测量平差练习题及答案

计算题
1、如图，图中已知A 、B 两点坐标，C 、D 、E 为待定点，观测了所有内角，试用条件平差的方法列出全部条件方程并线性化。

解：观测值个数 n =12，待定点个数t =3，多余观测个数r =n -2t =6
① 图形条件4个：
)
180(0
)180(0)180(0)180(0121110121110987987654654321321-++-==-++-++-==-++-++-==-++-++-==-++L L L w w v v v L L L w w v v v L L L w w v v v L L L w w v v v d d c c b b a a
② 圆周条件1个：
)360(0
963963-++-==-++L L L w w v v v e e
③ 极条件1个：
ρ'
'-
-==----++)sin sin sin sin sin sin 1(0cot cot cot cot cot cot 8
527
41774411885522L L L L L L w w v L v L v L v L v L v L f f
3、如图所示水准网，A 、B 、C 三点为已知高程点， D 、E 为未知点，各观测高
差及路线长度如下表所列。

用间接平差法计算未知点D 、E 的高程平差值及其中误差；
C
3、解：1）本题n=6，t=2，r=n-t=4；
选D 、E 平差值高程为未知参数2
1ˆˆX X 、 则平差值方程为：
1
6
151423222
11ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆX H h
H X h H X h H X h H X h X X h A
A B
A
B -=-=-=-=-=-=
则改正数方程式为：
6165154143232221211ˆˆˆˆˆˆˆl x
v l x v l x v l x v l x v l x x
v --=-=-=-=-=--=
取参数近似值 255.24907.2220
221011=+==++=h H X h h H X B B 、
令C=1，则观测值的权阵：
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=10111
101
P ⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛--=010*********B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------=+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7551000)()()()()()()(016
0150
140230
220
20110
654321X H h H X h H X h H X h H X h X X h d BX h l l l l l l l C A B A B
组法方程0ˆ=-W x
N ，并解法方程： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==3114PB B N T
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==107Pl B W T
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-311074113111ˆ1W N x
求D 、E 平差值：
m x X X H m x X X H D C 258.24ˆˆˆ906.22ˆˆˆ2022101
1=+===+== 2）求改正数：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=-=664734ˆl x
B v 则单位权中误差为：
mm r pv v T 36.64162
ˆ0±=±=±=σ
则平差后D 、E 高程的协因数阵为：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛==-41131111
ˆˆN
Q X X 根据协因数与方差的关系，则平差后D 、E 高程的中误差为：
mm
mm Q mm mm Q E D 84.311
229ˆˆ32.32266
9ˆˆ220110±=±==±=±==σσ
σσ
4、如图，在三角形ABC 中，同精度观测了三个内角：4000601'''︒=L ，
5000702'''︒=L ，7000503''''︒=L ，按间接平差法列出误差方程式。

解：必要观测数t =2，选取1L 、2L 的平差值为未知数1ˆX 、2ˆX ，并令10
1L X =、2
2L X =，则
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
ˆ
ˆ
x
L
x
X
X
x
L
x
X
X
δ
δ
δ
δ
+
=
+
=
+
=
+
=
16
ˆ
ˆ
180
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
180
ˆ
ˆ
2
1
3
2
1
3
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
3
3
2
2
2
1
1
1
-
-
-
=
+
-
-
=
=
-
=
=
-
=
-
-
=
+
=
+
=
+
x
x
L
X
X
v
x
L
X
v
x
L
X
v
X
X
v
L
X
v
L
X
v
L
δ
δ
δ
δ
5、如图为一大地四边形，试判断各类条件数目并列出改正数条件方程式。

解：观测值个数n=8，待定点个数t=2，多余观测个数4
2=
-
=t
n
r
3个图形条件，1个极条件。

ρ''
-
-
=
=
-
-
+
-
+
-
+
-
-
+
+
+
-
=
=
-
+
+
+
-
+
+
+
-
=
=
-
+
+
+
-
+
+
+
-
=
=
-
+
+
+
)
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
1(
cot
cot
cot
cot
cot
cot
cot
cot
)
180
(
)
180
(
)
180
(
7
5
3
1
8
6
4
2
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
8
7
6
5
8
7
6
5
6
5
4
3
6
5
4
3
4
3
2
1
4
3
2
1
L
L
L
L
L
L
L
L
w
w
v
L
v
L
v
L
v
L
v
L
v
L
v
L
v
L
L
L
L
L
w
w
v
v
v
v
L
L
L
L
w
w
v
v
v
v
L
L
L
L
w
w
v
v
v
v
d
d
c
c
b
b
a
a
6、如下图所示，为未知P点误差曲线（图中细线）图和误差椭圆图（图中粗线），
A、B为已知点。

1）试在误差曲线上作出平差后PA边的中误差，并说明；
2）试在误差椭圆上作出平差后PA方位角的中误差，并说明；
3）若点P 点位误差的极大值E ＝5mm ，极小值F ＝2mm ，且︒=52F ϕ,试计算方位角为102º的PB 边的中误差。

解：1）在误差曲线上作出平差后PA 边的中误差；
连接PA 并与误差曲线交点a ，则Pa 长度为平差后PA 边的中误差
Pa PA =σ
ˆ 2）在误差椭圆上作出平差后PA 方位角的中误差；
作垂直与PA 方向的垂线Pc ，作垂直与Pc 方向的垂线cb ，且与误差椭圆相切，
垂足为c 点，则Pc 长度为平差后PA 边的横向误差PA u σ
ˆ 则平差后PA 方位角的中误差：
ρρσ
σ
α''=
''≈PA
PA
u S Pc
S PA
PA
ˆˆ 3）因为︒=52F ϕ 则：︒=142E ϕ
则：︒-=︒-︒=-=ψ40142102E ϕα 所以：
323
.16)40(sin *4)40(cos *25sin cos ˆˆ22222222=︒-+︒-=ψ
+ψ==ψF E σσϕ
方位角为102º的PB 边的中误差：mm 04.4ˆˆ±==ψσσ
ϕ 证明题
如下图所示，A ，B 点为已知高程点，试按条件平差法求证在单一附合水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。

A
证明：设水准路线全长为S ，h 1水准路线长度为T ，则h 2水准路线长度为S-T ； 设每公里中误差为单位权中误差，则
h 1的权为1/T ，h 2的权为1/(S-T)；则其权阵为：
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=)/(100/1T S T P
平差值条件方程式为：
HA+0ˆˆ21=-+HB h h 则 A=( 1 1 )
S A AP N T ==-1
由平差值协因数阵：LL T LL LL L L AQ N A Q Q Q 1ˆ
ˆ--=
则高差平差值的协因数阵为：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=-=-1111)(1
ˆˆS T S T AQ N
A Q Q Q LL T LL LL L L
则平差后P 点的高程为：
()⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=211ˆˆ01ˆh h H h H H A A P 则平差后P 点的权倒数（协因数）为
S
T S T f AQ N A fQ f fQ Q T LL T LL T LL P )
(1-=
-=- 求最弱点位，即为求最大方差，由方差与协因数之间的关系可知，也就是求最大协因数（权倒数），上式对T 求导令其等零，则
02=-S
T
S T=S/2 则在水准路线中央的点位的方差最大，也就是最弱点位，命题得证。

·已知某观测值X 、Y 的协因数阵如下，求X 、Y 的相关系数ρ。

（10分）
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=25.015.015.036.0XX
Q 5
.025.0*36.015
.0)*(*)*(*0020-=-=
===
yy xx xy yy xx xy
y
x xy
Q Q Q Q Q Q σσσσσσρ
2017复试真题（例题典型图形突破）
测量平差（书上例题）
1.设在三角形ABC中，观测三个内角L1、L2、L3，将闭合差平均分配后得到各角之值为：P35
L1=40°10′30″、L2=50°05′20″、L3=89°44′10″求它们的协方差阵为？
2.如图，测的三个边长，若用条件平差，求解？若用间接平差。

求解？P126
GPS真题
1. 7个点，2个已知，5个未知，利用GPS测量，设计边连接观测方案---n个同步环，n个异步环，n个共线
2.给一个GPS网，列条件方程，间接平差，列观测方程？
工程测量真题
1.极坐标放样点，2个已知点，放样未知点，放样步骤、要素
2.工程控制坐标转换，推导过程---施工坐标与测量坐标。