结构力学课件--5位移计算(1)

MP
EI
NP
EA
k
QP GA
k--为截面形状系数
1.2
10 9
(3) 荷载作用下的位移计算公式
MM P ds NNP ds kQ QP ds
2021/4/9
EI
EA
GA
二、各类结构的位移计算公式
21
（1）梁与刚架
MM P EI
ds
（2）桁架
NNP ds NNP ds NNPl
We =Wi
2021/4/9
§5-2 结构位移计算的一般公式 ——变形体的位移计算
18
d 1 ds ds d ds
R
d ds
K
t1 t2
c2
1
R1
K
c1
ds
ds R2 ds
M
N
Q
外虚功：We 1 Rk ck 内虚功：Wi M N Q ds
1 (RMkck N MQ N)dsQ Rdksck
9
刚体的虚功原理 刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
对于任何可能的虚位移，作用于刚体 系的所有外力所做虚功之和为零。
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10
四、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间。
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。 直线
A
EA
EA
EA
（3）拱
MM P EI
ds
NNP EA
ds
2021/4/9
图乘§法5是-4V图er乘es法hag位in于移1计92算5年举提例出的，他当 22
时为莫斯科铁路运输学院的学生。
MiMk
直杆
ds
MiMk
EI C
dx
1
EI
EI
EI
M iM k dx
Mi是直线
1
EI
B
M
A
k
xtgadx
2021/4/9
课件
§5-3 荷载作用下的位移计算
20
研究对象：静定结构、线性弹性材料。
( M N Q )ds
重点在于解决荷载作用下应变 、、 的表达式。
一、计算步骤
（1）在荷载作用下建立 M P .NP .QP的方程，可经由荷载内力应力应变 过程推导应变表达式。
（2）由内力计算应变，表达式由材料力学知
1
第五章
2021/4/9
2
§5-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
一、结构位移计算概述 结构位移的概念：
A
位移
P
Ay
A A
线位移 转角位移
Ax
A A点线位移
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角
2021/4/9
3
A
引起结构位移的原因 还有什么原
P
Ay
A A
因荷会载使结构产 温度生改位变移?
?
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解法一、
ql 2
2
A
l
Cy
1 [(1 l ql 2 EI 2 2 2
l) 3
2
(1 l ql 2 l )
A
22 8 6
(2 l ql 2 l )] 17ql 4 ( ) 3 2 32 4 384EI
2021/4/9
28
ql 2 32 ql 2 8
1
M图
29
求AB两点 连线的转角
14
例：图示三铰刚架A支座往下位移了b，B支座往右位移
了a，求C点的竖向位移 CV ,
和C点的相对转角 C
（1）求C点的竖向位移 CV
Fp=1
C
b L
在C点作用竖向单位力，求出RYA 和RXB 。
RYA
1 2
()
1 RXB 4 ()
Rk ck
真实的位移状态
A
B
L/2
B
P
P X
C
C
a
(a)
b
X (b)
(c)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
由外力虚功总和为零，即： X X P C 0
将 X / C a / b 代入得:
X bP / a
通常取 1
X
x
单位位移法(Unit-Displacement Method)
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三、位移计算的一般步骤:
K
t1 t2
c2
K
c1
19
1
R1
M .N .Q .Rk R2
实际变形状态
虚力状态
( M N Q )ds Rkck
(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； (2) 求虚力状态下的内力及反力 M .N .Q .Rk 表达式; (3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。
Ax
支座移动
制造误差 等
t
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绝对位移与相对位移
4
c
t1
c t2 t1
以上都是绝对位移
AV
BV
以上都是相对位移 广义位移
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2、广义力与广义位移
5
作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力S。与位移有
关的因素，称为广义位移Δ。
广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：T=SΔ
1 tga
EI
B
A xM k dx
A
x
Mk
ω
dx
B
1 EI
tga ×w
x0
1 EI
wy0
y
x0
MM P EI
dx
w y0
EI
α
A
Mi=xtgα
Mi y0
B
y0=x0tgα
x
注： ①∑表示对各杆或各杆段分别图乘再相加。
②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图
至少有一个是直线。
③竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 20④21/4面/9 积ω与竖标y0在杆的同侧， ωy0 取正号，否则取负号。
h h h
23
⑤几种常见图形的面积和形心的位置：
a
b
(a+l)/3 (b+l)/3
l
ω=hl/2
h l/2 顶点 l/2 二次抛物线ω=2hl/3
顶点
顶点
3l/4
l/4
二次抛物线ω=hl/3
5l/8
3l/8
二次抛物线ω=2hl/3
2021/4/9
例：求梁B点转角位移。
P
A
EI
B
l/2
Pl/4 l/2 MP
C
wy0
EI
1l l
××
222
×5 Pl 6
5 Pl 3 48 EI 2021/4/9
25
P
P
MP
Pa
Pa
a
a
a
P=1
a/2
a/2 M 3a/4
P
l/2
Pl
5Pl/6
C
l/2
MP
P=1
l/2
C l/6
M
26
例 5. 已知 EI 为常数，求 Cy 。
q
A
l2
C l2
B
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
L/2 a
CV
( 1 b 2
1 a) 4
b 2
a 4
2021/4/9
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉 、心、肺、肾等多脏器严重损害 的，全身性疾病，而且不少患者 同时伴有恶性肿瘤。它的1症状表 现如下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
2021/4/9
2）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协 11 调位移状态之间。
例. 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起C点的竖向位移 . A
c
BC
1
A
B
A
C
a
b C
YA
解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之
点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。
由 MB 0求得 YA b / a
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27
ql 2
2
ql 2
l
2
1
8
B
A
C
MP 图
A ql 2 2
M图
ql 2
一种算法：
结果正确否？ A
8
B
C
Cy
1 EI
( l ql 2 28
l 1 22
1 l 3ql 2 32 8
3 l) 42
1 (ql 4 3ql 4 ) 5ql 4 ( )
EI 64 128 128EI
2021/4/9 骤 （3）解方程得 Rk ck 定出方向。
13
虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应 的广义单位荷载。
A
P=1
B
求A点的 水平位移
m=1
求A截面 的转角
P=1 m=1 m=1
求AB两截面 的相对转角
P=1
求AB两点 的相对位移
2021/4/9
l
1/l
1/l
虚功方程为： 1 YA c 0
解得：
bc/a
这是单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) 它是 Maxwell,
1864和Mohr, 1874提出，故也称为Maxwell-Mohr Method
2021/4/9
五、支座位移时静定结构的位移计算
12
已知位移 c A 求:（1）C点的竖向位移 c （2）杆CD的转角
例：求梁B点竖向线位移。
24
ql2/2
MP
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
l
B
P=1 m=1 l 3l/4
1/2 M
B
1 EI
1 2
Pl 4
l•1 2
Pl 2
16 EI
M
1 1 ql2 3 ql4
B EI 3
2
l• l 4 8EI
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移；
解法二、
ql 2
2
ql 2
8
A
C
MP 图
l 2
B A
1
M图
Cy
1 EI
[(1 3
l
ql 2 2
l) 4
(1 l ql2 l )] 17ql4 () 3 2 8 8 384EI
2021/4/9
16
（2）求C点的相对转角 C
在C点作用一对力矩，求出 RYA 和 RXB。
RYA 0
1 RXB L ()
M=1
C
b L
Rk ck
C
( 1 a) L
a L
真实的位移状态
A
B
L/2
L/2 a
2021/4/9
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变形体的虚功原理
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功δWe，恒等于变 形体各微段内力在微段变形上作的虚功之 和δWi。也即恒有如下虚功方程成立
20b21）/4/9当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
例：求图示梁中点的挠度。
？ 1 1 3a 3aPa EI 2 4
1 EI
P
aa 2
2 3
a 2
2
a
2
3a 2
4
a 2
2
P
a
23Pa3 24EI
例：求图示梁C点的挠度。
？
C
=
1 EI
Pl 2 l = Pl 3 2 6 12 EI
1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量
2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角β。
3）若广义力是等值、反向的一对力P
T P A P B P( A B ) P P
AP
这里Δ是与广义力相应的广义位移。
mΔA
表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。
mA
4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m
B
P
β ΔB Δ
Bm
T m A mB m( A B ) m
这里Δ是与广义力相应的广义位移。
表示AB两截面的相对转角。
2021/4/9
Δ
A
B
6
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
P=1
A ?
(a)
P=1 B
A P=1
(b)
AB ?
2021/4/9
7
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P1 d
C
(c)
1 d1
1 d1
A
C d1
d2 1
d A
P1 d
B 1
B
BC ?
(d)
? AB AC
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d2
d2
8
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(e)
B AB ?
P=1
P=1 C P=1
(f)
C 左右 =？
2021/4/9
cA A
B
C c
D
1
1 1 c 3 cA 0
A
l
B
l 3
1
C
2l 3 D
c
1 3
c
A
2
1
1 2l
cA
0
1 3
2 3
1
1 2l
cA
A
1 2l
B
C
2
l
D
所得正号表明位移方
3 向与假设的单位力方向
一致。
2l
求 （1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；
解 步
（2）建立虚功方程
1 Rk ck 0