北京市西城区2017_2018学年九年级数学统一测试4月(一模)试卷(含解析)

北京市西城区2017-2018学年九年级数学统一测试4月（一模）试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为（）．
A．10
⨯C．9
5.810
⨯B．11
5.810
⨯
0.5810
5810
⨯D．11
【答案】A
【解析】用科学记数法表示为10
⨯．
5.810
2．在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念戳图案中，可以看作中心对称图形的是（）．A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】中心对称绕中心转180︒与自身重合．
3．将34b b -分解因式，所得结果正确的是（ ）． A ．2(4)b b - B ．2(4)b b - C ．2(2)b b - D ．(2)(2)b b b +-
【答案】D
【解析】324(4)(2)(2)b b b b b b b -=-=+-．
4．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）． A ．三棱柱 B ．圆柱 C ．六棱柱 D ．圆锥
【答案】C
【解析】由俯视图可知有六个棱，再由主视图即左视图分析可知为六棱柱．
5．若实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）． A ．5a <- B ．0b d +< C ．0a c -< D
．c
【答案】D
【解析】①5a >-，故A 错． ②0b d +>，故B 错． ③0a c ->，故C 错．
④01c <<
2=，故选D ．
6．如果一个正多边形的内角和等于720︒，那么该正多边形的一个外角等于（ ）． A ．45︒ B ．60︒ C ．72︒ D ．90︒
【答案】B
【解析】多边形内角和(2)180720n -⨯︒=︒，∴6n =．
俯视图
左视图
主视图
正多边形的一个外角360360606
n ︒︒
===︒．
7．空气质量指数（简称为AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，它的类别如下表所示．
根据以上信息，下列推断不合理的是
A ．AQI 类别为“优”的天数最多的是2018年月
B ．AQI 数据在0~100之间的天数最少的是2014年月
C ．这五年的月里，6个AQI 类别中，类别“优”的天数波动最大
D ．2018年月的AQI 数据的月均值会达到“中度污染”类别
【答案】D
【解析】①AQI 为“优”最多的天数是14天，对应为2018年月，故A 对． ②
AQI 在0~100③观察折线图，类别为“优”的波动最大，故①对．
④2018年月的AQI 在“中度污染”的天数为天，其他天AQI 均在“中度污染”之上，因此D 推断不合理．
优良轻度污染中度污染
重度污染严重污染
1月1月1月1月1月
8．将A ，B 两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：
①投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767．
②随着投篮次数的增加，A 运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A 运动员投中的概率是0.750．
④投篮达到200次时，B 运动员投中次数一定为160次． 其中合理的是（ ）． A ．① B ．②
C ．①③
D ．②③
【答案】B
【解析】①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理．
②随着投篮次数增加，A 运动员投中的概率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理． ③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮次时，只能估计投中200次数，而不能确定一定是160次，故③不合理．
二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9．若代数式1
1
x x -+的值为0，则实数x 的值为__________．
【答案】1x = 【解析】1
01
x x -=+，10x -=，1x =．
10．化简：()()42(1)a a a a +--+=__________．
【答案】8a -
【解析】22421288()()()a a a a a a a a a +--+=+---=-．
11．如图，在ABC △中，DE AB ∥，DE 分别与AC ，BC 交于D ，E 两点．若4
9
DEC ABC S S =△△，3AC =，则DC =__________．
【答案】2
【解析】∵DE AB ∥， ∴2
49
DEC ABC S CD S AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△， ∴
2
3
CD AC =． ∵3AC =， ∴2CD =．
12．从杭州东站到北京南站，原来最快的一趟高铁G20次约用5h 到达．从2018年4月10日起，全国铁路开始实施新的列车运行图，并启用了“杭京高铁复兴号”，它的运行速度比原来的G20次的运行速度快35km/h ，约用4.5h 到达。

如果在相同的路线上，杭州东站到北京南站的距离不变，设“杭京高铁复兴
号”的运行速度．设“杭京高铁复兴号”的运行速度为km/h x ，依题意，可列方程为__________．
【答案】4.55(35)x x =-
【解析】依题意可列方程：4.55(35)x x =-．
13．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 上一点，50BOC ∠=︒，AD OC ∥，AD 交⊙O 于点D ，连接AC ，
CD ，那么ACD ∠=__________．
E D
C
B
A
【答案】40︒
【解析】∵AD OC ∥， ∴DAC OCA ∠=∠． ∵OA OC =， ∴OAC OCA ∠=∠，
∴1
2
OAC DAC BOC ∠=∠=∠．
∵50BOC ∠=︒，
∴25BAC ∠=︒，50DAO ∠=︒， ∴80AOD ∠=︒，
∴1
402
ACD AOD ∠=∠=︒．
14．在平面直角坐标系xOy 中，如果当0x >时，函数1y kx =-（0k ≠）图象上的点都在直线1y =-上方，请写出一个符合条件的函数1y kx =-（0k ≠）的表达式：__________．
【答案】1y x =-（答案不唯一） 【解析】答案不唯一，0k >即可．
15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1,0)A ，等腰直角三角形ABC 的边AB 在x 轴的正半轴上，90ABC ∠=︒，点B 在点A 的右侧，点C 在第一象限。

将ABC △绕点A 逆时针旋转75︒，如果点C 的对应点E 恰好落在y 轴的正半轴上，那么边AB 的长为__________．
O
D
C
B A
【解析】依题可知，45BAC ∠=︒，75CAE ∠=︒，AC AE =，60OAE ∠=︒， 在Rt AOE △中，1OA =，90EOA ∠=︒，60OAE ∠=︒，∴2AE =， ∴2AC =．
在Rt ABC △
中，AB BC =
16．阅读下面材料：
在复习课上，围绕一道作图题，老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法，并交流其中蕴含的数学原理．
已知：直线和直线外的一点P ．
求作：过点P 且与直线垂直的直线PQ ，垂足为点Q P 某同学的作图步骤如下：
请你根据该同学的作图方法完成以下推理: ∵PA PB =，APQ ∠=∠__________， ∴PQ l ⊥．（依据：__________）．
【答案】BPQ ，等腰三角形三线合一
x
【解析】BPQ ，等腰三角形三线合一．
三、解答题（本题共68分，第17~19题每小题5分，第20题6分，第21、22题每小题5分，第23题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17
1
14sin 3015-⎛⎫
+︒ ⎪⎝⎭
．
【解析】原式1
541)52122
=+⨯-=+=．
18．解不等式组3(2)4112
x x x ++⎧⎪
⎨-<⎪⎩≥，并求该不等式组的非负整数解．
【解析】解①得，364x x ++≥，22x -≥，1x -≥， 解②得，12x -<，3x <， ∴原不等式解集为13x -<≤， ∴原不等式的非负整数解为0，，2．
19．如图，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥于点D ，AB 的中点为E ，AE AC <． （1）求证：DE AC ∥．
（2）点F 在线段AC 上运动，当AF AE =时，图中与ADF △全等的三角形是__________．
【解析】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∵BD AD ⊥于点D ，
E
C
B
A
∴90ADB ∠=︒， ∴ABD △为直角三角形． ∵AB 的中点为E ， ∴2AB AE =
，2
AB DE =， ∴DE AE =， ∴13∠=∠， ∴23∠=∠， ∴DE AC ∥． （2）ADE △．
20．已知关于x 的方程2(3)30mx m x +--=（m 为实数，0m ≠）． （1）求证：此方程总有两个实数根．
（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值．
【解析】（1）2222(3)4(3)691269(3)0m m m m m m m m ∆=--⨯-=-++=++=+≥ ∴此方程总有两个不相等的实数根． （2）由求根公式，得(3)(3)
2m m x m
--±+=，
∴11x =，23
x m
=-
（0m ≠）． ∵此方程的两个实数根都为正整数， ∴整数m 的值为1-或3-．
21．如图，在ABD △中，ABD ADB ∠=∠，分别以点B ，D 为圆心，AB 长为半径在BD 的右侧作弧，两弧交于点C ，分别连接BC ，DC ，AC ，记AC 与BD 的交点为O ．
3
21E
D
C
B
A
（1）补全图形，求AOB ∠的度数并说明理由;
（2）若5AB =，3
cos 5
ABD ∠=，求BD 的长．
【解析】（1）补全的图形如图所示．90AOB ∠=︒． 证明：由题意可知BC AB =，DC AB =， ∵在ABD △中，ABD ADB ∠=∠， ∴AB AD =，
∴BC DC AD AB ===， ∴四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥， ∴90AOB ∠=︒．
（2）∵四边形ABCD 为菱形， ∴OB OD =．
在Rt ABO △中，90AOB ∠=︒，5AB =，3cos 5
ABD ∠=，
∴cos 3OB AB ABD =⋅∠=， ∴26BD OB ==．
22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =+与x 轴的交点为0()4,A -，与y 轴的交点为B ，线段AB 的中点M 在函数k
y x
=
（0k ≠）的图象上 B
D
A
A
B
C
D
O
（1）求m ，k 的值;
（2）将线段AB 向左平移n 个单位长度（0n >）得到线段CD ，A ，MB 的对应点分别为C ，N ，D ． ①当点D 落在函数k
y x
=
（0x <）的图象上时，求n 的值． ②当MD MN ≤时，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．
【解析】（1）如图．
∵直线y x m =+与x 轴的交点为0()4,A -， ∴4m =．
∵直线y x m =+与y 轴的交点为B ， ∴点B 的坐标为(0,4)B ． ∵线段AB 的中点为M ， ∴可得点M 的坐标为(2,2)M -． ∵点M 在函数k
y x
=（0k ≠）的图象上， ∴4k =-．
（2）①由题意得点D 的坐标为(,4)D n -， ∵点D 落在函数k
y x
=（0k ≠）的图象上， ∴44n -=-， 解得1n =．
②n 的取值范围是2n ≥．
23．某同学所在年级的500名学生参加“志愿北京”活动，现有以下5个志愿服务项目：A．纪念馆志愿讲解员．B．书香社区图书整理．C．学编中国结及义卖．D．家风讲解员．E．校内志愿服务．要求：每位学生都从中选择一个项目参加，为了了解同学们选择这个5个项目的情况，该同学随机对年级中的40名同学选择的志愿服务项目进行了调查，过程如下：
收集数据：设计调查问卷，收集到如下数据（志愿服务项目的编号，用字母代号表示）．
B，E，B，A，E，C，C，C，B，B，
A，C，E，D，B，A，B，E，C，A，
D，D，B，B，C，C，A，A，E，B，
C，B，D，C，A，C，C，A，C，E，
整理、描述诗句：划记、整理、描述样本数据，绘制统计图如下，请补全统计表和统计图．
选择各志愿服务项目的人数统计表
分析数据、推断结论：
a ：抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是__________．（填A E -的字母代号）
b ：请你任选A E -中的两个志愿服务项目，根据该同学的样本数据估计全年级大约有多少名同学选择这两
个志愿服务项目．
【解析】B 项有10人，D 项有4人．
选择各志愿服务项目的人数比例统计图中，B 占25%，D 占10%． 分析数据、推断结论：
a ．抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是C ．
b ：根据学生选择情况答案分别如下（写出任意两个即可）．
A ：50020%100⨯=（人）．
B ：50025%125⨯=（人）．
C ：50030%150⨯=（人）．
D ：50010%50⨯=（人）．
E ：50015%75⨯=（人）．
24．如图，⊙O 的半径为r ，ABC △内接于⊙O ，15BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，D 为CB 延长线上一点，AD 与⊙O 相切，切点为A ．
（1）求点B 到半径OC 的距离（用含r 的式子表示）． （2）作DH OC ⊥于点H ，求ADH ∠的度数及
CB
CD
的值．
【解析】（1）如图4，作BE OC ⊥于点E ． ∵在⊙O 的内接ABC △中，15BAC ∠=︒， ∴230BOC BAC ∠=∠=︒．
在Rt BOE △中，90OEB ∠=︒，30BOE ∠=︒，OB r =，
A
B C
∴22
OB r
BE =
=， ∴点B 到半径OC 的距离为2
r
． （2）如图4，连接OA ．
由BE OC ⊥，DH OC ⊥，可得BE DH ∥． ∵AD 于⊙O 相切，切点为A ， ∴AD OA ⊥， ∴90OAD ∠=︒． ∵DH OC ⊥于点H ， ∴90OHD ∠=︒．
∵在OBC △中，OB OC =，30BOC ∠=︒， ∴180752
BOC
OCB ︒-∠∠=
=︒．
∵30ACB ∠=︒，
∴45OCA OCB ACB ∠=∠-∠=︒． ∵OA OC =，
∴45OAC OCE ∠=∠=︒， ∴180290AOC OCA ∠=︒-∠=︒， ∴四边形AOHD 为矩形，90ADH ∠=︒， ∴DH AO r ==． ∵2r BE =， ∴2
DH
BE =
． ∵BE DH ∥， ∴CBE CDH ∽△
△， ∴
12
CB BE CD DH ==．
25．如图，P 为⊙O 的直径AB 上的一个动点，点C 在»AB 上，连接PC ，过点A 作PC 的垂线交⊙O 于点
Q ．已知5cm AB =，3cm AC =．设A 、P 两点间的距离为cm x ，A 、Q 两点间的距离为cm y ．
某同学根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行探究． 下面是该同学的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了x 与y 的几组值，如下表：
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． （3）结合画出的函数图象，解决问题：当2AQ AP =时，AP 的长度均为__________cm ．
【解析】（1）
图4
C
B A
B
A
（2）如图5
（3）2.42．
26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ，抛物线G 的顶点为D ，直线：1(0)y mx m m =+-≠．
（1）当1m =时，画出直线和抛物线G ，并直接写出直线被抛物线G 截得的线段长． （2）随着m 取值的变化，判断点C ，D 是否都在直线上并说明理由．
（3）若直线被抛物线G 截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．
【解析】（1）当1m =时，抛物线G 的函数表达式为22y x x =+，直线的函数表达式为y x =，直线被抛物线G
图5
x
（2）∵抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0,1)C m -，
∵2221(1)1y mx mx m m x =++-=+-， ∴抛物线G 的顶点D 的坐标为(1,1)--， 对于直线：1(0)y mx m m =+-≠， 当0x =时，1y m =-，
当1x =-时，(1)11y m m =⨯-+-=-， ∴无论m 取何值，点C ，D 都在直线上． （3）m
的取值范围是m ≤
m
27．正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作
CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ．
（1）如图，当045α︒<<︒时， ①依题意补全图．
②用等式表示NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系：__________．
（2）当4590α︒<<︒时，探究NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系并加以证明． （3）当090α︒<<︒时，若边AD 的中点为F ，直接写出线段EF 长的最大值．
【解析】（1）①补全的图形如图所示：
x C
D
B
A
图1
备用图
C D
B
A
M
②2NCE BAM ∠=∠．
（2）1
902
MCE BAM ∠+∠=︒，
连接CM ，
DAM DCM ∠=∠， DAQ ECQ ∠=∠，
∴2NCE MCE DAQ ∠=∠=∠，
∴1
2
DCM NCE ∠=∠，
∵BAM BCM ∠=∠， 90BCM DCM ∠+∠=︒，
∴1
902
NCE BAM ∠+∠=︒． （3）∵90CEA ∠=︒，
∴点E 在以AC 为直径的圆上，
N
E
M
A
B
D C
N
Q
M A
B
D
C E
∴max 1EF FO r =+=+
28．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQ
k CQ
+=
，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ =
（或2BQ
CQ
）． 已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ． （1
）如图，当r =
①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．
②2(1A +是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．
②当k r 的取值范围．
（3）若存在r
的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C
出b 的取值范围．
【解析】（1
．②是．
E
x
（2）①如图，当1r =时，不妨设直线QM 与⊙C 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理）， 连接CM ，则QM CM ⊥，
∵(1,0)Q -，(1,0)C ，1r =， ∴2CQ =，1CM =，
∴MQ =
此时2MQ
k CQ
=
= ②如图，若直线QM 与⊙C 不相切，设直线QM 与⊙C 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），
作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，
∴()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=， ∵2CQ =， ∴2MQ NQ DQ
k DQ CQ CQ
+=
==，
∴当k
DQ =
此时1CD =， 假设⊙C 经过点Q ，此时2r =， ∵点Q 早⊙C 外，
x
x
21 ∴r 的取值范围是12r <≤．
（3
）b <<．。