河南省部分省示范性高中数列多选题试题含答案

河南省部分省示范性高中数列多选题试题含答案
一、数列多选题
1．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，201920212020S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数
列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，则下列结论中正确的是（ ） A ．20200a >
B ．20210a <
C ．2019202020212022a a a a ⋅>⋅
D ．2019n =时，n T 取得最大值
【答案】ABC 【分析】
根据题设条件，得到2021202020212020201920200,0S S a S S a -=<-=>，进而求得
201920220a a >->，20192020a a >20212022a a ，再结合“裂项法”求得
12121112n n n T d a a a a ++⎫
⎛=
-⎪
⎝⎭
，结合0d <，即可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
因为201920212020S S S <<，可得2021202020210S S a -=<，2020201920200S S a -=>，
20212019S S -=202120200a a +>，
即202020210a a >->，202020210a d a d ->-->，即201920220a a >->， 所以20192020a a >20212022a a ，0d <，即数列{}n a 递减， 且10a >，20a >，…，20200a >，20210a <， 又由12n n n n b a a a ++=，可得1211n n n n b a a a ++==1
121112n n n n d a a a a +++⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则
122323341121211111111122n n n n n T d a a a a a a a a a a a a d a a +++⎛⎫⎛=
-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪
⎝⎝⎭121n n a a ++⎫
⎪⎭
，由0d <，要使n T 取最大值，则12
1211n n a a a a ++⎛⎫
- ⎪⎝⎭取得最小值， 显然
12
1
0n n a a ++>，而23a a >34201920202021202220222023a a a a a a a a >⋅⋅⋅>><<⋅⋅⋅， 所以当2020n =时，121211n n a a a a ++⎛⎫
- ⎪⎝⎭
取得最小值. 综上可得，正确的选项为ABC. 故选：ABC.
本题主要考查了数列的综合应用，其中解答中熟练应用通项n a 和n S 的关系式，数列的“裂项法”求和，以及数列的单调性进行求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列说法正确的是（ ） A ．若2
1,n S n =-则{}n a 是等差数列
B ．若21,n
n S =-则{}n a 是等比数列
C ．若{}n a 是等差数列，则995099S a =
D ．若{}n a 是等比数列，且10,0,a q >>则2
21212n n n S S S -+⋅>
【答案】BC 【分析】
由n S 求n a ，根据通项公式可判断AB 是否正确，由等差数列的性质可判断C ，取1n =时，结合等比数列求和公式作差比较13S S ⋅与2
2S 大小即可判断D. 【详解】
对于A 选项，若2
1n S n =-，当2n ≥时，21n a n =-，10a =不满足21n a n =-，故A
错误；
对于B 选项，若21n
n S =-，则1112,2
1,1
n n n n S S n a S n --⎧-=≥=⎨==⎩，由于11a =满足
12n n a -=，所以{}n a 是等比数列，故B 正确；
对于C 选项，若{}n a 是等差数列，则()
199995099992
a a S a +=
=，故C 正确. 对于D 选项，当1n =时，(
)()2
2
2
2
22132111110S S S a q q
a q a q ⋅-=++-+=-<，故当
1n =时不等式不等式，故2
21212n n n S S S -+⋅>不成立，所以D 错误.
故选：BC 【点睛】
本题考查数列的前n 项和为n S 与n a 之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前n 项和为n S 的公式等，考查运算求解能力.本题D 选项解题的关键将问题特殊化，讨论1n =时，
13S S ⋅与22S 大小情况.此外还需注意一下公式：11,2
,1
n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩；若{}n a 是等差数
列，则()2121n n S n a -=-.
3．（多选题）数列{}n a 满足(
)2
*
1n n n a a a n N
+=-+∈，1
10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则以下说法正确的
A ．10n n a a +<<
B ．2222
1231n a a a a a +++⋅⋅⋅+<
C ．对任意正数b ，都存在正整数m 使得
1231111
1111m
b a a a a +++⋅⋅⋅+>----成立 D ．1
1
n a n <
+ 【答案】ABCD 【分析】
对于A ，结合二次函数的特点可确定正误；
对于B ，将原式化简为111n a a a +-<，由10n a +>得到结果；
对于C ，结合1a 范围和A 中结论可确定
12111
111n
n a a a ++⋅⋅⋅+>---，由此判断得到结果；
对于D ，利用数学归纳法可证得结论. 【详解】
对于A ，2
2
11124n n n n a a a a +⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝
⎭，若10,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则110,4n a +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
又110,2a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，可知0n a >，10n a +>，
又2
10n n n a a a +-=-<，10n n a a +∴<<，A 正确； 对于B ，由已知得：2
1n n n a a a +=-，
()()()222
1212231111n n n n a a a a a a a a a a a a ++∴++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-<，B 正确；
对于C ，由110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭及A 中结论得：1112n a <-<，1121n a <<-，
12111
111n
n a a a ∴
++⋅⋅⋅+>---，显然对任意的正数b ，在在正整数m ，使得m b >，此时
1231111
1111m
b a a a a +++⋅⋅⋅+>----成立，C 正确； 对于D ，（i ）当1n =时，由已知知：11
2
a <成立， （ii ）假设当(
)n k k N
*
=∈时，1
1
n
a
n <
+成立， 则2
2
2
111112411
n n n n a a a a n n +⎛⎫⎛⎫=-+=--+<-+ ⎪ ⎪
++⎝⎭⎝⎭，
又()
()()2
21
111012121n n n n n -
+
-=-<+++++，即()2
11112
1n n n -+<+++， 11
2
n a n +∴<
+， 综上所述：当n *∈N 时，11
2
n a n +<+，D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】
关键点点睛：本题考查数列与不等式的综合应用问题，关键在于能够熟练应用不等式的性质与函数的性质进行化简辨析，同时对于数列中的不等式证明问题，可采用数学归纳法进行证明.
4．下列说法正确的是（ ）
A ．若{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…仍为等差数列
()k N *
∈
B ．若{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，
仍为等比数列
()k N *
∈
C ．若{}n a 为等差数列，10a >，0d <，则前n 项和n S 有最大值
D ．若数列{}n a 满足2
1159,4n n n a a a a +=-+=，则
1211
1
122
2
n a a a +++
<--- 【答案】ACD 【分析】
根据等差数列的定义，可判定A 正确；当1q =-时，取2k =，得到20S =，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；化简得到1111
233
n n n a a a +=----，利用裂项法，可判定D 正确. 【详解】
对于A 中，设数列{}n a 的公差为d ， 因为12k k S a a a =++
+，2122k k k k k S S a a a ++-=++
+，
3221223k k k k k S S a a a ++-=+++，
，
可得()()()()22322k k k k k k k S S S S S S S k d k N *--=---==∈，
所以k S ，2k k S S -，32k k S S -，
构成等差数列，故A 正确；
对于B 中，设数列{}n a 的公比为()0q q ≠，
当1q =-时，取2k =，此时2120S a a =+=，此时不成等比数列，故B 错误；
对于C 中，当10a >，0d <时，等差数列为递减数列， 此时所有正数项的和为n S 的最大值，故C 正确；
对于D 中，由2
159n n
n a a a +=-+，可得()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-， 所以2n a ≠或3n a ≠， 则
()()
111
113
2332n n n n n a a a a a +=
=
------，所以1111
233
n n n a a a +=----， 所以121223111
11111
11
2223333
33
n n n a a a a a a a a a ++++
=-+-++
---------- 111111
1333
n n a a a ++=
-=----. 因为14a =，所以2
159n n
n n a a a a +=-+>，可得14n a +>，所以11113
n a +-<-，故D 正确.
故选：ACD 【点睛】
方法点睛：由2
159n n
n a a a +=-+，得到()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-，进而得出1111
233
n n n a a a +=----，结合“裂项法”求解是解答本题的难点和关键.
5．在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，
2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）
A ．2q
B ．数列{}2n S +是等比数列
C ．8
510S =
D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列
【答案】ABC 【分析】 计算可得2q
，故选项A 正确；8
510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数
列，故选项,B C 正确；lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 【详解】
{}n a 为递增的等比数列，由142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩得231423
32,12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩
解得234,8a a =⎧⎨
=⎩或23
8,
4a a =⎧⎨=⎩， ∵{}n a 为递增数列，
∴234,
8
a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 正确； ∴2n
n a =，(
)1
2122
212
n
n n
S +⨯-==--，
∴9822510S =-=，1
22n n S ++=，
∴数列{}2n S +是等比数列，故选项B 正确；
所以122n n S +=-,则9
822510S =-=，故选项C 正确.
又lg 2lg 2lg n
n n a ==⋅，
∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：ABC. 【点睛】
方法点睛：证明数列为等差（等比）数列常用的方法有： （1）定义法； （2）通项公式法 （3）等差（等比）中项法
（4）等差（等比）的前n 项和的公式法.要根据已知灵活选择方法证明.
6．已知数列{}n a ，下列结论正确的有（ ） A ．若12a ＝，11n n a a n +++＝，则20211a ＝.
B ．若11132n n a a a ++＝，＝，则71457a =
C ．若1
2
n
n S =3+
，则数列{}n a 是等比数列 D ．若11
212n n n a a a a ++＝，＝()*n N ∈，则15215
a ＝ 【答案】AB 【分析】
直接利用叠加法可判断选项A ，从而判断，利用构造新数列可求出B,D 中数列的通项公式，可判断，选项C 求出数列的前3项从而可判断. 【详解】
选项A. 由11n n a a n +=++，即11n n a a n +-=+ 则()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-+
+-+
20191822211=+++
++=
故A 正确.
选项B. 由132n n a a +=+，得()1311n n a a +=++，
所以数列{}1n a +是以112a +=为首项，3为公比的等比数列.
则1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-，所以6
72311457a =⨯-=，故B 正确.
选项C. 由12n
n S =3+
，可得当1n =时，11722
a =+=3 当2n =时，得2211193622a S S ⎛
⎫⎛⎫=-=+
-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 当3n =时，得332112791822a S S ⎛⎫⎛⎫
=-=+
-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 显然2
213a a a ≠，所以数列{}n a 不是等比数列，故C 错误. 选项D. 由122n
n n a a a +=
+，可得
11112
n n a a +-= 所以数列1n a ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
是以1为首项，12为公差的等差数列. 所以
()1111122n n n a +=+-=，则1511826
a ==，即1518
a =，故D 错误. 故选：AB 【点睛】
关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，解答的关键是掌握求数列通项公式的常见方法，由叠加法可得
()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+，利用构造新数列
()1311n n a a +=++，1111
2
n n a a +-=解决问题，属于中档题.
7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a >
B ．数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是递增数列 C ．0n S <时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中最小项为第7项
【答案】ACD 【分析】 由已知得()
()612112712+12+2
2
0a a a a S ==
>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知
得出24
37
d -
<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，
0n a <，又
()1112+3n a n d =-，可得出1n
a 在1,6n n N
上单调递增，1
n
a 在
7n n
N ，
上单调递增，可判断B ；由
()
313117
713+12
2
03213a a a S a ⨯=
=<=
，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】
由已知得311+212,122d a a a d ===-，()
()612112712+12+2
2
0a a a a S =
=
>，又
70a <，所以6>0a ，故A 正确；
由716167
1+612+40
+512+3>0+2+1124+7>0
a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪
==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，
当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()11
12+3n a n d =-，所以[]1,6n ∈时，1>0n
a ，7n ≥时，1
0n a <，
所以1
n
a 在1,6n
n N
上单调递增，1
n
a 在7n
n N
，上单调递增，所
以数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
不是递增数列，故B 不正确；
由于()
313117
713+12
2
03213a a a S a ⨯=
=<=
，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；
当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]
1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，
0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，
0n
n
S a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中最小项为第7项，故D 正确；
【点睛】
本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.
8．已知等比数列{}n a 满足11a =，其前n 项和()
*
1,0n n S pa r n N p +=+∈>．（ ）
A ．数列{}n a 的公比为p
B ．数列{}n a 为递增数列
C ．1r p =--
D ．当1
4p r
-
取最小值时，13-=n n a 【答案】BD 【分析】
先结合已知条件，利用1n n n a S S -=-找到,p q 的关系，由1
1
p q =
-判断选项A 错误，由11p
q p
+=
>判断B 正确，利用{}n a 通项公式和前n 项和公式代入已知式计算r p =-判断C 错误，将r p =-代入1
4p r
-，利用基本不等式求最值及取等号条件，判断D 正确. 【详解】
依题意，等比数列{}n a ，11a =，其前n 项和()
*
1,0n n S pa r n N p +=+∈>，设公比是
q ，
2n ≥时，11
n n n n S pa r
S pa r +-=+⎧⎨
=+⎩，作差得，1n n n pa a pa +-=，即()11n n p a pa +=+，故11n n a p a p ++=，即1p q p +=，即11
p q =-. 选项A 中，若公比为p ，则1
1p q q =
=-，即210q q --=
，即12
p q +==时，数列{}n a 的公比为p ，否则数列{}n a 的公比不为p ，故错误；
选项B 中，由0p >知，1111p q p p +==+>，故111
111n n n n a a q q p ---=⋅==⎛⎫+ ⎪⎝
⎭是递增
数列，故正确；
选项C 中，由1
n n S pa r +=+，11n n q S q
-=-，11p q =-，1n
n a q +=知， 11111
11n n n n q p q q a q
r S p q +--=-⋅=-=---=，故C 错误；
选项D 中， 因为r p =-，故(
)1111444p p p r p p -
=-=+≥=⋅-，当且仅当14p p =
，即12p =时等号成立，1
4p r
-取得最小值1，此时
13p q p +==，113n n n a q --==，故正确.
故选：BD. 【点睛】 方法点睛：
由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11
,2
,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解；
2、当两个正数,a b
的积为定值，要求这两个正数的和式的最值时，可以使用基本不等式
a b +≥，当且仅当a b =取等号.
二、平面向量多选题
9．在OAB 中，4O OC A =，2O OD B =，AD 、BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC 、BD 于E 、F 两点，若OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则λμ+的不可能取到的值为（ ） A
．
27
+ B
．
37
+ C
．
37
+ D
．
47
+ 【答案】ABC 【分析】
先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线
(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.计算出13
77
OM OA OB =+，设
OM xOE yOF =+，结合OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>可得出
13177x y λμ+=
+=，然后将λμ+与13
77λμ
+相乘，展开后利用基本不等式求出λμ+的最小值，即可得出结论. 【详解】
先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线
(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.
充分性：若E 、F 、M 三点共线，则存在k ∈R ，使得=EM k EF ，即
()
OM OE k OF OE -=-，所以，()1OM k OE kOF =-+，
因为(),OM xOE yOF x y R =+∈，则()11x y k k +=-+=，充分性成立； 必要性：因为(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=，
所以，()1OM xOE x OF =+-，即()
OM OF x OE OF -=-，所以，FM xFE =， 所以，E 、F 、M 三点共线.
本题中，取OC 的中点N ，连接DN ，如下图所示：
D 、N 分别为OB 、OC 的中点，则DN //BC 且12DN BC =
， 14OC OA =，67AC AN ∴=，即67
AC AN =， //BC DN ，即//CM DN ，67AM AC AD AN ∴==，67
AM AD ∴=， 12
AD OD OA OB OA =-=-，661137727
7OM OA AM OA AD OA OB OA OA OB ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭， E 、F 、M 三点共线，O 为直线EF 外一点，则(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=.
OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则OM xOE yOF xOA yOB λμ=+=+，
所以，1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得173
7x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，由1x y +=可得13177λμ+=， 由基本不等式可得()1313134247777μλμλλμλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭437+=. 当且仅当3μλ=时，等号成立.
所以，λμ+423+ABC 选项均不满足423λμ++≥. 故选：ABC.
【点睛】 关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：
（1）利用三点共线的结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.利用该结论推出13177λμ
+=；
（2）利用基本不等式求出λμ+的最小值.
10．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D 是边AC 上的点，且2AD DC =，E 是AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，那么（ ）
A ．0OE OC +=
B ．1AB CE ⋅=-
C ．32OA OB OC ++=
D ．132
DE = 【答案】AC 【分析】 建立平面直角坐标系，结合线段位置关系以及坐标形式下模长的计算公式逐项分析.
【详解】
建立平面直角坐标系如下图所示：取BD 中点M ，连接ME ，
因为,M E 为,BD BA 中点，所以1//,2ME AD ME AD =，又因为12CD AD =， 所以//,ME CD ME CD =，所以易知EOM COD ≅，所以O 为CE 中点， A ．因为O 为CE 中点，所以0OE OC +=成立，故正确；
B ．因为E 为AB 中点，所以AB CE ，所以0AB CE ⋅=，故错误；
C ．因为()()(3,1,0,1,0,3O A B C ⎛- ⎝⎭，所以
33331,1,0,0,2222OA OB OC ⎛⎛⎫⎛⎛++=-+--+=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以32
OA OB OC ++=，故正确； D ．因为()123,,0,033D E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以123,33DE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，所以133DE =，故错误， 故选：AC.
【点睛】
关键点点睛：对于规则的平面图形（如正三角形、矩形、菱形等）中的平面向量的数量积和模长问题，采用坐标法计算有时会更加方便.。