第2章概率
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第二章
随机变量及其分布
§2.1 随机变量 离散型随机变量 §2.2 随机变量的分布函数 §2.3 连续型随机变量及其分布 §2.4 随机变量的函数的分布
1
§2.1 随机变量 量
2.1.1 随机变量的概念
离散型随机变
(1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1, 2, , 6 (2)电话总机在单位时间内接到的呼唤次数 Y 0，1，2，…… (3)某电子元件的使用寿命 T [0, ) (4) 将一枚硬币抛掷两次，观察正面出现的次数 Z
X ~ ( ),
e e
3e 2
2
P{ X 3} 1 P{ X 0} P{ X 1} P{ X 2}
21 2 2 2 2 1 e 2 e e 1 5e 2 0.323 1! 2!
27
四、 超几何分布
定义4 称 X 服从参数为N, M, n (M≤N, n≤N)的 超几何分布 ( X ~ h(N, M, n)), 若 X 的分布律为
n k N M n N
C C P{ X k } C
k M
( k 0, 1, , r , r min{ M , n})
注 背景： 若N个元素分为A、B两类，A类中含有 M（M≤N）个元素．任取n个，则这n 个元素中 含有A类元素的个数 X ~ h( N, M, n).
28
§2.2 随机变量的分布函数
击, 每人射击一次，各人击中目标的概率依次为
0.7，0.6，0.5, 求目标被击中次数 X 的分布律.
解：设A, B, C分别表示甲、乙、丙击中目标，
X所有可能的取值为0, 1, 2, 3.
P{ X 0} P ( ABC ) 0.3 0.4 0.5 0.06
P{ X 1} P ( ABC ABC ABC ) 0.29
3
用随机变量描述事件
{ X B} {e | X (e ) B}
B——实数集合
{ X x } {e | X (e ) ( , x]}
{ X x } {e | X (e ) x}
随机事件是以静态、孤立的观点研究随机现象， 随机变量是以动态、全面的观点研究随机现象．
10
故X的分布律为
P{X=k}=
k 3 C 2C 3 k
3 C5 k =0,1, 2.
X 0 1 2 P{X=k} 1/10 6/10 3/10
例2 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个设有红绿 信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其它信号灯 为红或绿相互独立,且红绿两种信号灯显示的时间
相等.以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路
P{ X 2} 1 P{ X 0} P{ X 1} 1 (1 p)n np(1 p )n1
19
例5 从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各
个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率
都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分 布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率. 解:(1)由题意, X ～ b(6,1/3), 于是X的分布律为:
F ( x ) P{ X x }
xk x
P{ X x
k
k
}
F ( x)
xk x
p
32
注意点
对离散随机变量的分布函数应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.
p
k 1
k
1
例4 已知X 的分布律为 X 1 2 P{X=k} 1/2 1/4
1 求(1)a ; 8
性 质 是 决 定 性 的
3 1/8
4 a
3 4
(2) P{X<3}.
15
2.1.3 常见离散型随机变量及其分布律
(0-1)分布 二项分布 泊松分布 超几何分布
16
一、 (0-1)分布
设离散型随机变量X的分布律为
定义1 设X为一个随机变量，对任意实数 x，
称 F(x)=P( X x) 为 X 的分布函数.
基本性质：
(1) F(x) 单调不降；
(2) 有界：0F(x)1，F ( ) lim F ( x ) 0,
x x
F ( ) lim F ( x ) 1;
(3) 右连续.
为离散型分布.
discrete random variable
设离散型随机变量X 的所有可能取值为 x1 , x2 , , 称
P X xk pk (k 1, 2, )
为X的分布律.
8
注1 分布律可完整刻画离散型随机变量的概率分布．
利用分布律可求任意事件的概率:
P{ X B }
k : xk B
pk
注2 分布律也可用表格表示： X P{X=xk} x1 x2 … xk … p1 p2 … pk …
取值行 概率行
9
例1 盒中有2个白球、3个红球．从中任取3个，
求取得的白球数 X 的分布律． 解 由题意, X 的可能取值为0,1,2. 0 3 C2 C3 P{X=0}= 3 最多取到1个 C5 1 2 白球的概率？ C2 C3 P{X=1}= 3 C5 P{ X 1} 2 1 C 2C 3 P{X=2}= 3 C5
33
例2 已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布律.
4
注 意
（1）X(e)取值的随机性 随机变量X(e)是样本点e的函数，它随着试验
结果不同而取不同的值，因而在试验之前只知道
它可能取值的范围，而不能预知它取什么值而普 通变量的取值事先是可以预知的. （2） X(e)是定义在样本空间上的; 而普通变量是定义在实数轴上的.
5
（3） X(e)取值的统计规律性
k P{ X k } Cn pk (1 p)n k ,
k 0,1,, n
18
k Cn pk (1 p)n k 1 k 0
n
全不成功的概率： P{ X 0} (1 p)n
n 全成功的概率： P{ X n} p 至少成功一次的概率：
P{ X 1} 1 P{ X 0} 1 (1 p)n 至少成功两次的概率：
两类随机变量
若随机变量 X 可能取值的个数为有限个
或 可列个，则称 X 为离散型随机变量.
若随机变量 X 的可能取值充满某个区间
[a, b]，则称 X 为连续型随机变量.
前例中的 X, Y, Z 为离散随机变量；
而 T 为连续随机变量.
7
2.1.2 离散型随机变量及其分布律
定义1 若随机变量 X 的所有可能取值为有限个或 可列个, 则称X 为离散型随机变量， 其分布称
它取值依赖于试验的结果，而这些结果的出现具
有一定的统计规律性（即确定的概率），因而它 的取值也有一定的统计规律性（即确定的概率）. 而普通变量的取值是确定的. （4） 随机变量的引入，简化了随机事件的表示. 若X 为随机变量，则 {X = k} 、 {a < X b} 、 …… 均为随机事件.
6
30
例1 已知 X 的分布律如下：
X P 解： 1 2 1/2 1/4 3 4 1/8 1/8
x1 1 x 2 2 x3 3 x4 x4
求 X 的分布函数.
0, 1 / 2, F ( x ) 3 / 4, 7 / 8, 1,
31
根据离散型随机变量的分布律，得到分布函数
泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布， 当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参 数=np的泊松分布.
25
26
例 8 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊
松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e－2.
求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率. 解:由题意,
P X 1 P{ X 0} P{ X 1} 3e 2
口的个数,求 X 的概率分布.
11
解 由题意, X 的可能取值为0,1,2,3.
P{X=0} =1/2,
P{X=1} =1/22, P{X=2} =1/23, P{X=3} =1/23, 故X的分布律为 X 0 1 2 3 P{X=k} 1/2 1/4 1/8 1/8
12
例3 甲、乙、丙三人对同一目标各自独立进行射
P{ X k } pk (1 p)1 k (k 0, 1)
则称X服从(0-1)分布 X P 0 1-p 1 p
17
二、 二项分布与伯努利试验
定义2 将试验独立重复进行n次，每次试验中，事 件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重伯努 利试验. 若以X表示n重伯努利试验事件A发生的次数，则称 X服从参数为n , p的二项分布. 记作X ~ b(n, p). 分布律为：
C
n
k!
21
n≥20, p≤0.05, 效果颇佳； n≥100, np≤10, 效果更好. 定理1（泊松定理） 设随机变量Xn~b(n, p), (n＝ 0, 1, 2,…), 且n 很大，p很小，记=np，则
P{ X k }
k
k!
e ,
k 0,1, 2,...
22
二项分布的最可能值
5 6
20
5
6
例6 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，
试求其命中次数不少于2的概率.
解: 设X表示400次独立射击中命中的次数，
则X～b(400, 0.02)，故
P{X 2}＝1－P{X＝0}－P {X＝1}
＝1－0.98300－(400)(0.02)(0.98399) =… 当n较大( p较 小)时, k k k (1 p)n k (np) e np p
P{ X a } lim P{ X a } F (a 0)
0
P { X a } P { X a } P { X a } F ( a ) F ( a 0)
P{a X b}, P{a X b}, P{a X b} 类似.
P{ X 2} P ( ABC ABC ABC ) 0.44
13
P{ X 3} P ( ABC ) 0.21
所以X的分布律为 X P{X=k} 0 1 2 3
0.06 0.29 0.44 0.21
14
分布律的基本性质
非负性: 正则性:
pk 0, k 1, 2,
使P{X=k} 取得最大值的 k 称为分布的最可能值. 二项分布的最可能值(或最可能成功次数)为
[( n 1) p], m ( n 1) p和( n 1) p 1,
若(n+1)p不是整数 若(n+1)p是整数
23
例6 解二：用泊松定理 取=np＝(400)(0.02)＝8,
Z 0, Z 1,
Z 2.
2
定义1 设E为随机试验，S为样本空间，对任一e∈S, 有唯一确定的实数X(e)与之对应，称X(e)为随
机变量.
S
e
X (e )
随机变量常用大写字母 X , Y, Z 等表示，而
其取值常用小写字母 x , y , z 等表示.
简言之, X(e)是定义在样本空间上的实值单值函数.
k 1 2 P{ X k } C 6 3 3 k 6 k
k 0,1,...,6
(2) P{ X 5} P{ X 5} P{ X 6}
13 1 2 1 C 3 3 3 729
F ( x 0 0) lim F ( x ) F ( x 0 ).
x x0
29
随机变量的概率问题可通过分布函数来表示
P{a X b} P{ X b} P{ X a} F (b) F (a )
P{ X c } 1 P{ X c } 1 F (c )
故近似地有
P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1}
＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.
例7 连续抛一枚均匀硬币2n次，求正面出现的 的最可能次数．
24
三 、泊松(Poisson)分布
X ~ ( ),
P{ X k }
k
k!
e k 0,1, 2, ( 0)
随机变量及其分布
§2.1 随机变量 离散型随机变量 §2.2 随机变量的分布函数 §2.3 连续型随机变量及其分布 §2.4 随机变量的函数的分布
1
§2.1 随机变量 量
2.1.1 随机变量的概念
离散型随机变
(1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1, 2, , 6 (2)电话总机在单位时间内接到的呼唤次数 Y 0，1，2，…… (3)某电子元件的使用寿命 T [0, ) (4) 将一枚硬币抛掷两次，观察正面出现的次数 Z
X ~ ( ),
e e
3e 2
2
P{ X 3} 1 P{ X 0} P{ X 1} P{ X 2}
21 2 2 2 2 1 e 2 e e 1 5e 2 0.323 1! 2!
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四、 超几何分布
定义4 称 X 服从参数为N, M, n (M≤N, n≤N)的 超几何分布 ( X ~ h(N, M, n)), 若 X 的分布律为
n k N M n N
C C P{ X k } C
k M
( k 0, 1, , r , r min{ M , n})
注 背景： 若N个元素分为A、B两类，A类中含有 M（M≤N）个元素．任取n个，则这n 个元素中 含有A类元素的个数 X ~ h( N, M, n).
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§2.2 随机变量的分布函数
击, 每人射击一次，各人击中目标的概率依次为
0.7，0.6，0.5, 求目标被击中次数 X 的分布律.
解：设A, B, C分别表示甲、乙、丙击中目标，
X所有可能的取值为0, 1, 2, 3.
P{ X 0} P ( ABC ) 0.3 0.4 0.5 0.06
P{ X 1} P ( ABC ABC ABC ) 0.29
3
用随机变量描述事件
{ X B} {e | X (e ) B}
B——实数集合
{ X x } {e | X (e ) ( , x]}
{ X x } {e | X (e ) x}
随机事件是以静态、孤立的观点研究随机现象， 随机变量是以动态、全面的观点研究随机现象．
10
故X的分布律为
P{X=k}=
k 3 C 2C 3 k
3 C5 k =0,1, 2.
X 0 1 2 P{X=k} 1/10 6/10 3/10
例2 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个设有红绿 信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其它信号灯 为红或绿相互独立,且红绿两种信号灯显示的时间
相等.以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路
P{ X 2} 1 P{ X 0} P{ X 1} 1 (1 p)n np(1 p )n1
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例5 从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各
个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率
都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分 布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率. 解:(1)由题意, X ～ b(6,1/3), 于是X的分布律为:
F ( x ) P{ X x }
xk x
P{ X x
k
k
}
F ( x)
xk x
p
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注意点
对离散随机变量的分布函数应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.
p
k 1
k
1
例4 已知X 的分布律为 X 1 2 P{X=k} 1/2 1/4
1 求(1)a ; 8
性 质 是 决 定 性 的
3 1/8
4 a
3 4
(2) P{X<3}.
15
2.1.3 常见离散型随机变量及其分布律
(0-1)分布 二项分布 泊松分布 超几何分布
16
一、 (0-1)分布
设离散型随机变量X的分布律为
定义1 设X为一个随机变量，对任意实数 x，
称 F(x)=P( X x) 为 X 的分布函数.
基本性质：
(1) F(x) 单调不降；
(2) 有界：0F(x)1，F ( ) lim F ( x ) 0,
x x
F ( ) lim F ( x ) 1;
(3) 右连续.
为离散型分布.
discrete random variable
设离散型随机变量X 的所有可能取值为 x1 , x2 , , 称
P X xk pk (k 1, 2, )
为X的分布律.
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注1 分布律可完整刻画离散型随机变量的概率分布．
利用分布律可求任意事件的概率:
P{ X B }
k : xk B
pk
注2 分布律也可用表格表示： X P{X=xk} x1 x2 … xk … p1 p2 … pk …
取值行 概率行
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例1 盒中有2个白球、3个红球．从中任取3个，
求取得的白球数 X 的分布律． 解 由题意, X 的可能取值为0,1,2. 0 3 C2 C3 P{X=0}= 3 最多取到1个 C5 1 2 白球的概率？ C2 C3 P{X=1}= 3 C5 P{ X 1} 2 1 C 2C 3 P{X=2}= 3 C5
33
例2 已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布律.
4
注 意
（1）X(e)取值的随机性 随机变量X(e)是样本点e的函数，它随着试验
结果不同而取不同的值，因而在试验之前只知道
它可能取值的范围，而不能预知它取什么值而普 通变量的取值事先是可以预知的. （2） X(e)是定义在样本空间上的; 而普通变量是定义在实数轴上的.
5
（3） X(e)取值的统计规律性
k P{ X k } Cn pk (1 p)n k ,
k 0,1,, n
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k Cn pk (1 p)n k 1 k 0
n
全不成功的概率： P{ X 0} (1 p)n
n 全成功的概率： P{ X n} p 至少成功一次的概率：
P{ X 1} 1 P{ X 0} 1 (1 p)n 至少成功两次的概率：
两类随机变量
若随机变量 X 可能取值的个数为有限个
或 可列个，则称 X 为离散型随机变量.
若随机变量 X 的可能取值充满某个区间
[a, b]，则称 X 为连续型随机变量.
前例中的 X, Y, Z 为离散随机变量；
而 T 为连续随机变量.
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2.1.2 离散型随机变量及其分布律
定义1 若随机变量 X 的所有可能取值为有限个或 可列个, 则称X 为离散型随机变量， 其分布称
它取值依赖于试验的结果，而这些结果的出现具
有一定的统计规律性（即确定的概率），因而它 的取值也有一定的统计规律性（即确定的概率）. 而普通变量的取值是确定的. （4） 随机变量的引入，简化了随机事件的表示. 若X 为随机变量，则 {X = k} 、 {a < X b} 、 …… 均为随机事件.
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例1 已知 X 的分布律如下：
X P 解： 1 2 1/2 1/4 3 4 1/8 1/8
x1 1 x 2 2 x3 3 x4 x4
求 X 的分布函数.
0, 1 / 2, F ( x ) 3 / 4, 7 / 8, 1,
31
根据离散型随机变量的分布律，得到分布函数
泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布， 当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参 数=np的泊松分布.
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例 8 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊
松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e－2.
求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率. 解:由题意,
P X 1 P{ X 0} P{ X 1} 3e 2
口的个数,求 X 的概率分布.
11
解 由题意, X 的可能取值为0,1,2,3.
P{X=0} =1/2,
P{X=1} =1/22, P{X=2} =1/23, P{X=3} =1/23, 故X的分布律为 X 0 1 2 3 P{X=k} 1/2 1/4 1/8 1/8
12
例3 甲、乙、丙三人对同一目标各自独立进行射
P{ X k } pk (1 p)1 k (k 0, 1)
则称X服从(0-1)分布 X P 0 1-p 1 p
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二、 二项分布与伯努利试验
定义2 将试验独立重复进行n次，每次试验中，事 件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重伯努 利试验. 若以X表示n重伯努利试验事件A发生的次数，则称 X服从参数为n , p的二项分布. 记作X ~ b(n, p). 分布律为：
C
n
k!
21
n≥20, p≤0.05, 效果颇佳； n≥100, np≤10, 效果更好. 定理1（泊松定理） 设随机变量Xn~b(n, p), (n＝ 0, 1, 2,…), 且n 很大，p很小，记=np，则
P{ X k }
k
k!
e ,
k 0,1, 2,...
22
二项分布的最可能值
5 6
20
5
6
例6 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，
试求其命中次数不少于2的概率.
解: 设X表示400次独立射击中命中的次数，
则X～b(400, 0.02)，故
P{X 2}＝1－P{X＝0}－P {X＝1}
＝1－0.98300－(400)(0.02)(0.98399) =… 当n较大( p较 小)时, k k k (1 p)n k (np) e np p
P{ X a } lim P{ X a } F (a 0)
0
P { X a } P { X a } P { X a } F ( a ) F ( a 0)
P{a X b}, P{a X b}, P{a X b} 类似.
P{ X 2} P ( ABC ABC ABC ) 0.44
13
P{ X 3} P ( ABC ) 0.21
所以X的分布律为 X P{X=k} 0 1 2 3
0.06 0.29 0.44 0.21
14
分布律的基本性质
非负性: 正则性:
pk 0, k 1, 2,
使P{X=k} 取得最大值的 k 称为分布的最可能值. 二项分布的最可能值(或最可能成功次数)为
[( n 1) p], m ( n 1) p和( n 1) p 1,
若(n+1)p不是整数 若(n+1)p是整数
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例6 解二：用泊松定理 取=np＝(400)(0.02)＝8,
Z 0, Z 1,
Z 2.
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定义1 设E为随机试验，S为样本空间，对任一e∈S, 有唯一确定的实数X(e)与之对应，称X(e)为随
机变量.
S
e
X (e )
随机变量常用大写字母 X , Y, Z 等表示，而
其取值常用小写字母 x , y , z 等表示.
简言之, X(e)是定义在样本空间上的实值单值函数.
k 1 2 P{ X k } C 6 3 3 k 6 k
k 0,1,...,6
(2) P{ X 5} P{ X 5} P{ X 6}
13 1 2 1 C 3 3 3 729
F ( x 0 0) lim F ( x ) F ( x 0 ).
x x0
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随机变量的概率问题可通过分布函数来表示
P{a X b} P{ X b} P{ X a} F (b) F (a )
P{ X c } 1 P{ X c } 1 F (c )
故近似地有
P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1}
＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.
例7 连续抛一枚均匀硬币2n次，求正面出现的 的最可能次数．
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三 、泊松(Poisson)分布
X ~ ( ),
P{ X k }
k
k!
e k 0,1, 2, ( 0)