北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》余弦定理
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3
千岛湖
C
A
B
4
千岛湖
A
C
?
用正弦定理能否直接求出A , B两处的距离？
B
这是一个已知三角形两边a和b,和两边的 夹角C，求出第三边c的问题.
5
ห้องสมุดไป่ตู้
A c
已知三角形两边分别为a和b, 这两边的夹角为C，角C满足什么 条件时较易求出第三边c？
b
C
勾股定理 你能用向量证明勾股定理吗？
B
c a b
2 2 2
勾股定理与余弦定理有何关系？ 令C＝90
0
c a b
2 2
2
勾股定理
公式的结构特征怎样？ 这个定理有什么作用？ 若已知b=8,c=3,A= 6 0 ,能求a吗？
8
它还有别的用途吗， 若已知a,b,c,可以求什么？
a b c 2 bc cos A
2 2 2
cos A cos B
2 2
2
2
即证
a
AB
AC
2
CB
2
AB AC CB
6
A
b
C
2
c
AB AC CB
2 2
a
B
2
AB ( AC CB ) AC 2 AC CB CB
AC
2
2
2 AC CB cos( 180 C ) CB
2
2
a 2 ab cos C b
c b 2a c
2
2
2 2 2 7 6 1 0 0 .1 7 8 2 7 6
思考：已知条件不变，将例1稍做改动
（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定 , ) b 2 a 2 c 2 三角形ABC的形状 B(9 0 1 8 0
10
千岛湖 A
9
例题
例1、在三角形ABC中，已知a=7, b=10, c=6,求A， B，C（精确到 1 ）
2 2 2 2 2 2 解： b c a 1 0 6 7 0 .7 2 5 co s A
2b c
2 1 0 6
A 4 4
co s B
a
2
B 1 0 0 C 180 A B 36
2 2 2
c a b 2 ab cos C
7
余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a b c 2 bc cos A 2 2 2 b c a 2 ca cos B 2 2 2 c a b 2 ab cos C
(
∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′. ∵sinA＝ a sinC ≈0.6299， c ∴ A=39°或141°(舍).
)
12
13 例3：在三角形ABC中，已知a=7,b=8,cosC=1 4 ,求
最大角的余弦值
分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪 个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求 出第三边,找到最大角。
（精确到1米）
C
AB
2
CA CB
2
2
2 CA CB cos C
2
?
B
1338
2
700
2 1338 700 cos 110 . 8
1790244
490000 1873200 0 . 35511
2280244
665192
2945436
b c a
2 2
2
2 bc 2 2 2 a c b 2 ac
b c a 2 ca cos B
2 2 2
c a b 2 ab cos C
2 2 2
cos C
a b c
2 2
2
2 ab
归纳： 利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角 ; （2）已知两边和它们的夹角，求第三边，进而 还可求其它两个角。
AB 1716
答：A , B两处的距离约为1716米。
11
例 2：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，
C＝82°28′，解这个三角形.
解： 由 得 c2=a2＋b2－2abcosC, c≈4.297.
b2＋c2－a2 ∵ cosA＝ ≈0.7767， 2bc ∴ A≈39°2′,
14
课后作业：课本习题2-1 A组6、7
B组2
五、教后反思：
15
c2 解： a 2 b 2 a b co s C 7 2 8 2 2 7 8 1 3 9 14
2
c 3
则有：b是最大边，那么B 是最大角
co s B
a
2
c b 2a c
2
2
2 2 2 3 7 8 1 2 3 7 7
13
总结
2
什么叫正弦定理 ？ 正弦定理：在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦值的比相等，即
2R sin A sin B sin C a b c
正弦定理可以解哪几类的三角形问题？
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 （进而求出其他的边和角）。
北师大版高中数学必修 5第二章《解三角形》
1
一、教学目标 1、知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦 定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三 角形问题。 2、过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论， 并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角 形问题 3、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解 三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量 的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与 辩证统一。 二、教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作 用。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
（1）余弦定理适用于任何三角形 （2）余弦定理的作用：
a、已知三边，求三个角
b、已知两边及这两边的夹角，求第三边， 进而可求出其它两个角 c、判断三角形的形状
（3）由余弦定理可知：
A 9 0 a 2 b 2 c 2
A 9 0 a 2 b 2 c 2 A 9 0 a 2 b 2 c 2
千岛湖
C
A
B
4
千岛湖
A
C
?
用正弦定理能否直接求出A , B两处的距离？
B
这是一个已知三角形两边a和b,和两边的 夹角C，求出第三边c的问题.
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ห้องสมุดไป่ตู้
A c
已知三角形两边分别为a和b, 这两边的夹角为C，角C满足什么 条件时较易求出第三边c？
b
C
勾股定理 你能用向量证明勾股定理吗？
B
c a b
2 2 2
勾股定理与余弦定理有何关系？ 令C＝90
0
c a b
2 2
2
勾股定理
公式的结构特征怎样？ 这个定理有什么作用？ 若已知b=8,c=3,A= 6 0 ,能求a吗？
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它还有别的用途吗， 若已知a,b,c,可以求什么？
a b c 2 bc cos A
2 2 2
cos A cos B
2 2
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2
即证
a
AB
AC
2
CB
2
AB AC CB
6
A
b
C
2
c
AB AC CB
2 2
a
B
2
AB ( AC CB ) AC 2 AC CB CB
AC
2
2
2 AC CB cos( 180 C ) CB
2
2
a 2 ab cos C b
c b 2a c
2
2
2 2 2 7 6 1 0 0 .1 7 8 2 7 6
思考：已知条件不变，将例1稍做改动
（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定 , ) b 2 a 2 c 2 三角形ABC的形状 B(9 0 1 8 0
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千岛湖 A
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例题
例1、在三角形ABC中，已知a=7, b=10, c=6,求A， B，C（精确到 1 ）
2 2 2 2 2 2 解： b c a 1 0 6 7 0 .7 2 5 co s A
2b c
2 1 0 6
A 4 4
co s B
a
2
B 1 0 0 C 180 A B 36
2 2 2
c a b 2 ab cos C
7
余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a b c 2 bc cos A 2 2 2 b c a 2 ca cos B 2 2 2 c a b 2 ab cos C
(
∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′. ∵sinA＝ a sinC ≈0.6299， c ∴ A=39°或141°(舍).
)
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13 例3：在三角形ABC中，已知a=7,b=8,cosC=1 4 ,求
最大角的余弦值
分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪 个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求 出第三边,找到最大角。
（精确到1米）
C
AB
2
CA CB
2
2
2 CA CB cos C
2
?
B
1338
2
700
2 1338 700 cos 110 . 8
1790244
490000 1873200 0 . 35511
2280244
665192
2945436
b c a
2 2
2
2 bc 2 2 2 a c b 2 ac
b c a 2 ca cos B
2 2 2
c a b 2 ab cos C
2 2 2
cos C
a b c
2 2
2
2 ab
归纳： 利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角 ; （2）已知两边和它们的夹角，求第三边，进而 还可求其它两个角。
AB 1716
答：A , B两处的距离约为1716米。
11
例 2：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，
C＝82°28′，解这个三角形.
解： 由 得 c2=a2＋b2－2abcosC, c≈4.297.
b2＋c2－a2 ∵ cosA＝ ≈0.7767， 2bc ∴ A≈39°2′,
14
课后作业：课本习题2-1 A组6、7
B组2
五、教后反思：
15
c2 解： a 2 b 2 a b co s C 7 2 8 2 2 7 8 1 3 9 14
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c 3
则有：b是最大边，那么B 是最大角
co s B
a
2
c b 2a c
2
2
2 2 2 3 7 8 1 2 3 7 7
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总结
2
什么叫正弦定理 ？ 正弦定理：在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦值的比相等，即
2R sin A sin B sin C a b c
正弦定理可以解哪几类的三角形问题？
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 （进而求出其他的边和角）。
北师大版高中数学必修 5第二章《解三角形》
1
一、教学目标 1、知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦 定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三 角形问题。 2、过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论， 并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角 形问题 3、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解 三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量 的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与 辩证统一。 二、教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作 用。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
（1）余弦定理适用于任何三角形 （2）余弦定理的作用：
a、已知三边，求三个角
b、已知两边及这两边的夹角，求第三边， 进而可求出其它两个角 c、判断三角形的形状
（3）由余弦定理可知：
A 9 0 a 2 b 2 c 2
A 9 0 a 2 b 2 c 2 A 9 0 a 2 b 2 c 2