人教版B版高中数学必修4：平面向量的数量积_课件3(1)

解析：(1)设 a 与 b 的夹角为 θ， 则由(a＋2b)·(a－b)＝－6， 得|a|2＋|a|·|b|cos θ－2|b|2＝－6， 即 1＋1×2cos θ－2×4＝－6， 所以 cos θ＝12，故 θ＝π3. (2)设 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ＞0， 即 1×2－2λ>0，所以 λ<1， 又当 a 与 b 共线时，1×λ－(－2)×2＝0，解得 λ＝－4， 所以实数 λ 的取值范围为{λ|λ<1 且 λ≠－4}．
【拓展演练 1】 已知点 O 是△ABC 所在平面上的一点，CA＝CB， 设 a＝O→A，b＝O→B，c＝O→C，若|a|＝4，|b|＝2，求 c·(a－b)．
解析：因为|C→A|＝|C→B|，所以C→A2＝C→B2， 所以(O→A－O→C)2＝(O→B－O→C)2， 即O→A2－2O→A·O→C＋O→C2＝O→B2＋O→C2－2O→B·O→C， 16－2a·c＝4－2b·c，所以 c·(a－b)＝6.
3.在四边形 ABCD 中，A→C＝(1,2)，B→D＝(－4,2)，该四边
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形的面积为( C )
A. 5
B．2 5
C．5
D．10
解析：因为A→C·B→D＝－4＋4＝0，所以A→C⊥B→D， 所以四边形 ABCD 的面积为 S＝12|A→C|·|B→D|＝12× 5×2 5＝5.选 C.
4.已知向量 a，b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a－b|＝ 10，
15 ＝3 52
2
2，选
A.
2.已知△ABC 为等边三角形，AB＝2，设点 P，Q 满足A→P
＝λA→B，A→Q＝(1－λ)A→C，λ∈R，若B→Q·C→P＝－32，则 λ＝( A )
1
1± 2
A.2
B. 2
1± 10 C. 2
－1±2 2 D. 2
解析：如图，设A→B＝b，A→C＝c， 则|b|＝|c|＝2，b•c＝2， 又B→Q＝B→A＋A→Q＝－b＋(1－λ)c， C→P＝C→A＋A→P＝－c＋λb， 由B→Q·C→P＝－32，得 [－b＋(1－λ)c]·(－c＋λb) ＝(λ－1)|c|2－λ|b|2＋(λ－λ2＋1)b·c＝－32， 即 4(λ－1)－4λ＋2(λ－λ2＋1)＝－32， 整理 4λ2－4λ＋1＝0，即(2λ－1)2＝0，解得 λ＝12，故选 A.
一 平面向量数量积的运算
【例 1】已知 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，a 与 b 的夹角为 60°，求：
(1)(a＋2b)·(2a－b)； (2)|a－b|.
解析：由已知|a|＝1，|b|＝1， a·b＝|a||b|·cos 60°＝12. (1)(a＋2b)·(2a－b)＝2a2＋3a·b－2b2 ＝2×12＋3×12－2×12＝32. (2)|a－b|＝ a－b2 ＝ a2＋b2－2a·b ＝ 1＋1－2×12＝1.
三 平面向量数量积的综合应用
【例 3】已知向量 a，b 是两个非零向量，夹角为 α， 当 a＋tb(t∈R)的模取最小值， (1)求 t 的值； (2)求证：b 与 a＋tb 垂直．
解析：(1)因为|a＋tb|2＝(a＋tb)2 ＝t2b2＋2ta·b＋a2. 当 t＝－ab·2b＝－||ab||·cos α 时，|a＋tb|有最小值． (2)由(1)可知，t＝－ab·2b， 所以 b·(a＋tb)＝a·b＋tb2＝a·b－ab·2b·b2＝0. 所以 b 与 a＋tb 垂直．
二 平面向量的夹角问题
【例 2】(1)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求 a 与 b 的夹角 θ；
(2)若 a＝(－1,2)，b＝(3，x)，且 a，b 的夹角 θ 为钝角， 求 x 的取值范围．
解析：(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61， 得 4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 因为|a|＝4，|b|＝3，代入上式，求得 a·b＝－6， 所以 cos θ＝|aa|·|bb|＝4－×63＝－12. 因为 0°≤θ≤180°，所以 θ＝120°. (2)因为 a，b 的夹角 θ 为钝角， 所以 a·b<0，且 a 与 b 不共线，
【拓展演练 3】已知A→B＝(6,1)，B→C＝(x，y)，C→D＝(－ 2，－3)．
(1)若B→C∥D→A，求 x 与 y 之间的关系式； (2)在(1)的前提下，若A→C⊥B→D，求向量B→C的模的大小．
解析：(1)因为A→D＝A→B＋B→C＋C→D＝(x＋4，y－2)， 所以D→A＝(－x－4,2－y)， 又因为B→C∥D→A， 所以 x(2－y)－y(－x－4)＝0，所以 x＋2y＝0.
实数λ的值为
.
解析：因为向量b⊥(λa＋b)，所以b·(λa＋b)＝0， 即2λ＋1＋4λ＋1＝0，故λ＝－13.
5．平面向量 a 与 b 的夹角为 60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则
|a＋b|＝( B )
A. 3 C．3
B. 7
解析：因|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×2×1×cos 60°＋1 ＝7，所以|a＋b|＝ 7，故选 B.
则|b|＝
.
解析：因为|2a－b|＝ 10，平方得 4a2－4a·b＋b2＝10， 即|b|2－2 2|b|－6＝0，解得|b|＝3 2或－ 2(舍去)．
5.已知 a，b 是单位向量，a·b＝0，若向量 c 满足|c－a－ b|＝1，则|c|的范围是 .
解析：由|a|＝|b|＝1，a·b＝0， 设 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)， 由|c－a－b|＝1，得(x－1)2＋(y－1)2＝1， 所以 2－1≤|c|≤ 2＋1.
B(4,1)，C(4，－3)，则向量B→A在O→C方向上的投影是
.
解析：B→A＝(－3，－1)－(4,1)＝(－7，－2)， B→A在O→C上投影为B→|AO→·CO→|C＝4×－7＋5－3×－2 ＝－252.
3．已知向量 a＝(4cos x，－2)，b＝(12cos x，21)，f(x)＝a·b，
平面向量的数量积
1．若向量 a，b 满足|a|＝ 2，|b|＝2，(a－b)⊥a，
则向量 a 与 b 的夹角是
.
解析：由已知(a－b)·a＝0，a2－a·b＝0， 所以 2－ 2×2cos θ＝0，cos θ＝ 22，所以 θ＝45°.
2．在平面直角坐标系中，O 是原点，已知 A(－3，－1)，
(2)A→C＝(x＋6，y＋1)，B→D＝(x－2，y－3)． 因为A→C⊥B→D， 所以A→C·B→D＝0， 所以(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0， 又因为x＋2y＝0， 所以(－2y＋6)(－2y－2)＋(y＋1)(y－3)＝0， 即y2－2y－3＝0，解得y＝3或y＝－1， 即B→C＝(－6,3)或(2，－1)， 所以|B→C|＝3 5或 5.
即－ －3x－＋62≠x<00 ，解得 x<32，且 x≠－6.
故 x 的取值范围为(－∞，－6)∪(－6，32)．
【拓展演练2】 (1)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b| ＝2，则a与b的夹角为 . (2)已知a＝(1，－2)，b＝(2，λ)，若a与b的夹角为锐角， 则实数λ的取值范围为 .
1.已知点 A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量
A→B在向量C→D方向上的投影为( A )
32 A. 2
3 15 B. 2
C．－3 2 2
D．－3
15 2
解析：A→B＝(2,1)，C→D＝(5,5)，
A→B在C→D方向上的投影为|A→B|cos〈A→B，C→D〉＝A→|BC→·DC→|D＝
x∈R，则 f(x)是( A )
A．最小正周期为 π 的偶函数 B．最小正周期为 π 的奇函数 C．最小正周期为π2的偶函数 D．最小正周期为π2的奇函数
解析： f(x)＝2cos2x－1＝cos 2x 是偶函数，最小正周期 为 T＝22π＝π，故选 A.
4．已知向量a＝(2,4)，b＝(1,1)，若向量b⊥(λa＋b)，则