高三数学易错立体几何多选题 易错题难题测试综合卷学能测试试题

高三数学易错立体几何多选题 易错题难题测试综合卷学能测试试题
一、立体几何多选题
1．已知球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，平面11A C B 截球O 的面积为24π，
下列命题中正确的有（ ）
A ．异面直线AC 与1BC 所成的角为60°
B ．1BD ⊥平面11A
C B C ．球O 的表面积为36π
D ．三棱锥111B AC B -的体积为288 【答案】AD 【分析】
连接11A C ，1A B ，通过平移将AC 与1BC 所成角转化为11A C 与1BC 所成角可判断A ；通过反证法证明B ；由已知平面11A C B 截球O 的面积为24π求出正方体棱长，进而求出内切球的表面积可判断C ；利用等体积法可求得三棱锥111B AC B -的体积可判断D. 【详解】
对于A ，连接11A C ，1A B ，由正方体1111ABCD A B C D -，可知11//A C AC ，11AC B ∴∠为异面直线AC 与1BC 所成的角，设正方体边长为a
，则1111AC A B BC ==，由等边三角形知1160A C B ∠=，即异面直线AC 与1BC 所成的角为60，故A 正确； 对于B ，假设1BD ⊥平面11A C B ，又1A B ⊂平面11A C B ，则11BD B A ⊥，设正方体边长为a ，则11A D a =
，1A B =
，1BD =，由勾股定理知111A D B A ⊥，与假设矛盾，假设不成立，故1BD 不垂直于平面11A C B ，故B 错误； 对于C ，设正方体边长为a
，则11AC =，内切球半径为
2
a
，设内切球的球心O 在面11A C B 上的投影为O '，由等边三角形性质可知O '为等边11A C B △
的重心，则
11123233O A AC a ='=⨯=
，又1
2
OA a =，∴球心O 到面11A C B 的距离
6a ==，又球心与截面圆心的连线垂直于截面，∴
=
，又截面圆的面积2
246S a ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
=，解得12a =，则内切球半径为6，内切球表面积
214644S ππ==⨯，故C 错误；
对于D ，由等体积法知111111111
111212122812
383B A C B B A C B A C B V V S a --==⨯⨯=⨯⨯=，故D 正确； 故选：AD
【点睛】
关键点点睛：本题考查了正方体和它的内切球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，从而求出正方体的棱长，进而求出内切球的表面积及三棱锥的体积，考查了空间想象能力，数形结合的思想，属于较难题.
2．在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，18AA =，点P 在线段11A C 上，M 为AB 的中点，则（ ） A ．BD ⊥平面PAC
B ．当P 为11A
C 的中点时，四棱锥P ABC
D -外接球半径为72
C ．三棱锥A PC
D -体积为定值
D ．过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面，所得截面圆的面积的最小值为4π 【答案】ACD 【分析】
利用线面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；判断出四棱锥P ABCD -为正四棱锥，求出该四棱锥的外接球半径，可判断B 选项的正误；利用等体积法可判断C 选项的正误；计算出截面圆半径的最小值，求出截面圆面积的最小值，可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，因为AB BC =，所以，矩形ABCD 为正方形，所以，BD AC ⊥， 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，
1BD AA ∴⊥，
1AC AA A ⋂=，AC 、1AA ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，A 选项正确；
对于B 选项，当点P 为11A C 的中点时，()
2
22211822
62PA AA PA =
+=+=
同理可得PB PC PD ===
因为四边形ABCD 为正方形，所以，四棱锥P ABCD -为正四棱锥， 取AC 的中点N ，则PN 平面ABCD ，且四棱锥P ABCD -的外接球球心在直线PN
上，
设该四棱锥的外接球半径为R ，由几何关系可得2
22PN R AN R -+=， 即2
288R R -+=，解得9
2
R =，B 选项错误； 对于C 选项，211
4822
ACD
S
AD CD =
⋅=⨯=， 三棱锥P ACD -的高为18AA =，因此，1164
33
A PCD P ACD ACD V V S AA --==⋅=△，C 选项正确；
对于D 选项，设长方体1111ABCD A B C D -的外接球球心为E ，则E 为1BD 的中点， 连接EN 、MN ，则11
42EN DD =
=，122
MN AD ==， E 、N 分别为1BD 、BD 的中点，则1//EN DD ， 1DD ⊥平面ABCD ，EN ∴⊥平面ABCD ，
MN ⊂
平面ABCD ，EN MN ∴⊥，EM ∴==
过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面为平面α，点E 到平面α的距离为
d ，
直线EM 与平面α所成的角为θ，则sin d EM θθ==≤ 当且仅当2
π
θ=
时，等号成立，
长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R '==，
所以，截面圆的半径2r =
≥
=，
因此，截面圆面积的最小值为4π，D 选项正确.
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.
3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为11A D 的中点，若以O 6为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，则下列结论正确的是（ ）
A ．11//A D 平面EFGH
B ．1A
C ⊥平面EFGH
C ．11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°
D ．平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7 【答案】ACD 【分析】
如图，计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A 、B 的正确与否，计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确，而几何体BHE CGF -为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D 正确与否. 【详解】
如图，连接OA ，则2115OA AA =
+=，故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点.
同理，棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点. 因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为26>BC 与球面没有交点.
因为正方体的棱长为2，而26<
球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ， 所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点， 如图各记为,,,E F G H .
因为OAE △为直角三角形，故22651AE OE OA -=-=，故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.
由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC ， 同理//GH BC ，故//EF GH ，故,,,E F G H 共面. 由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ，故11//A D EF
因为11A D ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，故11//A D 平面EFGH ，故A 正确. 因为在直角三角1BA C 中，122A B =2BC = ，
190A BC ∠=︒， 1A C 与BC 不垂直，故1A C 与GH 不垂直，故1A C ⊥平面EFGH 不成立，故B 错误.
由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ，而1A B ⊂平面11AA B B ， 所以1BC A B ⊥，所以1EF A B ⊥
在正方形11AA B B 中，因为,E H 分别为1,AB BB 的中点，故1EH A B ⊥， 因为EF
EH E =，故1A B ⊥平面EFGH ，
所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角，而45BEH ∠=︒， 故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒，
因为11//AB A B ，故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确. 因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点，故几何体BHE CGF -为三棱柱， 其体积为
1
11212
⨯⨯⨯=，而正方体的体积为8，
故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.
4．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，D 是AC 的中点，O 为1A C 的中点.点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A ．当点P 运动到1BC 中点时，直线1A P 与平面111A
B
C 5 B ．无论点P 在1BC 上怎么运动，都有11A P OB ⊥
C ．当点P 运动到1BC 中点时，才有1A P 与1OB 相交于一点，记为Q ，且11
3
PQ QA = D ．无论点P 在1BC 上怎么运动，直线1A P 与AB 所成角都不可能是30° 【答案】ABD 【分析】
构造线面角1PA E ∠，由已知线段的等量关系求1tan EP
PA E AE
∠
=的值即可判断A 的正误；利用线面垂直的性质，可证明11A P OB ⊥即可知B 的正误；由中位线的性质有
11
2PQ QA =可知C 的正误；由直线的平行关系构造线线角为11B A P ∠，结合动点P 分析角度范围即可知D 的正误 【详解】
直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==
选项A 中，当点P 运动到1BC 中点时，有E 为11B C 的中点，连接1A E 、EP ，如下图示
即有EP ⊥面111A B C
∴直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值：1tan EP
PA E AE
∠
= ∵112EP BB =
，22111152
AE A B B E BB =+= ∴15
tan PA E ∠=
，故A 正确
选项B 中，连接1B C ，与1BC 交于E ，并连接1A B ，如下图示
由题意知，11B BCC 为正方形，即有11B C BC ⊥
而AB BC ⊥且111ABC A B C -为直三棱柱，有11A B ⊥面11B BCC ，1BC ⊂面11B BCC ∴111A B BC ⊥，又11
11A B B C B =
∴1BC ⊥面11A B C ，1OB ⊂面11A B C ，故11BC OB ⊥ 同理可证：11A B OB ⊥，又11A B BC B ⋂=
∴1OB ⊥面11A BC ，又1A P ⊂面11A BC ，即有11A P OB ⊥，故B 正确
选项C 中，点P 运动到1BC 中点时，即在△11A B C 中1A P 、1OB 均为中位线
∴Q为中位线的交点
∴根据中位线的性质有：
1
1
2
PQ
QA
=，故C错误
选项D中，由于11//
A B AB，直线
1
A P与AB所成角即为
11
A B与
1
A P所成角：
11
B A P
∠
结合下图分析知：点P在1
BC上运动时
当P在B或1
C上时，
11
B A P
∠最大为45°
当P在1
BC中点上时，
11
B A P
∠最小为23
arctan30
>=︒
∴
11
B A P
∠不可能是30°，故D正确
故选：ABD
【点睛】
本题考查了利用射影定理构造线面角，并计算其正弦值；利用线面垂直证明线线垂直；中位线的性质：中位线交点分中位线为1：2的数量关系；由动点分析线线角的大小
5．已知正方体1111
ABCD A B C D
-棱长为2，如图，M为
1
CC上的动点，AM⊥平面α.下面说法正确的是（）
A ．直线A
B 与平面α所成角的正弦值范围为322⎣⎦
B ．点M 与点1
C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C ．点M 为1CC 的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形
D ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的中点 【答案】AC 【分析】
以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系
D xyz -，利用空间向量法可判断A 选项的正误；证明出1AC ⊥平面1A BD ，分别取棱
11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点E 、F 、Q 、N 、G 、H ，比较1A BD 和六边形EFQNGH 的周长和面积的大小，可判断B 选项的正误；利用空间向量
法找出平面α与棱11A D 、11A B 的交点E 、F ，判断四边形BDEF 的形状可判断C 选项的正误；将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，利用A 、M 、N 三点共线得知AM MN +最短，利用平行线分线段成比例定理求得MC ，可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()2,0,0A 、()2,2,0B 、设点()()0,2,02M a a ≤≤，
AM ⊥平面α，则AM 为平面α的一个法向量，且()2,2,AM a =-，()0,2,0AB =， 2232cos ,,3228
8AB AM AB AM AB AM
a a ⋅<>=
=
=
⎢⋅⨯++⎣⎦， 所以，直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为32⎣⎦
，A 选项正确； 对于B 选项，当M 与1CC 重合时，连接1A D 、BD 、1A B 、AC ， 在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，
BD ⊂平面ABCD ，
1BD CC ∴⊥，
四边形ABCD 是正方形，则BD AC ⊥，
1CC AC C =，BD ∴⊥平面1ACC ，
1AC ⊂平面1ACC ，1AC BD ∴⊥，同理可证11AC A D ⊥， 1A D BD D ⋂=，1AC ∴⊥平面1A BD ，
易知1A BD 是边长为22(1
2
3
22234
A BD S =⨯=△为22362=.
设E 、F 、Q 、N 、G 、H 分别为棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点，
易知六边形EFQNGH 是边长为2的正六边形，且平面//EFQNGH 平面1A BD ， 正六边形EFQNGH 的周长为62，面积为()
2
362
33⨯
⨯=，
则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积，它们的周长相等，B 选项错误； 对于C 选项，设平面α交棱11A D 于点(),0,2E b ，点()0,2,1M ，()2,2,1AM =-，
AM ⊥平面α，DE ⊂平面α，AM DE ∴⊥，即220AM DE b ⋅=-+=，得
1b =，()1,0,2E ∴，
所以，点E 为棱11A D 的中点，同理可知，点F 为棱11A B 的中点，则()2,1,2F ，
()1,1,0EF =，
而()2,2,0DB =，1
2
EF DB ∴=
，//EF DB ∴且EF DB ≠， 由空间中两点间的距离公式可得2222015DE =++=()()()
222
2212205BF =
-+-+-=，DE BF ∴=，
所以，四边形BDEF 为等腰梯形，C 选项正确；
对于D 选项，将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，如下图所示：
若AM MN +最短，则A 、M 、N 三点共线，
11//CC DD ，22
22222
MC AC DN AD ∴
===+， 11
222
MC CC =≠，所以，点M 不是棱1CC 的中点，D 选项错误.
故选：AC. 【点睛】
本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.
6．在边长为2的等边三角形ABC 中，点,D E 分别是边,AC AB 上的点，满足//DE BC 且
AD AC
λ=，（()01λ∈，），将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中，
下列结论不成立的是（ ）
A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '
B ．存在102λ∈⎛⎫
⎪⎝⎭
,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE
C ．若1
2
λ=
，当二面角A DE B '--为直二面角时，||104
A B '= D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ2
3【答案】ABC 【分析】
对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得
//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，即可判断出结论.
对于B ，102λ∈⎛⎫
⎪⎝⎭
,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，即
可判断出结论.
对于C ，1
2
λ=
，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，可得AM ⊥平面BCDE .可得22A B AM BM '=+，结合余弦定理即可得出.
对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积
()31
33
BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，利用导数研究函数的单调性即可得出.
【详解】
对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得
//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，如图所示，
则可得FN 平行且等于BG ，即四边形BGNF 为平行四边形， ∴//NG BE ，而GN 始终与平面ACD 相交，
因此在边A E '上不存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '，A 不正确.
对于B ，102λ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭
,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因
此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此B 不正确. 对于C.1
2
λ=
，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示：
可得AM ⊥平面BCDE ， 则22223111010(
)1()21cos12022224
A B AM BM '=+=++-⨯⨯⨯︒=≠，因此C 不正确；
对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积
()31
33BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，()213f λλ'=-，可得33
λ=时，函数
()f λ取得最大值()3123
1339
f λ⎛⎫=
-=
⎪⎝⎭，因此D 正确. 综上所述，不成立的为ABC. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.
7．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（ ）
A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1D
B ．三棱锥P ﹣A 1
C 1
D 的体积为定值
C ．异面直线AP 与A 1
D 所成角的取值范用是[45°，90°] D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D 6
【答案】ABD 【分析】
在A 中，推导出A 1C 1⊥BD 1，DC 1⊥BD 1，从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ；在B 中，由B 1C ∥平面 A 1C 1D ，得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，再由△A 1C 1D 的面积是定值，从而三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为63
． 【详解】
解：在A 中，∵A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥BB 1，B 1D 1∩BB 1＝B 1， ∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1，∴A 1C 1⊥BD 1，同理，DC 1⊥BD 1， ∵A 1C 1∩DC 1＝C 1，∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，故A 正确； 在B 中，∵A 1D ∥B 1C ，A 1D ⊂平面A 1C 1D ，B 1C ⊄平面A 1C 1D ，
∴B 1C ∥平面 A 1C 1D ，
∵点P 在线段B 1C 上运动，∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，
又△A 1C 1D 的面积是定值，∴三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值，故B 正确； 在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]，故C 错误；
在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，P （a ，1，a ），
则D （0，0，0），A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），1DA ＝（1，0，1），1DC ＝（0，1，1），1C P ＝（a ，0，a ﹣1）， 设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =，
则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩
，取x ＝1，得1,1,1n
，
∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为：
11||
||
||
C P n C P n ⋅⋅＝22
(1)3a a +-⋅＝21132()22
a ⋅-+， ∴当a ＝
12时，直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为6
3
，故D 正确． 故选：ABD ．
【点睛】
求直线与平面所成的角的一般步骤：
（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解； （2）、用空间向量坐标公式求解.
8．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB '，DD '交于点M ，N ，以下四个命题中正确的是（ ）
A ．0MN EF ⋅=
B ．ME NE =
C ．四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3
D ．四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3 【答案】ABD 【分析】
证明EF ⊥平面BDD B ''，进而得EF MN ⊥，即可得A 选项正确；证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确；由菱形性质得四边形MENF 的面积1
2
S MN EF =⋅，再分别讨论MN 的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可. 【详解】
对于A 选项，如图，连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EF
BB '⊥，
BD BB B '⋂=，
所以EF ⊥平面BDD B ''，又MN ⊂平面BDD B ''，所以EF MN ⊥，
因此0MN EF ⋅=，故A 正确．
对于B 选项，由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，
平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =， 所以
//MF EN ，
同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形， 因此ME NE =，故B 正确．
对于C 选项，由B 易得四边形MENF 的面积1
2
S MN EF =
⋅， 所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的面积S 最小， 此时2MN EF ==，即面积S 的最小值为1；
当点M ，N 分别与点B （或点B '），D （或D ）重合时，四边形MENF 的面积S 最
大，
此时3MN =，即面积S 的最大值为
6， 所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:6，故C 不正确． 对于D 选项，四棱锥A MENF -的体积
1112123346
M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=
⋅=⨯⨯=△； 因为E ，F 分别是AA '，CC '的中点，所以BM D N '=，DN B M '=，于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的，
则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD EMFN -的体积
21122
ABCD A B C D V V ''''-==正方体，
所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3，故D 正确． 故选：ABD ．
【点睛】
本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形，利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和，将多面体
ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.。