数学沪科版八年级(上册)15.4.1角平分线的尺规作图与性质

求证：PD=PE.
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
O
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).
∴PD=PE.
A
D C
P
E
B
新知探究
性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. A
点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过
程呢?
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个
过程呢？
O
B (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
新知探究
Байду номын сангаас尺规作图
作法：
1.以_点__O_为圆心，__任__意__长为半径画圆
弧，与角的两边分别交于M、N两点；
2.分别以点 _M_、__N_ 为圆心， _大__于__1_2_M__N_的长为半径画弧，
A
其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等.
D
B
(E) C
新知探究
尺规作角平分线 问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该
仪器的功能吗？
做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明
作图方法与仪器的关系.
A
提示：
(1)已知什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶
A
M C
B
N
O
课堂小测 3.请在图中作出线段AD,使其平分∠BAC且长度等于m．
B
m
A
C
课堂小测
解：
A
N D
B P
M
C
课堂小测
4.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5, 则点D到AB的距离是 3 .
C D
A
EB
课堂小测
5.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点， PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
证明：∵OD平分线∠POQ， ∴∠AOD=∠BOD. 在△AOD与△BOD中， ∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD， ∴△AOD≌△BOD. ∴∠ADO=∠BDO. ∵CM⊥AD，CN⊥BD， ∴CM=CN.
应用所具备的条件：
D
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
O
（3）垂直距离.
C P
定理的作用： 证明线段相等.
应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB，
E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少
了任何一个.
∴PD = PE （角平分线上的点到角两边的距离相等）.
新知探究
2.过点A作直线AB的垂线AC；
3.作∠CAB的平分线AD.
A
∠DAB就是所要求作的角.
D B
新知探究
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的
任意一点
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将
三次数据填入下表： A
D
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N. ∵ AD∥BC，
∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.
∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB， ∴ PM= PE. 同理， PN= PE. ∴ PM= PN= PE=3. ∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
课堂小测
6.如图所示，D是∠ACG平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG ，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.
画弧， 交直线l于点A，B；
1
②分别以A，B 为圆心 以大于2 AB 的长为半径画
弧， 两弧相交于点C；
③过点C,P作直线CP，则直线CP为所
P·
求作的直线.
第一步的目的是什么？画弧的
A
半径为什么要大于P到l的距离？
Bl C
新知探究
例1 利用直尺和圆规作一个等于45°的角.
作法:
C
1.作直线AB；
①在直线l 上点P 的两旁分别截
取线段PA， PB，使PA= PB；
C
1
②分别以A，B 为圆心 以大于2 AB
的长为半径画弧， 两弧相交于点C；
③过点C， P作直线CP，
A
P·
Bl
则直线CP为所求作的直线.
新知探究
(2) 当点P在直线l外.
①以点P 为圆心， 以大于点P 到直线l的距离的线段长为半径
两条圆弧交于
∠AOB内一点__P__；
Ｏ
B
N P
M
A
3.作射线__O__P_；__O_P__就是所求作的∠AOB的平分线.
新知探究
想一想：为什么OP是角平分线呢？
已知：OM=ON，MP=NP.
求证：OP平分∠AOB.
证明：在△OMP和△ONP中，
OM=ON，
MP=NP，
Ｏ
OP=OP，
∴ △OMP≌ △ONP,（SSS）
课堂小测
1.如图所示的作图痕迹作的是
A.线段的垂直平分线 B.过一点作已知直线的垂线 C.一个角的平分线 D.作一个角等于已知角
（B ）
课堂小测
2.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所
示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ A ）
A.SSS
B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
判一判：（1）∵ 如左下图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ， ( 角平分线上的点到角两边的距离相等 )
B
×
B
A
D
A
C
(2)∵ 如右上图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
D C
∴ BD = CD ,
× ( 角平分线上的点到角两边的距离相等 )
新知探究
例2：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
∴∠MOP=∠NOP,
即OP平分∠AOB.
B
N P
M
A
新知探究 过一点作已知直线的垂线
问题引导
如何过一点P作已知直线l的垂线呢？
由于两点确定一条直线， 因此我们可以通 过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出 垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.
新知探究
(1)当点P在直线l上.
这一步的目的是什么？
C
PD PE
第一次
P
第二次
O
E
B
第三次
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写 出猜结想：：_角P_D_平_=_分P_E_线__上_ 的点到角两边的距离相等.
新知探究
验证猜想 角平分线上的点到角两边的距离相等 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
第十五章轴对称图形与等腰三角形
新课引入
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分 线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法．
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还 能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
可以
新知探究
新知探究
问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC= DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下, 沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它 的道理吗?
求证：EB=FC.
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
E
DE=DF，
B
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
A
F
D
C
∴ EB=FC.
新知探究
例3:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上， PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则 PE=___4___cm.
2.联系角平分线的性质：
面积 周长
利用角平分线的性 质所得到的等量关 系进行转化求解
课堂小结
角平分 线的尺 规作图
性质 定理
①已知：根据文字语言用数 学语言写出题目中的条件
②求作：根据题目写出要求 作的图形及此图形应满足的 条件
③作法：根据作图的过程写 出每一步的操作过程
一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等
B
D
M P
A
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
EC
新知探究
变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP
平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14.
（1）则点P到AB的距离为___4____.
B D
P
A
C
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
新知探究
变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平
证明：∵CD是∠ACG的平分线， DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中，
CD CD, DE DF ,
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)， ∴CE＝CF.
课堂小测
7.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取 OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于 N.求证：CM＝CN.
分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.
（2）求△ APB的面积.
由角平分线的性质，可知，PD=PC=4，
S△ ABP
1 2
•
AB
•
PD
28.
B
（3）求△PDB的周长.
D
C△PDB PD PB DB
P
PC PB DB
BCDB ADDB
AB14.
A
C
=
新知探究
知识与方法
1.应用角平分线的性质： 存在角平分线 条件 涉及距离问题