．∴30×1.5×20＝900(元)∴ 购买地毯需要 900 元； (3)可设点 G 的坐标为(m，－210m2＋5)，其中 m＞0，则 EF＝2m，GF＝－210 m2＋5.由已知得：2(EF＋GF)＝27.5，即 2(2m－210m2＋5)＝27.5，解得：m1 ＝5，m2＝35(不合题意，舍去)．∴EF＝10(m)，GF＝－210×52＋5＝3.75(m)．
【学练优】2017年九年级数学上册 21.2.2 第2课时 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质学
21.2 二次函数的图象和性质2.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质第2课时 二次函数y =a (x +h )2的图象和性质学习目标：1．使学生能利用描点法画出二次函数y ＝a(x+h)2的图象;2．让学生经历二次函数y ＝a(x+h)2性质探究的过程，理解函数y ＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y ＝a(x+h)2的图象与二次函数y ＝ax 2的图象的关系.重点难点：重点：会用描点法画出二次函数y ＝a(x+h)2的图象，理解二次函数y ＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y ＝a(+h)2的图象与二次函数y ＝a x 2的图象的关系是学习的重点。
难点：理解二次函数y ＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y ＝a(x+h)2的图象与二次函数y ＝ax2的图象的相互关系是学习的难点。
学习过程：一、提出问题1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y ＝－12x 2，y ＝－12x 2－1的图象，并回答： (1)两条抛物线的位置关系、对称轴、开口方向和顶点坐标。
(2)说出它们所具有的公共性质。
2．二次函数y ＝2(x －1)2的图象与二次函数y ＝2x 2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?二、分析问题，解决问题 问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?(画出二次函数y ＝2(x －1)2和二次函数y ＝2x 2的图象，并加以观察)问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝2x 2与y ＝2(x －1)2的图象吗?2．让学生在直角坐标系中画出图来： 3．教师巡视、指导。
问题3：现在你能回答前面提出的问题吗?2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y ＝2(x －1)2与y ＝2x 2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y ＝2(x 一1)2的图象可以看作是函数y ＝2x 2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，0)。
九年级数学上册 21.1 二次函数学案 沪科版(2021学年)
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第21章二次函数与反比例函数２1。
1 二次函数学习目标:(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围;（2)注重学生参与,联系实际,丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯。
重点难点：能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。
学习过程:一、试一试1。
设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值,算出矩形的另一边ＢC 的长，进而得出矩形的面积ｙｍ2．试将计算结果填写在下表的空格中,AB长x(ｍ)１２３456789ＢC长(m）1 2面积ｙ(m２)４8２.x的值是否可以任意取？有限定范围吗?３．我们发现，当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式,对于１。
,可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BＣ的长和面积,然后引导学生观察表格中数据的变化情况,提出问题：(１)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见,达成共识：当AＢ的长为5ｃm,BC的长为１0ｍ时，围成的矩形面积最大;最大面积为５0ｍ2.对于2,可让学生分组讨论、交流,然后各组派代表发表意见。
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第 2 课时 学习思路 （纠错栏） 学习目标：
二次函数的应用
建立二次函数模型解决实际问题
1.根据给出的函数解析式，应用二次函数的知识解决实际问题． 2.经历解决实际问题，再应用于实践，能够对问题 的变化 趋势进行分析． 根据函数图象确立函数关系式，解决实际问题． 学习重点：二次函数的最值问题和二次函数模型的建立． 预设难点：二次函数模型的建立． ☆ 一、链接： （1）函数 y 当x 预习导航 ☆
1 时，函数值 y 随 x 值的增 大而减少； x 32 1 ，当 x 2 时，函数值 y 随 x 值的增大 而增大；当 x_____时，函数 y 有最____
值，为______。 （2）在直角三角形中，勾和股之和是 20，试问：勾和股各是多少时，这个直 角三角形的面积最大， 最大面积是多少？ 二、导读 通过主动的计 算、观察、分析、比较、思考，逐渐地建构起用二次函数的 知识解决实际问题的思维模式。 ☆ 合作探究 ☆ 1. 一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4 米，跨度为 10 米， 你能建立适当的坐标系求出该抛物线的解析式吗？
1
（纠错栏）
☆
归纳反思
☆ห้องสมุดไป่ตู้
对照学习目标谈谈这节课你们有什么收获，还 有什么疑惑？
☆
达标检测
☆
2
1.x 人去旅游共需支出 y 元，若 x,y 之间满足关系式 y=2x - 20x + 1050,则 当人数为_____ 时总支出最少。
2.已知一直角 三角形两条直角边的和是 6cm， 则以这个直角三角形的斜边为边 长的正方形的面积的最小值是______. 3.要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子 OP，柱子顶端 P 处装上喷头，由 P 处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线 路径落下（如图所示）.若已知 OP＝3 米，喷出的水流的最高点 A 距水平面的 高度是 4 米，离柱子 OP 的距离为 1 米. （1）求这条抛物线的解析式； （2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米， 才能使喷出的水流不至于落在池外？
4m A B
10m 1 2 2. 上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：h＝v0t－ gt ，其中 2 h 是物体上升的高度，v0 是物体被上抛时的初始速度，g 表示重力加速度，通 2 常取 g＝10m/s ，t 是舞台抛出后经过的时间。在一次排球比赛中，球从靠近 地面处被垫起时竖直向上的初始速度为 10m/s。 （1）问排球上升的最大高度是多少？ （2）已知某运动员在 2.5m 高度是扣球效果最佳，如果她要打快攻，问 该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？（ 精确到 0.1s）。 学习思路
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