证明勾股定理多种常用方法

勾股定理是数学原理，那该怎么证明呢?证明的过程是怎样的呢?下⾯就是百分⽹店铺给⼤家整理的如何证明勾股定理内容，希望⼤家喜欢。

证明勾股定理的⽅法⼀
最早对勾股定理进⾏证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。

赵爽创制了⼀幅“勾股圆⽅图”，⽤形数结合得到⽅法，给出了勾股定理的详细证明。

在这幅“勾股圆⽅图”中，以弦为边长玫秸?叫蜛BDE是由4个相等的直⾓三⾓形再加上中间的那个⼩正⽅形组成的。

每个直⾓三⾓形的⾯积为ab/2;中间懂得⼩正⽅形边长为b-a，则⾯积为(b-a)2。

于是便可得如下的式⼦：
4×(ab/2)+(b-a)2=c2
化简后便可得：
a2+b2=c2
亦即：
c=(a2+b2)(1/2)
稍后⼀点的刘徽在证明勾股定理时也是⽤以形证数的⽅法，刘徽⽤了“出⼊相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正⽅形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正⽅形的空⽩区域内(⼊)，结果刚好填满，完全⽤图解法就解决了问题。

再给出两种
1。

做直⾓三⾓形的⾼，然后⽤相似三⾓形⽐例做出。

2。

把直⾓三⾓形内接于圆。

然后扩张做出⼀矩形。

最后⽤⼀下托勒密定
证明勾股定理的⽅法⼆
勾股定理：在Rt△ABC中，AB⊥AC，则：AB^2+AC^2=BC^2。

该定理有不同的证明⽅法，现⽤⼀种⽅法证明如下：如图作4个与Rt△ABC全等的三⾓形。

不失⼀般性地设AB>AC。

很明显，4个直⾓三⾓形的⾯积+⼩正⽅形的⾯积=⼤正⽅形的⾯积。

∴4(AB×AC/2)+(AB-AC)^2=BC^2，∴2AB×AC+AB^2-
2AB×AC+AC^2=BC^2，∴AB^2+AC^2=BC^2。

特别地，当AB=AC时，看成⼩正⽅形的⾯积为0，得：2AB×AC=BC^2，改写⼀下就有：AB×AC+AB×AC=BC^2，得：AB^2+AC^2=BC^2。

[说明：当Ac>AB 时，将上述证明过程中的字母B、C调换⼀下就可以了。

] 4
满意答案
最初的证明是分割型的。

设a、b为直⾓三⾓形的直⾓边，c为斜边。

考虑下图两个边长都是a+b的正⽅形A、B。

将A分成六部分，将B分成五部分。

由于⼋个⼩直⾓三⾓形是全等的，故从等量中减去等量，便可推出：斜边上的正⽅形等于两个直⾓边上的正⽅形之和。

这⾥B中的四边形是边长为c的正⽅形是因为，直⾓三⾓形三个内⾓和等于两个直⾓。

如上证明⽅法称为相减全等证法。

B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”。

下图是H.珀⾥加尔(Perigal)在1873年给出的证明，它是⼀种相加全等证法。

其实这种证明是重新发现的，因为这种划分⽅法，labitibn Qorra(826～901)已经知道。

(如：右图)下⾯的⼀种证法，是H•E•杜登尼(Dudeney)在1917年给出的。

⽤的也是⼀种相加全等的证法。

如右图所⽰，边长为b的正⽅形的⾯积加上边长为a的正⽅形的⾯积，等于边长为c的正⽅形⾯积。

下图的证明⽅法，据说是L•达•芬奇(da Vinci, 1452～1519)设计的，⽤的是相减全等的证明法。

欧⼏⾥得(Euclid)在他的《原本》第⼀卷的命题47中，给出了勾股定理的⼀个极其巧妙的证明，如次页上图。

由于图形很美，有⼈称其为“修⼠的头⼱”，也有⼈称其为“新娘的轿椅”，实在是有趣。

华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙，和“外星⼈”去交流。

其证明的梗概是：
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。

同理，(BC)2=KEBL
证明勾股定理的⽅法三
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2
印度数学家兼天⽂学家婆什迦罗(Bhaskara，活跃于1150年前后)对勾股定理给出⼀种奇妙的.证明，也是⼀种分割型的证明。

如下图所⽰，把斜边上的正⽅形划分为五部分。

其中四部分都是与给定的直⾓三⾓形全等的三⾓形;⼀部分为两直⾓边之差为边长的⼩正⽅形。

很容易把这五部分重新拼凑在⼀起，得到两个直⾓边上的正⽅形之和。

事实上，
婆什迦罗还给出了下图的⼀种证法。

画出直⾓三⾓形斜边上的⾼，得两对相似三⾓形，从⽽有
c/b=b/m，
c/a=a/n,
cm=b2
cn=a2
两边相加得
a2+b2=c(m+n)=c2
这个证明，在⼗七世纪⼜由英国数学家J.沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新发现。

有⼏位美国总统与数学有着微妙联系。

G•华盛顿曾经是⼀个著名的测量员。

T•杰弗逊曾⼤⼒促进美国⾼等数学教育。

A.林肯是通过研究欧⼏⾥得的《原本》来学习逻辑的。

更有创造性的是第⼗七任总统J.A.加菲尔德(Garfield, 1831～1888)，他在学⽣时代对初等数学就具有强烈的兴趣和⾼超的才能。

在1876年，(当时他是众议院议员，五年后当选为美国总统)给出了勾股定理⼀个漂亮的证明，曾发表于《新英格兰教育杂志》。

证明的思路是，利⽤梯形和直⾓三⾓形⾯积公式。

如次页图所⽰，是由三个直⾓三⾓形拼成的直⾓梯形。

⽤不同公式，求相同的⾯积得
即
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
【证明勾股定理多种常⽤⽅法】。