九年级上册承德数学期末试卷测试卷(解析版)

九年级上册承德数学期末试卷测试卷（解析版）
一、选择题
1．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知CD a =，DCA β∠=∠，下列结论错误的是（ ）
A ．BDC β∠=∠
B ．2sin a
AO β
=
C ．tan BC a β=
D ．cos a
BD β
=
2．若将半径为24cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（ ） A ．3cm
B ．6cm
C ．12cm
D ．24cm
3．如图，等腰直角三角形ABC 的腰长为4cm ，动点P 、Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度分别沿A →B 和A →C 的路径向点B 、C 运动，设运动时间为x (单位：s)，四边形PBC Q 的面积为y(单位：cm 2)，则y 与x(0≤x≤4)之间的函数关系可用图象表示为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知二次函数y=-x 2+2mx+2,当x<-2时，y 的值随x 的增大而增大，则实数m （ ） A ．m=-2 B ．m>-2 C ．m≥-2
D ．m≤-2
5．方程(1)(2)0x x --=的解是（ ） A ．1x =
B ．2x =
C ．1x =或2x =
D ．1x =-或2x =-
6．sin30°的值是（ ） A ．
12
B 2
C 3
D ．1
7．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝2（x ﹣1）2+1先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式是（ ） A ．y ＝2（x+1）2+4 B ．y ＝2（x ﹣1）2+4 C ．y ＝2（x+2）2+4 D ．y ＝2（x ﹣3）2+4 8．已知a 是方程x 2+3x ﹣1＝0的根，则代数式a 2+3a+2019的值是( )
A ．2020
B ．﹣2020
C ．2021
D ．﹣2021
9．一元二次方程x 2＝－3x 的解是（ ） A ．x ＝0
B ．x ＝3
C ．x 1＝0，x 2＝3
D ．x 1＝0，x 2＝－3
10．如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，BD 为⊙O 的直径，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADB 的大小为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2
1y ax bx =++的图象经过点A ，B ，对系数a 和b 判断正确的是（ ）
A ．0,0a b >>
B ．0,0a b <<
C ．0,0a b ><
D ．0,0a b <>
12．如图，△ABC 中AB 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0），以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC 的位似比为2：1．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）
A ．12
a -
B ．1
(1)2
a -
+ C ．1
(1)2
a -
- D ．1
(3)2
a -
+ 二、填空题
13．如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，CD CB =.若100C ∠=︒，则ABC ∠的度数为______.
14．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是
_____．
15．当a≤x≤a+1时，函数y=x 2﹣2x+1的最小值为1，则a 的值为_____
． 16．在△ABC 中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则△ABC 外接圆半径为________； 17．如图，在ABCD 中，1
3
BE DF BC ==
，若1BEG S ∆=，则ABF S ∆=__________．
18．如图，平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，
3
2
AD AB =.以A 为圆心，AB 为半径画弧，交AD 于点E ，以D 为圆心，DE 为半径画弧，交CD 于点F .若用扇形ABE 围成一个圆维的侧面，记这个圆锥的底面半径为1r ；若用扇形DEF 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为2r ，则
1
2
r r 的值为______.
19．已知圆锥的侧面积为20πcm 2，母线长为5cm ，则圆锥底面半径为______cm ． 20．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是_________.
21．如图，
O 2ABCD 内接于O ，点E 在ADC 上运动，连接
BE ，作AF ⊥BE ，垂足为F ，连接CF .则CF 长的最小值为________.
22．抛物线228y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值为________． 23．如图，已知PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点．C 是⊙O 上一个动点．且不与A ，B 重合．若∠PAC ＝α，∠ABC ＝β，则α与β的关系是_______．
24．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AB +AD ＝8cm ．当BD 取得最小值时，AC 的最大值为_____cm ．
三、解答题
25．(1)问题提出：苏科版《数学》九年级(上册)习题2.1有这样一道练习题：如图①，BD 、CE 是△ABC 的高，M 是BC 的中点，点B 、C 、D 、E 是否在以点M 为圆心的同一个圆
上？为什么？
在解决此题时，若想要说明“点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心的同一个圆上”，在连接MD 、ME 的基础上，只需证明 ．
(2)初步思考：如图②，BD 、CE 是锐角△ABC 的高，连接DE ．求证：∠ADE ＝∠ABC ，小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明．(请你根据小敏的思路完成证明过程．)
(3)推广运用：如图③，BD 、CE 、AF 是锐角△ABC 的高，三条高的交点G 叫做△ABC 的垂心，连接DE 、EF 、FD ，求证：点G 是△DEF 的内心．
26．已知关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
27．如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC垂足为D，弧AE＝弧AB，BE分别交AD、AC于点F、G．
（1）判断△FAG的形状，并说明理由；
（2）如图②若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若BG＝26，DF＝5，求⊙O的直径BC．
28．京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得
AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH 的长）．
29．如图，在一块长8m、宽6m的矩形绿地内，开辟出一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，已知绿地的面积与花圃的面积相等，求花圃四周绿地的宽.
30．已知二次函数y＝－x2＋bx＋c（b，c为常数）的图象经过点（2，3），（3，0）．（1）则b＝，c＝；
（2）该二次函数图象与y轴的交点坐标为，顶点坐标为；
（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象；
（4）根据图象，当－3＜x＜2时，y的取值范围是．
31．某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满分15分，成绩均记为整数分），并按测试成绩（单位：分）分成四类：A 类（12≤m ≤15），B 类（9≤m ≤11），C 类（6≤m ≤8），D 类（m ≤5）绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽取样本容量为 ，扇形统计图中A 类所对的圆心角是 度； （2）请补全统计图；
（3）若该校九年级男生有300名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C 类的有多少名？
32．如图，抛物线2
65y ax x =+-交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点B 的坐标为
()5,0，直线5y x =-经过点B 、C .
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，求BCP ∆面积S 的最大值并求出此时点P 的坐标；
（3）过点A 的直线交直线BC 于点M ，连接AC ，当直线AM 与直线BC 的一个夹角等
于ACB ∠的3倍时，请直接写出点M 的坐标.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
根据矩形的性质得对角线相等且互相平分，再结合三角函数的定义，逐个计算即可判断. 【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AC=BD,AO=CO,BO=DO, ∠ADC=∠BCD=90° ∴AO=CO=BO=DO, ∴∠OCD=∠ODC=β,
A 、BDC DCA β∠=∠=∠,故A 选项正确；
B 、在Rt △AD
C 中，cos ∠ACD=DC
AC , ∴cos β=2a AO
,∴AO=
2cos a ，故B 选项错误；
C 、在Rt △BC
D 中，tan ∠BDC=
BC DC , ∴ tan β=BC
a
∴BC=atan β，故C 选项正确； D 、在Rt △BCD 中，cos ∠BDC=DC
DB , ∴ cos β=a BD
∴cos a BD β=，故D 选项正确.
故选：B. 【点睛】
本题考查矩形的性质及三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解答此题的关键.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
易得圆锥的母线长为24cm ，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以
2π即为圆锥的底面半径.
【详解】
解：圆锥的侧面展开图的弧长为：2π24224π⨯÷=， ∴圆锥的底面半径为：()24π2π12cm ÷=. 故答案为：C. 【点睛】
本题考查的知识点是圆锥的有关计算，熟记各计算公式是解题的关键.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
先计算出四边形PBCQ 的面积，得到y 与x 的函数关系式，再根据函数解析式确定图象即可. 【详解】 由题意得： 22111
448222
y x x =
⨯⨯-=-+(0≤x≤4)， 可知，抛物线开口向下，关于y 轴对称，顶点为（0，8）， 故选：C. 【点睛】
此题考查二次函数的性质，根据题意列出解析式是解题的关键.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据二次函数的性质，确定抛物线的对称轴及开口方向得出函数的增减性，结合题意确定m 值的范围. 【详解】
解：抛物线的对称轴为直线22
1
m x m
∵10a =-<,抛物线开口向下，
∴当x m < 时，y 的值随x 值的增大而增大， ∵当2x <-时，y 的值随x 值的增大而增大， ∴2m ≥- ， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，由系数的符号特征得出函数性质是解答此题的关键.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
方程左边已经是两个一次因式之积，故可化为两个一次方程，解这两个一元一次方程即得答案. 【详解】
解：∵(1)(2)0x x --=， ∴x －1=0或x －2=0， 解得：1x =或2x =. 故选：C. 【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式解方程的方法是关键.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】 解：sin30°＝12
． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
只需确定原抛物线解析式的顶点坐标平移后的对应点坐标即可． 【详解】
解：原抛物线y ＝2（x ﹣1）2+1的顶点为（1，1），先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，新顶点为（﹣1，4）．即所得抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）． 所以，平移后抛物线的表达式是y ＝2（x+1）2+4， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的平移，抛物线的解析式为顶点式时，求出顶点平移后的对应点坐标，可得平移后抛物线的解析式，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据一元二次方程的解的定义，将a 代入已知方程，即可求得a 2+3a 的值，然后再代入求值即可. 【详解】 解：根据题意，得 a 2+3a ﹣1＝0，
解得：a2+3a＝1，
所以a2+3a+2019＝1+2019＝2020.
故选：A.
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的解，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
先移项，然后利用因式分解法求解．
【详解】
解：（1）x2=-3x，
x2+3x=0，
x（x+3）=0，
解得：x1=0，x2=-3．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．10．A
解析：A
【解析】
【详解】
解：∵四边形ABCO是平行四边形，且OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴AB=OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵BD是⊙O的直径，
∴点B、D、O在同一直线上，
∠AOB=30°
∴∠ADB=1
2
故选A．
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点A，B，画出函数图象的草图，根据开口方向和对称轴即可判断．
【详解】
解：由二次函数y=ax 2+bx+1可知图象经过点（0，1），
∵二次函数y=ax 2+bx+1的图象还经过点A ，B ，
则函数图象如图所示，
抛物线开口向下，
∴a ＜0，，
又对称轴在y 轴右侧，即02b a
-
> ， ∴b ＞0，
故选D 12．D
解析：D
【解析】
【分析】
设点B 的横坐标为x ，然后表示出BC 、B′C 的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．
【详解】
设点B 的横坐标为x ，则B 、C 间的横坐标的长度为﹣1﹣x ，B′、C 间的横坐标的长度为a+1，
∵△ABC 放大到原来的2倍得到△A′B′C ，
∴2（﹣1﹣x ）＝a+1，
解得x ＝﹣12
（a+3）， 故选：D ．
【点睛】
本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
二、填空题
13．50
【解析】
【分析】
连接AC ，根据圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理求出，，计算即可.
【详解】
解：连接AC ，
∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形,
∴
∵DC=CB
∴
∵AB 是直
解析：50
【解析】
【分析】
连接AC ，根据圆内接四边形的性质求出DAB ∠，再利用圆周角定理求出ACB ∠，CAB ∠，计算即可.
【详解】
解：连接AC ，
∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形,
∴DAB 180DCB 80∠∠=︒-=︒
∵DC=CB
∴1CAB 402
DAB ∠=
∠=︒ ∵AB 是直径 ∴ACB 90∠=︒
∴ABC 90CAB 50∠∠=︒-=︒
故答案为：50.
【点睛】
本题考查的知识点有圆的内接四边形的性质以及圆周角定理，熟记知识点是解题的关键. 14．【解析】
【分析】
由正方形的性质易证△ABC ∽△FEC ，可设BC=x ，只需求出BC 即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】
如图所示：设BC ＝x ，则CE ＝1﹣x ，
∵AB∥EF，∴△ABC∽△
解析：1 6
【解析】
【分析】
由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】
如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，
∵AB∥EF，
∴△ABC∽△FEC
∴AB
EF
＝
BC
CE
，
∴1
2
＝
x
1x
解得x＝1
3
，
∴阴影部分面积为：S△ABC＝1
2
×
1
3
×1＝
1
6
，
故答案为：1
6
．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答.
15．2或﹣1
【解析】
【分析】
利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
当y=1时，有x
解析：2或﹣1
【解析】
【分析】
利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
当y=1时，有x2﹣2x+1=1，
解得：x1=0，x2=2．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a=2或a+1=0，
∴a=2或a=﹣1，
故答案为：2或﹣1．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值是解题的关键．
16．5
【解析】
【分析】
先确定外接圆的半径是AB，圆心在AB的中点，再计算AB的长，由此求出外接圆的半径为5.
【详解】
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴△ABC外接圆直径为斜边AB、圆心是AB的
解析：5
【解析】
【分析】
先确定外接圆的半径是AB，圆心在AB的中点，再计算AB的长，由此求出外接圆的半径为5.
【详解】
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴△ABC外接圆直径为斜边AB、圆心是AB的中点，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴2222
AB AC BC，
6810
∴△ABC外接圆半径为5.
故答案为：5.
【点睛】
此题考查勾股定理的运用、三角形外接圆的确定.根据圆周角定理，直角三角形的直角所对的边为直径，即可确定圆的位置及大小.
17．6
【解析】
【分析】
先根据平行四边形的性质证得△BEG ∽△FAG ，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得，根据相似三角形的性质可求得，进而可得答案.
【详解】
解：∵四
解析：6
【解析】
【分析】
先根据平行四边形的性质证得△BEG ∽△FAG ，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得ABG S ∆，根据相似三角形的性质可求得AFG S ∆，进而可得答案.
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC ，AD ∥BC ，
∴△BEG ∽△FAG ， ∵13BE DF BC ==
， ∴12
EG BE AG AF ==， ∴211,24
BEG BEG ABG AFG S S EG BE S AG S AF ∆∆∆∆⎛⎫==== ⎪⎝⎭， ∵1BEG S ∆=，
∴2ABG S ∆=，4AFG S ∆=，
∴6ABF ABG AFG S S S ∆∆∆=+=.
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键. 18．1
【解析】
【分析】
设AB=a ，根据平行四边形的性质分别求出弧长EF 与弧长BE ，即可求出的值.
【详解】
设AB=a ，
∵
∴AD=1.5a ，则DE=0.5a ，
∵平行四边形中，，∴∠D=120
解析：1
【解析】
【分析】
设AB=a ，根据平行四边形的性质分别求出弧长EF 与弧长BE ，即可求出
12r r 的值. 【详解】
设AB=a ， ∵32
AD AB = ∴AD=1.5a ，则DE=0.5a ，
∵平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，∴∠D=120°，
∴l 1弧长EF=
12020.5360
a π⨯⨯⨯=13a π l 2弧长BE=602360
a π⨯⨯⨯=13a π ∴12r r =12l l =1 故答案为：1.
【点睛】
此题主要考查弧长公式，解题的关键是熟知弧长公式及平行四边形的性质.
19．4
【解析】
【分析】
由圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm2，求圆锥侧面展开扇形的弧长，然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解．
【详解】
解：由圆锥的母线长是5cm ，侧面积
解析：4
【解析】
【分析】
由圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm 2，求圆锥侧面展开扇形的弧长，然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解．
【详解】
解：由圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm 2，
根据圆锥的侧面展开扇形的弧长为：
240
5
S
l
r
π
===8π，
再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
可得
8
22
l
r
π
ππ
===4cm．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键．
20．【解析】
【分析】
根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】
∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4××1×2=4，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
解析：4 9
【解析】
【分析】
根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】
∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4×1
2
×1×2=4，
∴飞镖落在阴影部分的概率是4
9
，
故答案为：4
9
．
【点睛】
此题考查几何概率，解题关键在于掌握运算法则.
21．【解析】
【分析】
先求得正方形的边长，取AB的中点G，连接GF，CG，当点C、F、G在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则CF有最小值，此时即可求得这个值.
【详解】
如图，连接OA、OD，取
1
【解析】
【分析】
先求得正方形的边长，取AB 的中点G ，连接GF ，CG ，当点C 、F 、G 在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则CF 有最小值，此时即可求得这个值.
【详解】
如图，连接OA 、OD ，取AB 的中点G ，连接GF ，CG ，
∵ABCD 是圆内接正方形，2OA OD ==
， ∴90AOD ∠=︒，
∴()222222AD OA OD =+=
=， ∵AF ⊥BE ，
∴90AFB ∠=︒，
∴112
GF AB ==， 2222125CG BG BC =+=+=，
当点C 、F 、G 在同一直线上时，CF 有最小值，如下图：
51，
51．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定CF 的最小值是解决本题的关键．
22．8
【解析】
试题分析：由题意可得，即可得到关于m 的方程，解出即可.
由题意得，解得
考点：本题考查的是二次根式的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握当时，抛物线与x 轴有两个公共点；当时，
抛物线与x
解析：8
【解析】 试题分析：由题意可得
，即可得到关于m 的方程，解出即可. 由题意得，解得 考点：本题考查的是二次根式的性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握当
时，抛物线与x 轴有两个公共点；当
时，抛物线与x 轴只有一个公共点；
时，抛物线与x 轴没有公共点. 23．或
【解析】
【分析】
分点C 在优弧AB 上和劣弧AB 上两种情况讨论，根据切线的性质得到∠OAC 的度数，再根据圆周角定理得到∠AOC 的度数，再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.
【详解】
解：当点
解析：αβ=或180αβ+︒＝
【解析】
【分析】
分点C 在优弧AB 上和劣弧AB 上两种情况讨论，根据切线的性质得到∠OAC 的度数，再根据圆周角定理得到∠AOC 的度数，再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.
【详解】
解：当点C 在优弧AB 上时，如图，
连接OA 、OB 、OC ，
∵PA 是⊙O 的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠OAC=α-90°=∠OCA ，
∵∠AOC=2∠ABC=2β，
∴2（α-90°）+2β=180°，
∴180αβ+︒＝
；
当点C 在劣弧AB 上时，如图，
∵PA 是⊙O 的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠OAC= 90°-α=∠OCA ，
∵∠AOC=2∠ABC=2β，
∴2（90°-α）+2β=180°，
∴αβ=.
综上：α与β的关系是180αβ+︒＝
或αβ=. 故答案为：αβ=或180αβ+︒＝
. 【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，利用圆周角定理是解题的关键，同时注意分类讨论.
24．【解析】
【分析】
设AB ＝x ，则AD ＝8﹣x ，由勾股定理可得BD2＝x2+(8﹣x)2，由二次函数的性质可求出AB ＝AD ＝4时，BD 的值最小，根据条件可知A ，B ，C ，D 四点在以BD 为直径的圆上． 解析：2
【解析】
【分析】
设AB ＝x ，则AD ＝8﹣x ，由勾股定理可得BD 2＝x 2+(8﹣x )2，由二次函数的性质可求出AB ＝AD ＝4时，BD 的值最小，根据条件可知A ，B ，C ，D 四点在以BD 为直径的圆上．则AC 为直径时最长，则最大值为2．
【详解】
解：设AB＝x，则AD＝8﹣x，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD2＝x2+(8﹣x)2＝2(x﹣4)2+32．
∴当x＝4时，BD取得最小值为42．
∵A，B，C，D四点在以BD为直径的圆上．如图，
∴AC为直径时取得最大值．
AC的最大值为2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了四边形的对角线问题，掌握勾股定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．三、解答题
25．(1)ME＝MD＝MB＝MC；(2)证明见解析；(3)证明见解析．
【解析】
【分析】
(1)要证四个点在同一圆上，即证明四个点到定点距离相等．
(2)由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即能证ME＝MD＝MB＝MC，得到四边形BCDE为圆内接四边形，故有对角互补．
(3)根据内心定义，需证明DG、EG、FG分别平分∠EDF、∠DEF、∠DFE．由点B、C、D、E 四点共圆，可得同弧所对的圆周角∠CBD＝∠CED．又因为∠BEG＝∠BFG＝90°，根据(2)易证点B、F、G、E也四点共圆，有同弧所对的圆周角∠FBG＝∠FEG，等量代换有∠CED＝∠FEG，同理可证其余两个内角的平分线．
【详解】
解：(1)根据圆的定义可知，当点B、C、D、E到点M距离相等时，即他们在圆M上
故答案为：ME＝MD＝MB＝MC
(2)证明：连接MD、ME
∵BD、CE是△ABC的高
∴BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠BDC＝∠CEB＝90°
∵M为BC的中点
∴ME＝MD＝1
2
BC＝MB＝MC
∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上
∴∠ABC+CDE＝180°
∵∠ADE+∠CDE＝180°
∴∠ADE＝∠ABC
(3)证明：取BG中点N，连接EN、FN ∵CE、AF是△ABC的高
∴∠BEG＝∠BFG＝90°
∴EN＝FN＝1
2
BG＝BN＝NG
∴点B、F、G、E在以点N为圆心的同一个圆上
∴∠FBG＝∠FEG
∵由(2)证得点B、C、D、E在同一个圆上
∴∠FBG＝∠CED
∴∠FEG＝∠CED
同理可证：∠EFG＝∠AFD，∠EDG＝∠FDG
∴点G是△DEF的内心
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边中线定理、中点的性质、三角形内心的判定、圆周角定理、角平分线的定义，综合性较强，解决本题的关键是熟练掌握三角形斜边中线定理、圆周角定理，能够根据题意熟练掌握各个角之间的内在联系.
26．a＜2且a≠1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可．
【详解】
∵关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴a﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）＞0，
解得：a＜2且a≠1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，判别式△=b2-4ac，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根；注意a≠0这一隐含条件，避免漏解．
27．（1）△FAG是等腰三角形，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）BC＝52
3
．
【解析】
【分析】
（1）首先根据圆周角定理及垂直的定义得到∠BAD+∠CAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，从而得到∠BAD＝∠C，然后利用等弧对等角等知识得到AF＝BF，从而证得FA＝FG，判定等腰三角形；
（2）成立，同（1）的证明方法即可得答案；
（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，推出∠BAD＝∠ABG，得到F为BG的中点根据直角三角
形的性质得到AF＝BF＝1
2
BG＝13，求得AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，根据勾股定理得到BD
＝12，AB＝ABC＝∠ABD，∠BAC＝∠ADB＝90°可证明△ABC∽△DBA，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）△FAG等腰三角形；理由如下：
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠AGB＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵AE AB
，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠AGB，
∴FA＝FG，
∴△FAG是等腰三角形．
（2）成立，理由如下：
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠AGB＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵AE AB
=，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠AGB，
∴FA＝FG，
∴△FAG是等腰三角形．
（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，且∠BAD+∠DAC＝90°，∠ABG+∠AGB＝90°，∴∠BAD＝∠ABG，
∴AF＝BF，
∵AF＝FG，
∴BF=GF，即F为BG的中点，
∵△BAG为直角三角形，
∴AF＝BF＝1
2
BG＝13，
∵DF＝5，
∴AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，
∴在Rt△BDF中，BD12，
∴在Rt△BDA中，AB＝
∵∠ABC＝∠ABD，∠BAC＝∠ADB＝90°，∴△ABC∽△DBA，
∴BC
BA
＝
AB
DB
，
∴BC＝52
3
，
∴⊙O的直径BC＝52
3
．
【点睛】
本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质及勾股定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
28．该段运河的河宽为．
【解析】
【分析】
过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形ACH与直角三角形BDE中，设CH=DE=xm，利用锐角三角函数定义表示出AH 与BE，由AH+HE+EB=AB列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】 解：过D 作DE AB ⊥，可得四边形CHED 为矩形，
40HE CD m ∴==，
设CH DE xm ==，
在Rt BDE ∆中，60DBA ∠=︒，
3BE xm ∴=， 在Rt ACH ∆中，30BAC ∠=︒，
3AH xm ∴=，
由160AH HE EB AB m ++==，得到3340160x x ++
=， 解得：303x =，即303CH m =，
则该段运河的河宽为303m ．
【点睛】
考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
29．花圃四周绿地的宽为1 m
【解析】
【分析】
设花圃四周绿地的宽为x 米，根据矩形花圃的面积=矩形绿地面积的一半列方程求解即可．
【详解】
解：设花圃四周绿地的宽为x m ，
由题意，得：（6-2x )(8-2x )=1
2
⨯6×8， 解方程得：x 1=1,x 2=6(舍），
答：花圃四周绿地的宽为1 m ．
【点睛】 本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用，根据题意找出题目中的等量关系式是解此题的关键．
30．（1）b =2，c =3；（2）（0，3），（1，4）（3）见解析；（4）－12＜y ≤4
【解析】
【分析】
（1）将点（2，3），（3，0）的坐标直接代入y ＝－x 2＋bx ＋c 即可；
（2）由（1）可得解析式，将二次函数的解析式华为顶点式即可;
（3）根据二次函数的定点、对称轴及所过的点画出图象即可;
（4）直接由图象可得出y 的取值范围.
【详解】
（1）解：把点（2，3），（3，0）的坐标直接代入y ＝－x 2＋bx ＋c 得
3=-4+2b+c 0=-9+3b+c ⎧⎨⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩
， 故答案为:b=2，c=3;
（2）解：令x=0,c=3, 二次函数图像与y 轴的交点坐标为则（0，3），
二次函数解析式为y=y ＝-x 2＋2x ＋3=-(x-1)²+4,则顶点坐标为(1,4).
（3）解：如图所示
…
（4）解：根据图像，当－3＜x ＜2时，y 的取值范围是:－12＜y ≤4.
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的图象与性质．
31．（1）50，72；（2）作图见解析；（3）90．
【解析】
【分析】
（1）用A 类学生的人数除以A 类学生的人数所占的百分比即可得到抽查的学生数，从而可以求得样本容量，由扇形统计图可以求得扇形圆心角的度数；
（2）根据统计图可以求得C 类学生数和C 类与D 类所占的百分比，从而可以将统计图补充完整；
（3）用该校九年级男生的人数乘以该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C 类的的学生所占得百分比即可得答案．
【详解】
（1）由题意可得，
抽取的学生数为：10÷20%=50，
扇形统计图中A 类所对的圆心角是：360°×20%=72°，
（2）C 类学生数为：50﹣10﹣22﹣3=15，
C 类占抽取样本的百分比为：15÷50×100%=30%，
D 类占抽取样本的百分比为：3÷50×100%=6%，
补全的统计图如所示，
（3）300×30%=90（名）
即该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C 类的有90名．
【点睛】
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
32．（1）265y x x =-+-；（2）1258S =，点P 坐标为515,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
；（3）点M 的坐标为7837,2323⎛⎫- ⎪⎝⎭， 6055,2323⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】
（1）利用B （5，0）用待定系数法求抛物线解析式；
（2）作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，根据12
PBC S PQ OB ∆=⋅求解即可； （3）作∠CAN=∠NAM 1=∠ACB ，则∠A M 1B=3∠ACB, 则∆ NAM 1∽∆ A C M 1,通过相似的性质来求点M 1的坐标；作AD ⊥BC 于D,作M 1关于AD 的对称点M 2, 则∠A M 2C=3∠ACB,根据对称点坐标特点可求M 2的坐标.
【详解】
（1）把()5,0B 代入265y ax x =+-得
253050a +-=
1a =-.
∴265y x x =-+-；
（2）作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，设点()
2,65P x x x -+-，则。