电磁场与电磁波课后答案_郭辉萍版1-6章

第一章 习题解答
1.2给定三个矢量A ，B ，C ： A =x a +2y a -3z a B = -4y a +z a
C =5x a -2z
a
求：⑴矢量A 的单位矢量A a ； ⑵矢量A 和B 的夹角AB θ； ⑶A ·B 和A ⨯B
⑷A ·（B ⨯C ）和（A ⨯B ）·C ；
⑸A ⨯（B ⨯C ）和（A ⨯B ）⨯C
解：⑴A a =
A A
=
149
A
++=（x a +2y a -3z a ）/14
⑵cos AB θ=A ·B /A B
AB θ=135.5o
⑶A ·B =-11, A ⨯B =-10x a -y a -4z a ⑷A ·（B ⨯C ）=-42
（A ⨯B ）·C =-42
⑸A ⨯（B ⨯C ）=55x a -44y a -11z a
（A ⨯B ）⨯C =2x a -40y a +5z a
1.3有一个二维矢量场F(r)=x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。

解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2
y =c
1.6求数量场ψ=ln （2
x +2
y +2
z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。

解：等值面方程为ln （2x +2
y +2z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2x +2
y +2z =14
1.9求标量场ψ（x,y,z ）=62x 3
y +z
e 在点P （2，-1，0）的梯度。

解：由ψ∇=x a x ψ∂∂+y a y ψ∂∂+z a z
ψ∂∂=12x 3y x a +182x 2y y a +z
e z a 得
ψ∇=-24x a +72y a +z a
1.10 在圆柱体2
x +2
y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: ⑴求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为
A =x a 32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x)
⑵验证散度定理。

解：⑴⎰∙s d A
=
A d S ∙⎰曲
+A d S ∙⎰xoz
+A d S ∙⎰yoz
+A d S ∙⎰上
+A d S ∙⎰下
A d S ∙⎰曲
=2
32(3cos 3sin sin )z d d ρ
θρθθρθ++⎰曲
=156.4
A d S ∙⎰xoz
=(3)y z dxdz +⎰xoz
=-6
A d S ∙⎰
yoz
=-
23x dydz ⎰
yoz
=0
A d S ∙⎰上
+A d S ∙⎰下
=(6cos )d d ρθρθρ-⎰上
+cos d d ρθρθ⎰下
=
272
π ⎰∙s d A
=193
⑵dV A V
⎰∙∇=(66)V
x dV +⎰=6(cos 1)V
d d dz ρθρθ+⎰=193
即：⎰∙s
s d A
=dV A V
⎰∙∇
1.13 求矢量A =x a x+y a x 2
y 沿圆周2x +2y =2
a 的线积分，再求A ∇⨯对此圆周所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。

解：⎰∙l l d A =2
L
xdx xy dy +⎰=44a π
A ∇⨯=z a 2y
⎰∙⨯∇S s d A =2S y dS ⎰=22sin S
d d θ
ρρρθ⎰=44a π 即：⎰∙l
l d A =⎰∙⨯∇S
s d A
，得证。

1.15求下列标量场的梯度： ⑴u=xyz+2
x
u ∇=x
a u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a u z
∂∂=x a (yz+zx)+y a xz+z a xy
⑵u=42
x y+2
y z -4xz
u ∇=x
a u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a u z
∂∂=x a (8xy-4z)+y a (42
x +2yz)+z a (2y -4x)
⑶u ∇=x
a u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a u z
∂∂=x a 3x+y a 5z+z a 5y
1.16 求下列矢量场在给定点的散度
⑴A ∙∇=x A x ∂∂+y A y ∂∂+z A z ∂∂=32
x +32y +3(1,0,1)|-=6
⑵A
∙∇=2xy+z+6z (1,1,0)|=2
1.17求下列矢量场的旋度。

⑴A ∇⨯=0
⑵A ∇⨯=x a （x -x ）+y a （y -y ）+z a （z -z ）=0
1.19 已知直角坐标系中的点P(x,y,z)和点Q(x ’,y ’,z ’),求：
⑴P 的位置矢量r 和Q 点的位置矢量'
r ； ⑵从Q 点到P 点的距离矢量R ； ⑶r ∇⨯和r
∙∇； ⑷1()R
∇。

解：⑴r =x a x+y a y+z a z;
'r =x a x ’+y a y ’+z a z ’
⑵R =r -'
r =x a （x -x ’）+y a （y -y ’）+z a （z -z ’）
⑶r ∇⨯=0, r
∙∇=3
⑷
22211
(')(')(')
R x x y y z z =
-+-+-
1()R ∇=(x
a x ∂∂+y a y ∂∂+z a z ∂∂)1R
=-x a 212(')2x x R R --y a 212(')2y y R R --z a 212(')2z z R R - =-x a 3
'x x R
--y a 3'y y R --z a 3'
z z R -
=-31
R
[x a （x -x ’）+y a （y -y ’）+z a （z -z ’）]
=-
3
R R
即：1()R
∇=-
3
R R
第一章 习题解答
1.2给定三个矢量A ，B ，C ： A =x a +2y a -3z a B = -4y a +z a
C =5x a -2z
a
求：⑴矢量A 的单位矢量A a ； ⑵矢量A 和B 的夹角AB θ； ⑶A ·B 和A ⨯B
⑷A ·（B ⨯C ）和（A ⨯B ）·C ；
⑸A ⨯（B ⨯C ）和（A ⨯B ）⨯C
解：⑴A a =
A A
=
149
A
++=（x a +2y a -3z a ）/14
⑵cos AB θ=A ·B /A B
AB θ=135.5o
⑶A ·B =-11, A ⨯B =-10x a -y a -4z a ⑷A ·（B ⨯C ）=-42
（A ⨯B ）·C =-42
⑸A ⨯（B ⨯C ）=55x a -44y a -11z a
（A ⨯B ）⨯C =2x a -40y a +5z a
1.3有一个二维矢量场F(r)=x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。

解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2
y =c
1.6求数量场ψ=ln （2x +2y +2
z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。

解：等值面方程为ln （2x +2y +2
z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2x +2y +2
z =14
1.9求标量场ψ（x,y,z ）=62x 3
y +z
e 在点P （2，-1，0）的梯度。

解：由ψ∇=x a x ψ∂∂+y a y ψ∂∂+z a z
ψ∂∂=12x 3y x a +182x 2y y a +z
e z a 得
ψ∇=-24x a +72y a +z a
1.10 在圆柱体2
x +2
y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: ⑴求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为
A =x a 32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x)
⑵验证散度定理。

解：⑴⎰∙s d A
=
A d S ∙⎰曲
+A d S ∙⎰xoz
+A d S ∙⎰yoz
+A d S ∙⎰上
+A d S ∙⎰下
A d S ∙⎰曲
=2
32(3cos 3sin sin )z d d ρ
θρθθρθ++⎰曲
=156.4
A d S ∙⎰xoz
=(3)y z dxdz +⎰xoz
=-6
A d S ∙⎰yoz
=-2
3x dydz ⎰yoz
=0
A d S ∙⎰上
+A d S ∙⎰下
=(6cos )d d ρθρθρ-⎰上
+cos d d ρθρθ⎰下
=
272
π ⎰∙s d A =193
⑵dV A V
⎰∙∇=(66)V
x dV +⎰=6(cos 1)V
d d dz ρθρθ+⎰=193
即：⎰∙s
s d A
=dV A V
⎰∙∇
1.13 求矢量A =x a x+y a x 2
y 沿圆周2x +2y =2
a 的线积分，再求A ∇⨯对此圆周所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。

解：⎰∙l l d A =2
L
xdx xy dy +⎰=44a π
A ∇⨯=z a 2y
⎰∙⨯∇S s d A =2S y dS ⎰=22sin S
d d θ
ρρρθ⎰=44a π 即：⎰∙l
l d A =⎰∙⨯∇S
s d A
，得证。

1.15求下列标量场的梯度： ⑴u=xyz+2
x
u ∇=x
a u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a u z
∂∂=x a (yz+zx)+y a xz+z a xy
⑵u=42
x y+2
y z -4xz
u ∇=x
a u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a u z
∂∂=x a (8xy-4z)+y a (42
x +2yz)+z a (2y -4x)
⑶u ∇=x
a u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a u z
∂∂=x a 3x+y a 5z+z a 5y
1.16 求下列矢量场在给定点的散度
⑴A ∙∇=x A x ∂∂+y A y ∂∂+z A z
∂∂=32
x +32y +3(1,0,1)|-=6
⑵A
∙∇=2xy+z+6z (1,1,0)|=2
1.17求下列矢量场的旋度。

⑴A ∇⨯=
⑵A ∇⨯=x a （x -x ）+y a （y -y ）+z a （z -z ）=
0 1.19 已知直角坐标系中的点P(x,y,z)和点Q(x ’,y ’,z ’),求： ⑴P 的位置矢量r 和Q 点的位置矢量'
r ； ⑵从Q 点到P 点的距离矢量R ； ⑶r ∇⨯和r
∙∇； ⑷1()R
∇。

解：⑴r =x a x+y a y+z a z;
'r =x a x ’+y a y ’+z a z ’
⑵R =r -'
r =x a （x -x ’）+y a （y -y ’）+z a （z -z ’）
⑶r ∇⨯=0, r
∙∇=3
⑷
22211
(')(')(')
R x x y y z z =
-+-+-
1()R ∇=(x
a x ∂∂+y a y ∂∂+z a z ∂∂)1R
=-x a 212(')2x x R R --y a 212(')2y y R R --z a 212(')2z z R R - =-x a 3
'x x R --y a 3'y y R --z
a 3'
z z R -
=-31
R
[x a （x -x ’）+y a （y -y ’）+z a （z -z ’）]
=-
3
R R 即：1()R
∇=-
3R R
第二章 习题解答
2.5试求半径为a ，带电量为Q 的均匀带电球体的电场。

解：以带电球体的球心为球心，以r 为半径，作一高斯面， 由高斯定理
S
D dS ∙⎰
=Q ，及D E ε=得，
① r ≤a 时，
由
S
D dS ∙⎰
=
224
433Q
r a ππ⨯，得
3
4Qr
D a π=
3
04Qr
E a πε=
② r>a 时，
由
S
D dS ∙⎰
=Q ，得
3
4Qr
D r
π=
3
04Qr
E r
πε=
2.5 两无限长的同轴圆柱体，半径分别为a 和b （a<b ），内外导体间为空气。

设同轴圆柱
导体内、外导体上的电荷均匀分布，其电荷密度分别为1S ρ和2S ρ，求： ⑴空间各处的电场强度；
⑵两导体间的电压；
⑶要使ρ>b 区域内的电场强度等于零，则1S ρ和2S ρ应满足什么关系？ 解：⑴以圆柱的轴为轴做一个半径为r 的圆柱高斯面，由高斯定理S
D dS ∙⎰
=q
及D E ε=得，
当0<r<b 时，由
S
D dS ∙⎰
=q=0，得
D =0，
E =0
当a ≤r ≤b 时，由
S
D dS ∙⎰
=q,得D r l π⨯2⨯=1S ρa l π⨯2⨯
D =
1
S
r e r
ρ，1
0S r a
E e r
ρε=
当b<r 时，由
S
D dS ∙⎰
=q,得D r l π⨯2⨯=1S ρa l π⨯2⨯+2S ρb l π⨯2⨯
D =
1
2
s s r a b
e r
ρρ+，E =
1
2
0s s r a b
e r
ρρε+
⑵ 1
1
ab 00ln b
b
s s a
a
a a a
E dr dr r b
ρρεε∅=
==⎰
⎰
⑶要使ρ>0的区域外电场强度为0，即：
E =
1
2
0s s r a b e r
ρρε+=0，得1
S ρ=2
s b a ρ-
2.9 一个半径为a 的薄导体球壳，在其内表面覆盖了一层薄的绝缘膜，球内充满总电量为Q 的电荷，球壳上又另充了电量为Q 的电荷，已知内部的电场为4
()r r E a a
=，计算： ⑴球内电荷分布；
⑵球的外表面的电荷分布； ⑶球壳的电位； ⑷球心的电位。

解：⑴由0v
E ρε∇=，得304
r a ερ6=
⑵r E e E =
00s r r e D e E ρεε=∙=∙=
⑶由高斯定理S
D dS ∙⎰
=24r D π=q
当r ≥a 时，q=2Q ，Q=2
04a πε
222r Q
a r ϕπε=
=
⑷0
0.2a
a Edl a ϕ=
=⎰
r a ϕϕϕ=+=2.2a
2.17一个有两层介质（1ε，2ε）的平行板电容器，两种介质的电导率分别为1σ和2σ，电容器极板的面积为S 。

当外加压力为U 时，求： ⑴电容器的电场强度；
⑵两种介质分界面上表面的自由电荷密度； ⑶电容器的漏电导；
⑷当满足参数是1221σεσε=，问G/C=?(C 为电容器电容)
解：⑴由11221n 2n E D E D ,J J U +==，得
212112U E d d σσσ=
+，122112
U
E d d σσσ=+
⑵两介质分界面的法线由1指向2
由2211s E E εερ-=，得
s ρ=
212112U d d εσσσ+122112U
d d εσσσ-+
⑶由11I
J E S
σ==，知
1
I S σ=
22112
U
d d σσσ+
G=
I U =122112
S d d σσσσ+ ⑷1D S Q C U U =
=
=122112
S d d εσσσ+ G/C=
1
1
σε
12012222
222
333333021212122212203.1(1)
(,,)(,,)11
()
411(
)
4()()[()()()]
4(2)
z=0,2(x y z r x y z d r x y z d q
r r q x y z d x y z d E q x x y y z d z d
a a a r r r r r r r r x y d qd
E x y φπεπεφ
πεπε=-=+=-=
-
++-+++=-∇+-=--+-+-==++=-+在导体平面上有则3222
22
2
00)
(3)
()4(2)16d q q q F d d πεπε+-==由库仑定律得
2
000
3
012
00021
0300000
2000002000003.6
60,,()66()
26()
26
x x x
d
x C x C d
U d C d
d
x U d
x
d d x U d
E a d d x U d
D E a d d ρφεφφρφερερρφεερρφεερερε∇=-
=-++==+
=-++=-∇=--==--板间电位满足泊松方程
边界条件为
(0)=0,(d)=U 对方程进行两次积分得
代入边界条件得C 所以板间电位分布为
x 00
000
00
06()3
s x x sd x x d
U d
a D
d
U d
a D
d
ερρερρ===∙=-
-
=-∙=
-
=0极板上的电荷密度为x=d 极板上的电荷密度为
3.8
电位分布满足拉普拉斯方程
22222
0,0,00,0,0''''''''''''0000
()()
()()()()
()()()()
=()
()
()()0(1)()()x y b x a y b y x a
y b x a
x y
U f x g y f x g y f x g y f x g y f x g y f x g y f x f x g y g y φφ
φφ
φφ
φ
φλλ
λλ=≤≤=≤≤=≤≤=≤≤∂∂∇=+=∂∂=====+==--=+=即边界条件为分离变量,设代入方程并且两边同时除以得设则
方程可写成以下形式0
(2)
0,0,0222
0,01
(2)0
0()sin()1,0
()sinh(
)sinh()sin()
sinh(
)sin()y x a
y b x a
n n x y b
n n n n n n n n g y y b b
n f x A x b
n n A x y b b
n n A x y b b
φ
φ
λππ
λφ
π
ππ
φππ
φ=≤≤=≤≤=≤≤∞
===>======
∑
解方程并要求满足边界条件
得
只有时方程满足要求
解得将代入方程()并满足边界条件
解得则则电位的通解为
,01
000101
sinh(
)sin()sin()sin()0
sin()sin()2
sinh()sin()sinh()sin()x a y b
n x a
n b b b n n b n n U n n A a y U b b m b
n m n m y y dy b b n m b
n m y y dy b b n n A a y dy b b n n A a y b b φ
ππ
φ
π
ππ
ππππ
ππ=≤≤∞
==∞=∞====≠====∑⎰⎰∑⎰∑⎰代入边界条件得
两边同时乘以sin(y)并对y 从0到b 积分,并由
时时得
0sinh()2sin (3)m b dy
b m A a b m U dy b
ππ==⎰(y)
00001,3,5
00000(1)U=U (3)U (1cos )sinh()
241
(1,3,5)
sinh()
sinh()4sin()sinh()(2)sin sin sin sin =(m=1)2
(3m m n b b b b m m A a m b
U A m m m a b
n x U n b y n n b a b
y
U U b
m y m U dy U dy
b b b b
U πππππππφππππππ
∞
=-======∑⎰⎰时,由方程得
则代入电位的通解求得电位为
时
(y)(y)由方程010
10)sinh()22sinh()
sinh()
sin()
sinh()b b U A a b
U A a b
x y b U b a b
ππππφπ==
=得则代入电位的通解求得电位为
222
22
00
''''''''''''3.9
0000U ()()
()()()()0
()()
()()=()()()()0(1)()()0
(2)(x x a
y y x y
C
f x
g y f x g y f x g y f x g y f x g y f x g y f x f x g y g y φφφφ
φ
φφ
φλλ
λλ====∞
∂∂∇=+=∂∂=====+==-+=-=电位分布满足拉普拉斯方程
即边界条件为分离变量,设代入方程并且两边同时除以得设则方程可写成以下形式解方程x 0
x 22n 2
y y a
n y a
1)0
0()sin(x)a a
2,C
()sin()a
a
n n n n n n n n f x g y A e
n A x e
π
πφ
φ
λππλφ
πφ===∞
--==>=====并要求满足边界条件
得
只有时方程满足要求
解得将代入方程()并满足边界条件
解得则
y a
1
0y 0
01
00a 0001
sin()a sin(x)
a x x a a
sin()sin()2sin()sin()0sin x sin(x)sin()a a n n n n n a m
a a n n n A x e
U n U A m n m a
m n x x dx A a a n m m n x x dx a a
m n m a
U A x dx a π
π
φφ
π
π
ππππ
πππ∞
-==∞
=∞======≠==∑∑⎰⎰∑⎰⎰则电位的通解为代入边界条件得
两边同时乘以sin()并对从0到积分,并由
时时得
()=00
y 0a
1,3,5
2(1cos )24(1,3,5)
4sin()a
m
m
m n n A a a
U m A m U A m m U n x e n ππππ
πφπ∞
-=-====
∑
既则代入电位的通解方程得
3.1设一点电荷q 与无限大接地导体平面的距离为d ，如图3.1所示。

求： （1）空间的电位分布和电场强度；
（2）导体平面上感应电荷密度； （3）点电荷q 所受的力。

12012
2
2
2
2
2
2
3333330212121222
12220(1)
(,,)(,,)
11(
)41
1
()
4()
()
[()()()]
4(2)
z=0,2(x y z r x y z d r x y z d q r r q x y z d x y z d E q x x y y z d z d a a a r r r r r r r r x y d qd
E x y d φπεπεφ
πεπε=-=+=
-=
-
++-+++=-∇+-=--+-+-==++=-
++在导体平面上有则3
22
032
2
22
2
22
00)
.2()
(3)
()4(2)16z
s z z
a qd
a E x y d q q q F a d d
ρεππεπε==-
++-==-由库仑定律得
3.6两无限大接地平行板电极，距离为d ，电位分别为0和0U ，板间充满电荷密度为0x
d ρ
的电荷，如题3.6图所示。

求极板间的电位分布和极板上的电荷密度。

解：板间电位满足泊松方程 200ρφε∇=-
x
d
边界条件为0(0)=0,(d)=U φφ 对方程进行两次积分得 3
01206ρφε=-++x C x C d
代入边界条件得002100,C ρε==+U d C d d
300000
,()66所以板间电位分布为
ρρφεε=-++x U d x
d d
200000
2
000
00000
00000
()
26(
)26
6
()3
x=0极板上的电荷密度为
x=d 极板上的电荷密度为
ρρφεερερεερρερρ===-∇=--==-
-
=∙=--=-∙=-x x s x x sd x x d x U d
E a d d x U d
D E a d d U d
a D d U d
a D d
3.8 一个沿z 方向的长且中空的金属管，其横截面为矩形，金属管的三边保持零电位，而第
四边的电位为U ，如题3.8图所示。

求： （1）当0=U U 时，管内的电位分布； （2）当0sin
π=y
U U b
时,管内的电位分布。

（1）电位分布满足拉普拉斯方程
222
220
0,0,00,0,0''''''''''''00
000
()()
()()()()0()()
()()=()()()()0(1)()()即边界条件为分离变量,设代入方程并且两边同时除以得设则方程可写成以下形式φφ
φφφφ
φ
φλλλλ=≤≤=≤≤=≤≤=≤≤∂∂∇=+=∂∂=====+==--=+x y b x a y b y x a
y b x a
x y
U
f x
g y f x g y f x g y f x g y f x g y f x g y f x f x g y g y 0
(2)
=
(2)解方程并要求满足边界条件
0,0,0000得
只有时方程满足要求
y x a y b x a φφλ=≤≤=≤≤==>
222
()sin(
)解得n n n n g y y b
b
ππλ==
0,01,0
()sinh(
)将代入方程()并满足边界条件
解得φπ=≤≤==x y b n n n f x A x b
sinh()sin()则ππ
φ=n n n n A x y b b
则电位的通解为1sinh(
)sin()ππ
φ∞
==∑n n n n A x y b b
,01
000101
sinh(
)sin()sin()sin()0
sin()sin()2
sinh()sin()sinh()sin()代入边界条件得
两边同时乘以sin(y)并对y 从0到b 积分,并由
时时得
φππ
φπ
ππ
ππππ
ππ=≤≤∞
==∞=∞====≠====∑⎰⎰∑⎰∑⎰x a y b n x a n b b b n n b n n U n n A a y U b b m b
n m n m y y dy b b n m b
n m y y dy b b n n A a y dy b b n n A a y b b 0sinh()2sin (3)(y)ππ==⎰m b dy
b m A a b m U dy b
00(1)U=U (3)U (1cos )sinh()2时,由方程得
m b b m m A a m b
πππ-= 0
01,3,5
41
(1,3,5)
sinh()
sinh(
)
4sin()
sinh()
则代入电位的通解求得电位为
m n U A m m m a b
n x U n b y n n b a b
ππ
ππφππ∞
==
==
∑
000
00(2)sin
sin sin sin =(m=1)2
时
(
y)(y)b
b y
U U b
m y m U dy U dy b b b b
U ππππ
==⎰
⎰
010
10
(3)sinh()22sinh()
sinh(
)sin(
)
sinh()
由方程得
则代入电位的通解求得电位为
b b U A a b
U A a b
x
y
b
U b
a b
ππππφπ
===
3.9一个沿+y 方向无限长的导体槽，其底面保持电位为0U ，其余两面的电位为零，如图3.9所示。

求槽内的电位函数。

222
22000
00
00
U 电位分布满足拉普拉斯方程即边界条件为x x a y y x y
C
φφφφφφ
φ
====∞
∂∂∇=+=∂∂====
''''''''()()
()()()()0()()
()()=()()分离变量,设代入方程并且两边同时除以得设则f x g y f x g y f x g y f x g y f x g y f x g y φλλ=+==-
''''x 0x ()()0(1)()()0
(2)
(1)00方程可写成以下形式解方程并要求满足边界条件
得
a f x f x g y g y λλφφ==+=-===
22n 2y y a
n y
a
0()sin(x)
a a
2,C
()sin()a
n n n n n n n n f x g y A e
n A x e ππλππ
λφπ
φ=∞-->=====只有时方程满足要求解得将代入方程()并满足边界条件
解得则
y
a
1
0y 001
00a 0001
sin()a sin(
x)a x x a a
sin()sin()2sin()sin()0sin x sin(x)sin()a a n n n n n a m
a a n n n A x e U n U A m n m a
m n x x dx A a a n m m n x x dx a a
m n m a U A x dx a ππ
φφπ
π
ππππ
πππ∞
-==∞
=∞======≠==∑∑⎰⎰∑⎰⎰则电位的通解为
代入边界条件得两边同时乘以sin()并对从0到积分,并由
时时得
()=00
y 0a 1,3,5
2(1cos )24(1,3,5)
4sin()a
m m
m n n A a a U m A m U A m m U n x e n ππππ
π
φπ∞
-=-====
∑
既则代入电位的通解方程得
4.3若半径为a 、电流为I 的无线长圆柱导体置于空气中，已知导体的磁导率为0μ，求导体内、外的磁场强度H 和磁通密度B 。

解：（1）导体内：0≤ρ<a 由安培环路定理，⎰
∙l
l d H
='
I
'
I =2
2.I a πρπ=22I a ρ 所以，21.22I H a ρπρ=，1
2
2I H a ρπ= ，
122I H e a ϕρπ→
→
= ， 011022I B H e a ϕμρμπ→→→==
（2）导体外：a ≤
ρ<+∞
⎰∙l l d H =I, 所以2.2H I πρ=,22I H e ϕπρ→→
=，022I B e ϕμπρ→→=
4.5 在下面的矢量中，哪些可能是磁通密度B ？如果是，与它相应的电流密度J 为多少？ （1）F a ρρ→
→
=
解: 1..()F F ρρρρ→∂∇=∂=1
.2ρρ
=2≠0 所以F →不是磁通密度 （2）F →=-x a →y+y a →
x 解：∇.F →
=y x ∂-
∂+x
y ∂∂=0 所以F 是磁通密度 B →∇⨯=0μJ →
=|
x y z
e e e x y z
y x 0
→→→
∂∂∂∂∂∂-=2z e → 所以 J →=02μz e →
（3）F →
=x a →
x —y a →
y
∇.F →=0 F →
是磁通密度
B →
∇⨯=0μJ →
=|
x y z
e e e x y z
x y
→→→
∂∂∂
∂∂∂-=0 所以J →=0 （4）F →
=a ϕ→
-r
∇.F →=0 所以F →
是磁通密度
B →∇⨯=
r 2a a a r sin r sin r r 20r sin 0ϕθθθθϕ
θ
→
→→
∂∂∂∂∂∂-=r a →-θcot +2a θ→=0μJ → 所以J →
=
cot θ
μ-r a →
+
2
μa θ→
4.6已知某电流在空间产生的磁矢位是A →
=x a →
2
x y+y a →
x 2
y +z a →
（2
y —2z ） 求磁感应强度B →
解：B →
=A →
∇⨯=|
x y z
2e e e x y z
2
22
x y xy y z →→→
∂∂∂
∂∂∂-=2y x e →+z e →
（2
y —2z ）
4.13已知钢在某种磁饱和情况下的磁导率为1μ=20000μ，当钢中的磁通密度为 B 1= 0.5×
102 T ，1θ= 75°时，试求此时的磁力线由钢进入自由空间一侧后，磁通密度2B 的大小及
2B 与法线的夹角2θ。

解：由折射定律得
1122
tan tan θμθμ= 所以2tan θ=12μμ1tan θ 2θ=0
0.107
1n 2n B B = 即 1122B c o s B c
o s θθ=
2B =1
12
cos B cos θθ 2B =20.1310-⨯T 4.15通有电流1I 的平行直导线，两轴线距离为d ，两导线间有一载有电流2I 的矩形线圈，求两平行直导线对线圈的互感。

解：左边长直导线作用：B 02I
μπρ
= 所以
b R
01
m1s
a R
01I B d s cd 2I c b R
ln 2a R
μϕϕπρ
μπ→→
++=⋅=⋅+=
+⎰⎰
右边长直导线作用
d a R
01
m2s
d b R
01I B d s cd 2I c d a R
ln 2d b R
μϕϕπρ
μπ→→
----=⋅=⋅--=
--⎰⎰
合成后
m m1m2
01I c b R d a R ln 2a R d b R ϕϕϕμπ=++--⎛⎫⎛⎫=
⎪⎪+--⎝⎭⎝⎭ M=
m
1
I ϕ=
0c b R d a R ln 2a R d b R μπ+--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪+--⎝⎭⎝⎭
4.17无限炒年糕直导线附近有一矩形回路，回路与导线不共面。

证明：它们之间的互感为 M=
()01
1222222a R
ln 22b R C b R μπ-⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
解：B 02I
μπρ
= ， ()
1
22
1
2222R C b c 01
m s R
I B d s ad 2μϕρπρ
⎡⎤⎛
⎫⎢⎥-++ ⎪→→
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
=⋅=⋅⎰⎰ =01I a
2μπ
（ln ()
1
2
2
1
222
2R C b c ⎡⎤⎛
⎫⎢⎥
-++ ⎪
⎪⎢⎥⎝⎭
⎣⎦
—lnR ）=
()011
1222222aI R
ln 22b R C b R μπ-⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
所以互感M=
m
1
I ϕ=
()01
1222222a R
ln 22b R C b R μπ-⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
5.3设y=0为两种磁介质的分界面，y<0为媒质1，其磁导率为1μ，y>0为媒质2，其磁导率为2μ，分界面上有电流密度s x J 2a A/m =分布的面电流，已知媒质1中磁场强度为
123/x y z H a a a A m =++
求媒质2中磁场强度2H 解：
m
A a a a H a n J H H n z y x y S /52)(2
12
1212
++=-==-⨯μμ其中则由到媒质设电磁波由媒质
5.6已知在空气中，电场强度矢量为90.1sin(10)cos(610)/y E a x t z V m ππβ=⨯-求磁场强度H 和相位常数β 解：
3939,0.2310sin(10)cos(61054.41)0.1310cos(10)sin(61054.14)20/x z E jwB B H
H a x t z a x t z rad m
μππππηωμεωνπ--∇⨯=-==-⨯⨯--⨯⨯-==÷=由得相位常数：
5.7自由空间中，已知电场强度矢量为4cos()3cos()x y E a t z a t z ωβωβ=-+-求（1）磁场强度的复数表达式（2）坡印廷矢量的瞬时表达式（3）平均坡印廷矢量 解: (1)
m
/4)e a 3a (120113e a e 4a z
j -y x z
-j y z -j x )(V B H B j E E z βββπ
μω
-==-=⨯∇+=得
由 (2)
z)
-t (cos 245a H E S z)
-t 4)cos(a 3a (1201z)-t 3cos(a z)-t cos(4a 2z y x ),(y x )t ,(βωπβωπ
βωβω
=⨯=-=+=所以t z z H E w/m 2
(3)
()
[]
ππ485)43()34(120121H
E Re 21
S av z
y x y x a a a a a =-⨯+=⨯=*
5.9 将下列复数形式的场矢量变换成瞬时表达式，或作用反的变换
（1）43j z j z x y E
a e a je ββ--=+
()
()
2
(,)4Re[]3Re[]
4cos()3cos()
2
4cos()3sin()
j t z j t z z t x y x y x y E a e
a e
a t z a t z a t z a t z π
ωβωβπ
ωβωβωβωβ-+-=+=-+-+=---
（2）4sin()sin()cos()cos()x z E
a x t z a x t z a a
ππ
ωβωβ=-+-
(,)()
()2
()
2
()4sin()cos()cos()cos()
24sin()Re[]cos()Re[]
4sin()cos()4sin()cos()z t x z j t z j t z x z j z j z
z x z j z j z
x z E a x t z a x t z a a a x e a x e a a
E a x e
a x e a
a
a j x e a x e a a
π
ωβωβπ
ββββπππ
ωβωβπ
π
π
π
ππ
--------=--+-=+=+=-+
（3）cos()2sin()x y E a t z a t z ωβωβ=-+-
(,)()
()
2
()cos()2cos()
2
Re[]2Re[]
2z t x y j t z j t z x y j z j z
z x y E a t z a t z a e
a e
E a e a je π
ωβωβββπ
ωβωβ--
---=-+--=+=-
（4）sin 3cos(cos )jkz y x E
a j k e θθ-=
(sin )
2
()(sin )
2
(,)3cos(cos )3cos(cos )Re[]
3cos(cos )cos(sin )
2
3cos(cos )sin(sin )
j kz z y x j t kz z t y x y x y x E a k e
E a k e
a k t kz a k t kz π
θπ
ωθθθπ
θωθθωθ--
-+
===-+
=--
（5）2sin()y E
a t z ωβϕ=-+
(,)()()
()2cos()
2
2Re[]2z t y j t z y j z z y E a t z a j e E a je ωβφβφπ
ωβφ-+-+=-+-=-=-
5.12 对于线性，均匀和各向同性导电媒质，设媒质的介电常数为，磁导率为电导率为，试证明无源区域中时谐电磁场所满足的波动方程为2222E jw E k E H jw H k H
μσμσ∇=-∇=-式中22
k w με=
解:
H k H j H H
H j H H H
j H H H E H
H H E j E H E
j E D j J H
222
2220
)j ()()(j )()
(-=∇-=∇∴=⋅∇-⋅+=∇-⋅∇∇-=⨯∇⨯∇⨯∇+∇=⋅∇∇+⨯∇=⨯∇⨯∇+=+=⨯∇ωμσμεωωμσωμωεσωμωεσωεσω即代入上式
将
E k E j E 2
2
:-=∇ωμσ同理
5.15设电场强度和磁场强度分别为
cos()cos()
o e o m E E t H H t ωφωφ=+=+求其平均坡印廷矢量。

00()00001
Re[]2
1
Re[]21()Re[]
21()cos()
2
e m e m j j j e m S E H E e H e E H e E H φφφφφφ*--=⨯=
⨯=⨯=⨯- 6.2 自由空间中一均匀平面波的磁场强度为
)cos()(0x wt H a a H z y π-+=
m A /
求：（1）波的传播方向；（2）波长和频率；（3）电场强度; （4）瞬时坡印廷矢量。

解：)cos()(0x wt H a a H z y π-+=
m A /
(1) 波沿+x 方向传播
(2) 由题意得：k=π rad/m ， 波长m k 22==
πλ ， 频率Hz c f 8
105.1⨯==λ
（3）)cos(
120)(0x wt H a a a H E z y x ππη--=⨯=
m v / （4）)(cos 24020x wt H a H E S x ππ-=⨯= 2
/m w
6.3无耗媒质的相对介电常数4=r ε，相对磁导率1=r μ，一平面电磁波沿+z 方向传播，其
电场强度的表达式为)106cos(80z t E a E y β-⨯=
求：（1）电磁波的相速；（2）波阻抗和β；（3）磁场强度的瞬时表达式；（4）平均坡印廷矢量。

解： （1）s m c
v r
r p /105.11
8⨯==
=
εμμε
（2）)(6000Ω===
πεεμμεμηr
r
， m r a d c w w r r /4==
=εμμεβ （3）)4106cos(60180z t E a E a H x z -⨯-=⨯=
π
η
m A / （4）
π120]Re[21
20*E a H E S z
av =⨯= 2/m w
6.4一均匀平面波从海水表面（x=0）沿+x 方向向海水中传播。

在x=0处，电场强度为
m v t a E y /)10cos(1007π
=，若海水的80=r ε，1=r μ，m s /4=γ。

求：（1）衰减常数、相位常数、波阻抗、相位速度、波长、趋肤深度； （2）写出海水中的电场强度表达式；
（3）电场强度的振幅衰减到表面值的1%时，波传播的距离； （4）当x=0.8m 时，电场和磁场得表达式；
（5）如果电磁波的频率变为f=50kHz ，重复（3）的计算。

比较两个结果会得到什么结论？ 解： （1）
)
/(9.82
)
/(9.8222
11800m r a d m Np r
==
≈==
∴>>==ωμγ
βπωμγ
αεωεγωεγ
s
m v j j p /1053.3)1(2
)1(26⨯==Ω+=+==
β
ω
πγωμεμη
m
m
c 11.01
707.02==
==
α
δβ
π
λ
(2)m v x t e a E x y /)9.810cos(10079.8-=-π
(3)m x e x
52.0%19.8=∴=-
(4)4
)1(2
πππ
ηj
e
j =+=
x
j x y e
e a E 9.89.8100
--=
m A x e a e H H m
A e e a E a H x z
t j j x j x z x /)4
9.810cos(100
]Re[/100179.849.89.8π
πππ
ηωπ--==∴=⨯=∴----
当x=0.8m 时，
m A t a H m
v t a E z y /)9.710cos(026.0/)11.710cos(082.077-=-=ππ
（5）当f=50KHz 时， m Np f /89.02
===
μγπωμγ
α
m
x e x 2.5%189.0=∴=∴- 结论：频率越大，电磁波衰减越快。

6.5判断下面表示的平面波的极化形式：
（1）)sin(2)cos(z wt a z wt a E y x ββ-+-=
（2）)cos()sin(z wt a z wt a E y x ββ-+-=
（3）)sin(5)sin(z wt a z wt a E y x ββ-+-=
（4）)4sin()4cos(πβπβ+-+--=z wt a z wt a E y x 解：（1）)sin(2)cos(z wt a z wt a E y x ββ-+-=
)cos(z wt E x β-=∴，)2cos(2)sin(2πββ-
-=-=z wt z wt E y
2,1422
πφφ=-=+∴y x y x E E 所以，该平面波为右旋椭圆极化波。

（2）)cos()sin(z wt a z wt a E y x ββ-+-=
)c o s (),2cos()sin(z wt E z wt z wt E y x βπββ-=-
-=-=∴ 2,122π
φφ-=-=+∴y x y x E E 所以，该平面波为左旋椭圆极化波。

（3）)sin(5)sin(z wt a z wt a E y x ββ-+-=
y x φφ= 所以，该平面波为线极化波。

（4）)4
sin()4cos(πβπβ+-+--=z wt a z wt a E y x )4
cos()4cos(πβπβ--+--=z wt a z wt a y x y x φφ=∴ 所以，该平面波为线极化波。

6.6均匀平面电磁波频率f=100MHz ，从空气垂直入射到x=0的理想导体上，设入射波电场沿+y 方向，振幅m mV E m /6=。

试写出：（1）入射波电场和磁场表达式；（2）入射波电场和磁场表达式；（3）空气中合成波的电场和磁场；（4）空气中离导体表面最近的第一个波腹点的位置。

解： （1）)/(3
2103102288m rad c f w k πππμε=⨯⨯=== )/(632m mV e a E x j y i π-=∴ )/(20132m mA e a E a H x j z i x i ππ
η-=⨯= （2） 电磁波垂直入射到理想导体上
)
/(60
,132m mV e a E T R x j y r π -=∴=-=∴ )/(20)(132m mA e a E a H x j z r x r ππ
η =⨯-=
（3）空气中合成波的电场)/)(32sin(12m mV x j a E E E y r i π -=+= 磁场)/)(3
2cos(10m mA x a H H H z r i ππ =+= （4）m k
32==πλ ∴空气中离导体表面最近的第一个波腹点的位置为m 4
34-=-λ 6.8自由空间中一均匀平面电场波垂直入射到半无限大无耗介质平面上，已知自由空间与介质分界面上的反射系数为0.5，且分界面为电场波腹点，介质内透射波的波长是自由空间波长的6/1，求介质的相对磁导率和相对介电常数。

解：设自由空间0101,εεμμ==，无耗介质2,2εμ
Ω==Ω==
=+-=
r r R εμπεμηπεμηηηηη120,1205.02221111
212 9=∴
r
r εμ ① 6
1111
11
12121222001
11==∴==
==∴==r r r r f f f f k εμλλεμλεμλεμεμλμε
πλ 36=∴r r εμ ②
由①②得： 2,18==r r εμ
6.15在无线电装置中常配有电磁屏蔽罩，屏蔽罩由铜制成，要求铜的厚度至少为5个趋肤深度，为防止200kHz ～3GHz 的无线电干扰，求铜的厚度；若要屏蔽10kHz ～3GHz 的电磁干扰，铜的厚度又是多少？
解：铜的电导率为m s /108.57⨯=γ
趋肤深度μγ
παδf c 11
==
（2）
m H kHz f /104,2007min 1-⨯==πμ m
d m f c c 4114m i n 11104.751048.11
--⨯==∴⨯==∴δμγπδ
（3）m H kHz f /104,107
min 2-⨯==πμ m
d m f c c 3224m i n 22103.351061.61
--⨯==∴⨯==∴δμγπδ
6.17一均匀平面波从空间（媒质1）沿+z 方向垂直入射到8=r ε、2=r μ（媒质2）的理想介质表面上，电磁波的频率为100MHz ，入射波电场的振幅为0E 、极化为+x 方向。

试求：（1）入射波电场强度的表达式；
（2）入射波磁场强度的表达式；
（3）反射系数和透射系数；
（4）媒质1中的电场表达式；
（5）媒质2中的电场表达式。

解：（1）m rad c w w
k /3
2111πεμ===
z j x i e E a E 320π-=∴
（2）z j y i z i e E a E a H 32011201ππη-=⨯= （3）
Ω===Ω===πεεμμεμηπεμεμη601200022200111r
r
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（5）z j x z j x r e E a e RE a E 3203203ππ -== z j x z j x r e E a e RE a E 3203203ππ -==
（6）m rad c w w k r r /3
8222πεμεμ=== z j x z j x t e E a e TE a E 38038032ππ--==。