苏教版九年级数学全册知识点汇总汇总

第一章
教课内容：证明（二）
要点：直角三角形，线段垂直均分线与角均分线的证明
难点：证明抗命题的真假，角均分线的证明及其对抗命题的理解
易错点：线段的垂直均分线和角均分线的定理及逆定理的鉴别
第二章
教课内容：一元一次方程
要点：用配方法，公式法，分解因式法解一元一次方程
难点：黄金切割点的理解，用配方法解方程
易错点：利用因式分解法和公式法解方程
第三章
教课内容：证明（三）
要点：特别的平行四边形的性质与判断，平行四边形的性质与判断
难点：特别的平行四边形的证明
易错点：各定理之间的鉴别
第四章
教课内容：视图与投影
要点：某物体的三视图与投影
难点：理解平行投影与中心投影的差别
易错点：三视图的理解，中心投影与平行投影的差别
第五章
教课内容：反比率函数
要点：反比率函数的表达式，反比率函数的图像的观点与性质
难点：反比率函数的运用，猜想，证明与拓展
易错点：主要差别反比率函数与x 轴和与 y 轴无穷凑近
第六章
教课内容：频次与概率
定义和命题：频次与概率的观点
难点：理解用频次去预计概率
易错点：频次是样本中才出现的，概率是整体中出项的
苏教版九年级数学上知识点汇总
第一章图形与证明（二）
1.1等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的顶角均分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）。

等腰三角形的两底角相等（简称“等边平等角”）。

等腰三角形的判断定理：
假如一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角平等边”）。

1.2直角三角形全等的判断定理：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。

角均分线的性质：
角均分线上的点到这个角的两边的距离相等。

角均分线的判断：
角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的均分线上。

直角三角形中，30°的角所对的直角边事斜边的一半。

1.3平行四边形的性质与判断：
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

定理 1：平行四边形的对边相等。

定理2：平行四边形的对角相等。

定理 3：平行四边形的对角线相互均分。

判断——从边： 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

3 两组对边分别相等的四边形是平
行四边形。

从角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

对角线：对角线相互均分的四边形是平行四边形。

矩形的性质与判断：
定义：有一个角的直角的平行四边形是矩形。

定理 1：矩形的 4 个角都是直角。

定理2：矩形的对角线相等。

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

判断：1有三个角是直角的四边形是矩
形。

2 对角线相等的平行四边形是矩形。

菱形的性质与判断：
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

定理 1：菱形的 4 边都相等。

定理 2：菱形的对角线相互垂直，而且每一条对角线均分一组对角。

判断：1四条边都相等的四边形是菱形。

2 对角线相互垂直的平行四边形是菱形。

正方形的性质与判断：
正方形的 4 个角都是直角， 4 条边都相等，对角线相等且相互垂直均分，每一条对角线均分一组对角。

正方形即是特别的矩形，又是特别的菱形，它拥有矩形和菱形的全部性质。

判断： 1 有一个角是直角的菱
形是正方形。

2 有一组邻边相等的平行四边形是正方形。

1.4等腰梯形的性质与判断
定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

定理1：等腰梯形同一底上的两底角相等。

定理2：等腰梯形的两条对角线相等。

判断：1 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

2 对角线相等的梯形是等腰梯形。

1.5中位线
三角形的中位线平行于第三边，而且等于第三边的一半。

梯形的中位线平行于两底，而且等于两底的一
半。

中点四边形：挨次连结一个四边形各边中点所获得的四边形称为中点四边形（中点四边形必定是平
行四边形）。

原四边形对角线中点四边形
相等菱形
相互垂直矩形
相等且相互垂直正方形
第二章数据的失散程度
2.1极差：
一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。

计算公式：极差=最大值 - 最小值。

极差是刻画数据失散程度的一个统计量，能够反应一组数据的变化范围。

一般说，极差越小，则说明数据
的颠簸幅度越小。

2.2方差
各个数据与均匀数的差的均匀数叫做这组数据的方差，记作S2。

巧用方差公式：
1、基本公式： S2=n1[(X1-X — )2+(X2-X —)2+ ,, +(Xn-X —)2]
2、简化公式： S2=n1[(X12+X22+ ,, +Xn2)-nX — 2]
也可写成： S2=n1(X12+X22+,, +Xn2)-X —2
3、简化②： S2=n1[(X ’12+X’22+,, +X’ n2)-nX — 2]
也可写成 :S2=n1(X’12+X’ 22+,, +X’ n2)-X — 2
标准差 :方差的算术平方根叫做这组数据的标准差, 记作 S。

意义：
1、极差、方差和标准差都是用来描绘一组数据颠簸状况的特点，常用来比较两组数据的颠簸大小，我们通
常研究的是这组数据的个数相等、均匀数相等或比较凑近的状况。

2、方差较大的颠簸较大，方差较小的
颠簸较小。

3、方差大，标准差就大，方差小，标准差就小。

所以标准差相同反应数据的颠簸大小。

注意：对两组数据来说，极差大的那一组不必定方差大，反过来，方差大的极差也不必定大。

第三章二次根式
3.1二次根式
定义：一般地，式子（a≧ 0）叫做二次根式， a 叫做被开方数。

存心义条件：当a≧ 0 时，存心义；当a≦0 时，无心义。

性质：
1、≧ 0（ a≧0）
2、（） 2=a（a≧0）
3、 2=∣a∣=a（ a≧0）
a （a＜0）
3.2二次根式的乘除法
法例：√ a·√ b=√ab(a ≧0,b ≧ 0) =√（ a≧ 0,b ＞ 0）
化简：①√ ab=√a·√ b(a ≧0,b ≧ 0) ②√ =（ a≧ 0,b ＞
0）
③== （ a≧0,b ＞0）
第四章一元二次方程
4.1观点：
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。

一般形式是 aX2+bX+c=0(a、b、 c 是常数， a≠0) ，此中 aX2 称为二次项， a 称为二次项系数， bX 称为一次项，b 称为一次项系数， c 称为常数项。

4.2解法：
1、直接开平方
2、配方法：先把一元二次方程变形为（X+h） 2=k 的形式（此中h,k 都是常数），假如k≧0，再经过直接开平方法求出方程的解
3、公式法（求根公式）：一元二次方程aX2+bX+c=0 （a≠0），当b2-4ac ≧ 0 时，它的根是
（≧
0）
4、因式分解法根的鉴别式
一元二次方程aX2+bX+c=0 （a≠0）的根的状况可由b2-4ac 来判断，所以b2-4ac 叫做一元二次方程根的鉴别式。

当 b2-4ac ＞0 时，方程有两个不相等的实数根
当 b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根 X1=X2= 当
b2-4ac ＜0 时，方程没有实数根。

反之，也建立。

一元二次方程应用题步骤：“设、找、列、解、验、答”
第五章中心对称图形（二）
5.1圆
定义：圆是定点的距离等于定长的点的会合。

此中，定点叫做圆心，定长叫做半径。

与圆有关的观点：1、连结圆上随意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

2、圆上随意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

圆的随意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做
半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

3、定点在圆上的角叫做圆心角。

4、圆心相同，半径不相等的两个圆叫做齐心圆。

能够相互重合的两个圆叫做等圆。

在同圆或等圆中，能够
相互重合的弧叫做等弧。

点与圆的地点关系：
在平面内，点与圆有 3 中地点关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外。

假如设⊙O 的半径
为
r ，点 P 到圆心
O的距离为d，那么“点P 在圆
内
←→ d＜r; 点 P 在圆上←→d=r ；
点
P 在圆外
←→
d＞ r ”
5.2圆的对称性
圆是中心对称图形，圆心是对称中心。

圆是轴对称图形，过圆心的随意一条直线都是它的对称轴。

圆心角、弧、弦之间的关系（等平等定理）：
在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分
别相等。

5.3圆周角
观点：极点在圆上，而且两边都和圆订交的角叫做圆周角。

定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。

（圆心与圆周角的地点关系分为
三种状况：圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外面）推论： 1、直径（或半圆）所对的圆
周角是直角。

2、90°的圆周角对的弦是直径。

5.4确立圆的条件
条件：不在同一条直线上的三个点确立一个圆。

三角形的外接圆：
三角形的三个极点确立一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心是三角形的三边的垂直均分线的交点，这个点叫做三角形的外心。

这个三角形叫做圆的内接
三角形
5.5直线与圆的地点关系
1、直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆订交。

（d＜r ）
2、直线与圆有独一的公共点，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。

（d=r）
3、直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。

（d＞r ）直线与圆的地点关系能够用它们的交点的个数来
划分，也能够用圆心到直线的距离与半径的大小关系来划分，它们的结果是一致的。

切线的性质与判断：
判断：经过半径的外端而且垂直于这条半径的直线式圆的切线。

性质：（圆的切线垂直于过切点的半径）
1、经过圆心且垂直于切线的直接必经过切点。

2、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
3、切线与圆只有一个公共点；切线与圆心的距离等于半径；切线垂直于过切点的半径。

心里：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

内切圆的圆心叫做三角形的心里，它是三角形的三条角均分线的交点。

这个三角形叫做圆的外切三角形。

5.6圆与圆的地点关系
性质与判断：
假如两圆的半径分别为R 和 r ，圆心距
为d，那
么
两圆外离←→d＞
R+r
两圆外切←→d=R+r
两圆订交←→R-r ＜d＜ R+r（R＞
r ）
两圆内切←→d=R-r(R ＞r)
两圆内含←→0≤ d＜R-r （R＞r ）
连心线的性质：
圆是轴对称图形，从上表中能够看出它们都是轴对称图形。

沿O1、O2所在直线（连心线）对折，发现：两
圆相切，直线O1O2必过切点；两圆订交，连心线垂直均分它们的公共弦。

5.7正多边形与圆
正多边形观点：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。

性质：正多边形都是对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，没条对称轴都经过正n 边形的中心。

一个正多边形假如有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。

假如一个正多边形是中心对称图
形，那么它的中心就是对称中心。

1、边数相同的正多边形相像。

2、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是齐心圆。

友谊提示：（ 1）边数相同的正多边形相像，这是解与正多边形有关问题常用到的知识。

（2）任何三角形都有外接圆和内切圆，但只有正三角形的外接圆和内切圆才是齐心圆。

过正多边形随意三个极点的圆就是这个正多边形的外接圆。

作正多边形：作半径为 R 的正 n 边形的要点是 n 均分圆。

这就要学习两种方法：
（1）用量角器均分圆，能够作随意正多边形，这是近似作法。

详细地说先计算出极点在圆心的角的度数，
即正 n 边形的圆心角为，而后挨次用量角器将圆均分，按序连结各分点，就作出正n 边形。

（2）用尺规均分圆，作正方形和正六边形。

详细地说：先作出两条相互垂直的直径，将圆四均分，按序
连
接各分点，就做出正方形；用圆规从圆上一点按序截取等与半径的弦，将圆六均分，按序连结各均分点，
就作出正六边形。

友谊提示：在作正多边形时，要从圆周上某一点开始连续截取等弧，不然，易产生偏差。

5.8弧长及扇形的面积
圆的周长公式C=2π R，此中π是圆的周长与直径的比值，π 称为圆周率。

弧长公式： l= ，此中，表示1°的圆心角的倍数，它不带单位，R为圆的半径， l 为 n°的圆心角所对的弧长。

扇形面积公式：
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所构成的图形叫做扇形。

①圆心角为n°的扇形面积的计算公式为S 扇形
=。

②弧长为l 的扇形面积的计算公式为S
扇形
=lR 。

公式①中的n 应理解为1°的圆心角的倍数，不带单位，同时要注意与弧长：l= 公式进行比较，防止混杂。

公式②与三角形面积公式相近似，在S=lR 中，把扇形当作一个曲边三角形，把弧长l 看作底，R 看作高，这样对照，有助于理解与记忆公式。

5.9 圆锥侧面积和全面积
圆锥的侧面睁开：
圆锥的侧面睁开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长l=2 π
r。

这个扇形的半径等于圆锥的母线长l 母线 =
这个扇形的圆心角α
=· 360°
这个扇形的面积等于圆锥的侧面积S 侧面积
=S 扇形=· 2πr ·l= πr ·l
圆锥与圆柱的比较
圆柱：由一个矩形旋转获得，如矩形ADD’ G绕直线 AB旋转一周S侧=2πrh
S全= S 侧+2S 底=2πrh+2 π r2
V= πr2h
圆锥：由一个直角三角形旋转获得，如Rt △SOA绕直线 SO旋转一周S侧=πr
S全= S 侧+S 底=πr+π r2
V= πr2h
九年级数学全册知识点总结
上册 第一章、图形与证明（二）
（一）、知识框架
等腰三角形的性质和判断
等边三角形的性质和判断
1. 等腰三角形
( 二 ) 知识详解
线段的垂直均分线的性质和判断 2．1、等腰三角形
的判断、性质及推论
性质：等腰三角形 角的均分线的性质和判断
的两个底角相等（等边平等角）
判断：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角平等边）。

高相互重合 （即“三线合一” ）
推论：等腰三角形顶角的均分线、底边上的中线、底边上的
2. 直角三角形全等的判断：
2． 2、等边三角形的性质及判断定理
HL
性质定理：等边三 平行四边形的性质和判断：
角形的三个角都相等，而且每
个角都等于 60 度； 4 个判断定理
等边三角形的三条边都知足 “三线合一” 的性质；等边三角形是轴对称
图形，有 3 条对称 矩形的性质和判断
轴。

3. 平行四边形
角是 60 度的等腰三角形是等边三角形。

或许三个角都相等的三角形是
判断定理：有一个
菱形的性质和判断： 3 个判断定理
等边三角
正方形的性质和判断： 2 个判断定理
2．3、线段的垂直 均分线
形。

（1）线段垂直均分线的性质及判断
性质：线段垂直均分线上的点到这条线段两个端点的距离相 等。

判断：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直 均分线上。

（2）三角形三边的垂直均分线的性质
三角形三条边的垂直均分线订交于一点， 而且这一点到三个
极点的距离相等。

（3）怎样用尺规作图法作线段的垂直均分线
分别以线段的两个端点 A 、B 为圆心，以大于 AB 的一半长为 半径作弧，两弧交于点 M 、 N ；作直线
MN ，
则直线 MN 就是线段 AB 的垂直均分线。

2． 4、角均分线
（1）角均分线的性质及判断定理
性质：角均分线上的点到这个角的两边的距离相等；
4. 等腰梯形的性质和判断
判断：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在 这个角的均分线上。

（2）三角形三条角均分线的性质定理
注意：（ 1）解决梯形问题的基本思路 : 经过切割 和拼接转变成 三角形 和平行四边形 进行解决。

性质：三角形的三即条需角要平掌分线握订交常于作一的点辅，助并线且。

这一点到三 条边的距离相等。

（3 ）怎样用尺规作图法作出角均分线
S
1 a b h lh （ l - 中位线长）
（ 2）梯形的面积公式： 2． 5、直角三角形
2
（1 ）勾股定理及其逆定理
定理：直角
三角形的中位线
三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

逆5定.中理位：线 假如三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

梯形的中位线 （2）直角
三角形全等的判断定理
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（
HL ）
2.6 、几种特别四边形的性质
边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等对角线相互均分
矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线相互均分且相等
菱形对边平行，四条边对角相等对角线相互垂直均分，每一条对角都相等线均分一组对角
正方形对边平行，四条边四个角都是直角对角线相互垂直均分且相等，每一都相等条对角线均分一组对角等腰梯形两条底边平行，两同一底上的两个对角线相等
腰相等角相等
2.7.几种特别四边形的判断方法
平行四边形（1）两组对边分别2）平两行组（对边分别3）相
一等组（对边平行且相等（4）两条对角线相互5）平
两分组（对角分别相等
矩形（1）有三个角是2直）角是（平行四边形，而且有一3个）角是是直角（平行四边形，而且两条对角线相等
菱形（1）四条边都相2）等是（平行四边形，而且有一3
组）邻是边平相等（行四边形，而且两条对角线相互垂
直
正方形（1）是矩形，而且有一组2邻）边是相菱等形（，而且有一个角是直角等腰梯形（1）是梯形，而且两条2）腰是相梯等形（，而且同一底上的两个角相等（3）是梯形，而且对角线相等
2.8 、三角形的中位线：
⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． A
差别三角形的中位线与三角形的中线。

⑵三角形中位线的性质
D
F E
三角形的中位线平行于第三边而且等于它的一半．
2.9 、梯形的中位线： B C
⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

注意：中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。

⑵梯形中位线的性质
梯形的中位线平行于两底，而且等于两底和的一半。

第二章、数据的失散程度
（一）知识点复习
1、极差：
一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。

计算公式：极差=最大值 - 最小值。

极差是刻画数据失散程度的一个统计量，能够反应一组数据的变化范围。

一般说，极差越小，则说明数据的颠簸幅度越小。

2、 方差
各个数据与均匀数的差的均匀数叫做这组数据的方差，记作 S 2。

巧用方差公式： 1、基本公式： S 2
=
1
—
—
—
[(X 1-X) 2 +(X 2-X ) 2++(X n -X ) 2]
n
2、简化公式： S 2
= 1
—
[(X 12+X 22 ++X n 2 )-nX 2 ]
n
也可写成： S 2
= 1
(X 12 +X 2 2++X n
—
2)-X 2
n
2
1 2
2
2
— 2
)-nX ]
3、简化②： S =
[(X ’ 1 +X ’2
++X ’ n
n
也可写成 : S 2
1
2
2
2
— 2
= (X ’1 +X ’2
++X ’ n )-X
n
3、标准差 :
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差
,记作 S 。

1
2
2
S=
x 1 x
..... x n x
n
意义：
1、极差、方差和标准差都是用来描绘一组数据颠簸状况的特点，常用来比较两组数据的颠簸大小，我们通 常研究的是这组数据的个数相等、均匀数相等或比较凑近的状况。

2、方差较大的颠簸较大，方差较小的颠簸较小。

3、方差大，标准差就大，方差小，标准差就小。

所以标准差相同反应数据的颠簸大小。

注意：对两组数据来说，极差大的那一组不必定方差大，反过来，方差大的极差也不必定大。

第三章、二次根式
（一）、知识框架
定义：形如：
a (a 0)
观点
最简二次根式：（ 1）被开方数不含分母； （ 2 ）被开方数中不含能开尽方的因数或因
( a )2 a( a 0)
性质
a 2 a (a 为实数）
式 二
ab a b (a 0, b 0)
次
根
a a
( a 0, b 0)
b
b
第四章、一元二次方程
（一）知识框架
一 元 二 次 方
程
运算
一元二次方程的观点
一元二次方 程的解法
一元二次方
程的探究
加减法： 先将二次根式化成最简的二
次根式，再将被开方数相同的二次根式进行归并。

混 乘法： a
b
ab (a 0, b
0)
合 运
算
除法：
a a
(a 0,b 0)
b
b
ax 2 bx c 0(a
0)
直接配方法
b
b 2 4ac
x
2a
因式分解法
配方法
公式法
2
2
bx c 0( a
0),
ax
一 元 二 方程 ax
bx c 0(a 0), 的 △ 0 , 方程有两个不
次方程
b
两根为
时 , 相等x 的1,实x 2根则 △ =0
,
的根的
,
x 1
x 2
方程有两个相等的实
a
状况
根 ; c
0 时 , 方程无
△
x 1 x 2
a
实根 .
一元二次方程
（二）、知识详解
1、一元二次方程定义
含有一个未知数，而且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。

（二）、一元二次方程的一般形式
ax 2 bx c 0(a 0) ，它的特点
是：
等式左边是一个对于未知数x 的二次多项式，等式右边是
零，此中ax 2
叫做二次项， a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项， b 叫做一次项系数； c 叫做常数项。

2、一元二次方程的解法
1、直接开平方法
直接开平方法合用于解形如 (x a)2 b 的一元二次方程。

当b0 时，x a b ，x ab ；当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法
一般步骤：
（ 1）方程 ax
2 bx c 0(a 0) 两边同时除以a,将二次项系数化为 1.
（ 2）将所得方程的常数项移到方程的右边。

（ 3）所得方程的两边都加前一次项系数一半的平方
（ 4）配方，化成 (x a)
2 b
（5）开方。

当b 0 时，x a b ；当b<0时，方程没有实数根。

3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程ax
2 bx c 0(a 0) 的求根公式：
x b b 2 4ac (b2 4ac 0)
2a
4、因式分解法
一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。

3：一元二次方程根的鉴别式
根的鉴别式
1 、定义：一元二次方程ax
2
bx c 0( a 0) 中， b 2 4ac 叫做一元二次方程ax 2 bx c 0(a 0) 的根的鉴别式。

2、性质：当 b 2 4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当 b 2 4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；当 b2 4ac ＜0时，方程没有实数根。

4：一元二次方程根与系数的关系
假如方程 ax 2 bx c 0(a 0) 的两个实数根是x1，x2，那么x1x2 b
， x1x2 c 。

a a
应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元
依据题意，得：(3 2 x)(200 x
24 200
40)
0.1
解得：
x1＝0.2， x2＝
0.3 答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2 或 0.3 元。

第五章、中心对称图形二（圆的有关知识）
（一）、知识框架
与圆的定义 ,弧、弦等观点
圆
有
关垂径定理及其推论圆的对称性
的
位
置弧、弦、弦心距、圆心角关系定理及其推论
关基天性质
系
圆周角定理及其推论
不共线的三点确立一个圆
确立圆的条件
三角形的外接圆
点在圆上 d r
点和圆的地点关系
d r
点在圆外
圆
点在圆内 d r 切
线
长
判定
订交d r 理
定
三
正多边形和圆
圆内接正多边形
正多边形的有关计算
（二）知识点详解
一、圆的观点
正
多
圆内接正多边形 边 会合形式的观点 ：
形 作法 ----等份圆 1、 圆能够看作是到定点的距离等于定长的点的会合； 与
2、圆的外面：能够看圆作是到定点的距离大于定长的点的会合；
3、圆的内部：能够看作是到定点的距离小于定长的点的会合
正多边形的半径、边心距、
正多边形的内角、中心角、
外角、正多边形的周长、
正三、六、十二边形
正四、八边形
轨迹形式的观点 ：
l
n R
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径180的圆； 扇形的弧长、面积
（增补） 2、垂直均分线：到线段两头距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直均分线2
3、角的均分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的均分线； S 扇形
n R
1
lR
360
2
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
此中 l 为弧长， R 为半径
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的地点关系
1、点在圆内
2、点在圆上
3、点在圆外
d
r
点 C 在圆内；
S 侧
S
睁开的扇形
侧面积
d
r
点 B 在圆上； A
d
圆锥
全面积
d r 点 A 在圆外；
S 全 S 底 r S 侧O
三、直线与圆的地点关系
B
轴截面
d
C
1、直线与圆相离
2、直线与圆相切
3、直线与圆订交
d r d r d r
无交点；
有一个交点；
有两个交点；
r
d=r
r d
d
四、圆与圆的地点关系
外离（图 1）
无交点
外切（图 2）
有一个交点
订交（图 3）
有两个交点
内切（图 4）
有一个交点
内含（图 5）
无交点
d
R
r
图 1
d
R r
图 3
d R r ； d R r ； R r d R r ； d R r ； d R r ；
d
R
r
图 2
d
d
r
R
r
R
图4
图5
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径均分弦且均分弦所对的弧。

推论 1：（1）均分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且均分弦所对的两条弧；
（ 2）弦的垂直均分线经过圆心，而且均分弦所对的两条弧；
（ 3）均分弦所对的一条弧的直径，垂直均分弦，而且均分弦所对的另一条弧
以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共
5 个结论中，只需知道此中 2 个即可推出其余 3 个
结论，即：
①AB 是直径 ②AB CD ③CE DE
④ 弧BC
弧 BD
⑤ 弧AC
弧 AD
中随意 2 个条件推出其余 3
个结论。

推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

A
即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD
C
D
∴弧 AC
弧 BD
O
O
B
六、圆心角定理
A
E
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的
C D
弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称 1 推 3 定理，即上述四
个结论中，
只需知道此中的 1 个相等，则能够推出其余的 3 个结论，
O
A
C
B
E
F
D
B。