江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷(江西师大附中使用)高三理科数学分析

XX省XX市2021 -2021学年度第一学期期末试卷
〔XX师大附中使用〕高三理科数学分析
一、整体解读
试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的根底知识入手，多角度、多层次地考察了学生的数
学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足根底，先易后难，难易适中，强调应用，不
偏不怪，到达了“考根底、考能力、考素质〞的目标。

试卷所涉及的知识内容都在考试大纲
的X围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，表达了“重点知识重点考察〞的原那么。

1 ．回归教材，注重根底
试卷遵循了考察根底知识为主体的原那么，尤其是考试说明中的大局部知识点均有涉及，其中
应用题与抗战胜利70 周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学
的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。

2．适当设置题目难度与区分度
选择题第 12 题和填空题第16 题以及解答题的第21 题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学根本功，而且还要掌握必
须的数学思想与方法，否那么在有限的时间内，很难完成。

3．布局合理，考察全面，着重数学方法和数学思想的考察
在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进展了反复考
查。

包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。

这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。

二、亮点试题分析
1 ．【试卷原题】 11. A, B,C是单位圆上互不一样的三点，且满足AB AC ，那么ABAC
的最小值为〔〕
A．B．C．1 4 1 2 3 4
D ．1
【考察方向】 此题主要考察了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识， 是向量与三角的
典型综合题。

解法较多，属于较难题，得分率较低。

【易错点】 1 ．不能正确用OA ，OB ，OC 表示其它向量。

2 ．找不出
OB 与OA 的夹角和OB 与OC 的夹角的倍数关系。

【解题思路】 1 ．把向量用OA ，OB ，OC 表示出来。

2 ．把求最值问题转化为三角函数的最值求解。

【解析】设单位圆的圆心为
O ，由AB
AC 得，(OB
OA) 2 (OC OA)2，因为
OA OB OC
1 ，所以有，OB OA OC OA 那么
AB AC (OB OA) (OC OA)
OB OC OB OA OA OC OA 2
OB OC
2OB OA 1
设 OB 与 OA 的夹角为 ，那么 OB 与 OC 的夹角为
2
所以， AB
AC cos2
2cos
1 2(cos
1)2 1
1
2
2
即， AB AC 的最小值为
，应选 B 。

2
【举一反三】
【相似较难试题】 【2021 高考XX ，理
14 】在等腰梯形ABCD 中,
AB/ / DC, AB 2, BC 1,AB C 60 ,动点 E 和 F 分别在线段
BC 和DC 上 ,且, BE BC, DF 1 DC , 那么 AE AF 的最小值为
. 9
【试题分析】此题主要考察向量的几何运算、向量的数量积与根本不等式.运用向量的几何
运算求 AE, AF ，表达了数形结合的根本思想，
再运用向量数量积的定义计算
AE AF ，体
现了数学定义的运用，再利用根本不等式求最小值，表达了数学知识的综合应用能力 .是思
维能力与计算能力的综合表达 .
【答案】
29
18
1 DC, DC
1
AB ，
【解析】因为 DF
9
2
CF DF DC
1
DC DC
19DC
1 9 AB ，
9918
AE
AB BE
AB
BC ，
AF
AB BC
CF
AB
1 9
1 9 BC ，
BC
AB
AB
18
18
AE
AF
AB
BC 1 9 BC
1 9
2 2
1
1 9
AB 18 AB
BC
AB BC
18
18
1 9
4
19 9
1
2 1 17 2 1 17 29 18
2
cos120
2
2
9 2
18
18
18
9
18
当且仅当
2 1 即 2
时AE AF 的最小值为
29
.
9
2
3
18
2 ．【试卷原题】 20. 〔本小题总分
值 12 分〕抛物线
C 的焦点 F 1,0 ，其准线与 x 轴的
交点为 K ，过点 K 的直线 l 与C 交于 A, B 两点，点 A 关于x 轴的对称点为 D ．
〔Ⅰ〕证明：点 F 在直线BD 上； 〔Ⅱ〕设 FA FB
8 ，求 BDK 内切圆M 的方程.
9
【考察方向】 此题主要考察抛物线的标准方程和性质， 直线与抛物线的位置关系， 圆的标准
方程， 韦达定理， 点到直线距离公式等知识， 考察了解析几何设而不求和化归与转化的数学
思想方法，是直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题。

【易错点】 1 ．设直线l 的方程为y m(x 1) ，致使解法不严密。

2 ．不能正确运用韦达定理，设而不求，使得运算繁琐，最后得不到正确答案。

【解题思路】 1 ．设出点的坐标，列出方程。

2 ．利用韦达定理，设而不求，简化运算过程。

3 ．根据圆的性质，巧用点到直线的距离公式求解。

【解析】〔Ⅰ〕由题可知K
1,0 ，抛物线的方程为
y 2 4x
那么可设直
线 l 的方程为 x my 1 ，A
x 1, y 1 , B x 2 , y 2 , D x 1 , y 1 ，
故
x y 2 my 1 整理得 y 2 4my 4 0 ，故 y 1 y 2 4m
4x
y 1 y 2 4
那么直线 BD 的方程为y y 2
y 2 y
1 x x
2 即 y
y 2
4 x y 22
x 2 x 1
y 2
y 1
4
令 y
0，得 x
y 1 y 2 1，所以F 1,0 在直线 BD 上.
4
y 1 y 2 4m
x 2
my 1 1
my 2
1
4m 2 2 ，
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知
y 1 y 2 4
，所以 x 1
x 1x 2
my 1 1 my 1 1
1
又 FA x 1 1,y 1 ， FB x 2 1, y 2
故 FA FB x 1 1 x 2 1 y 1 y 2 x 1x 2
x 1 x 2
5 8 4m 2，
那么 8
4m 2
8
, m
4 ，故直线 l 的方程为 3x 4 y 3 0 或 3x 4 y
3 0
9
3
y 2 y 1
y 2 2
4y 1 y 2
16m
2
16
4 7
y 1
，
3
故直线 BD 的方程 3x 7 y 3 0 或 3x 7 y 3
0，又 KF 为
BKD 的平分线，
故可设圆心 M
t ,0
1 t 1 ， M t,0
到直线 l 及 BD 的距离分别为 3 t 1 3 t 1
5 ,
4 -------------10 分
3 t 1 3 t 1
得 t
1 9
3 t 1
2
由
4
或 t
〔舍去〕 .故圆M 的半径为r 5
3
5
9
2
所以圆 M 的方程为
x 1
y 2 4
9
9 【举一反三】
【相似较难试题】 【2021 高考全国， 22 】 抛物线 C ：y 2
＝ 2px(p>0)
的焦点为 F ，直线
5
y ＝ 4 与 y 轴的交点为 P ，与 C 的交点为 Q ，且 |QF| ＝ |PQ|.
4
〔1 〕求 C 的方程；
〔2 〕过 F 的直线 l 与 C 相交于 A ，B 两点，假设 AB 的垂直平分线l ′与C 相交于 M ，N
且 A ， M ， B ， N 四点在同一圆上，求l 的方程．
【试题分析】此题主要考察求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用
理,弦长公式的应用 ,解法及所涉及的知识和上题根本一样.
两点，
,韦达定
【答案】〔1 〕y 2＝ 4x.
〔2 〕x － y － 1＝ 0 或 x ＋ y － 1 ＝ 0.
8
【解析】〔1 〕设 Q(x 0， 4) ，代入 y 2
＝ 2px ，得 x 0＝ ，
p 8 p p 8
所以 |PQ| ＝ ， |QF| ＝ ＋ x 0＝ 2 ＋ .
p 2 p
p 8 5 8
由题设得 ＋ p ＝ ×，解得 p ＝－ 2( 舍去 )或 p ＝ 2，
2 4 p 所以 C 的方程为 y 2＝ 4x.
〔2 〕依题意知 l 与坐标轴不垂直，故可设
l 的方程为 x ＝my ＋ 1(m ≠ 0) ．
代入 y 2＝4x ，得 y 2－4my － 4＝ 0.
设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，那
么 y 1＋ y 2＝ 4m ， y 1y 2＝－ 4.
故线段的 AB 的中点为D(2m 2＋ 1 ， 2m) ， |AB| ＝m 2＋ 1|y 1－ y 2 |＝ 4(m 2＋ 1) ． 又直线 l ′的斜率为－m ，
1
所以 l ′的方程为x ＝－y ＋2m 2＋ 3.
m
将上式代入y 2＝ 4x ，
4
并整理得 y 2＋y － 4(2m 2＋ 3) ＝0.
m
设M(x 3， y3) ，N(x 4，y 4 )，
那么 y3＋ y4＝－4
＝－ 4(2m 2＋ 3) ．
， y3y4
m
2
＋ 2m 2＋ 3 ，－
2
故线段 MN的中点为 E，
m 2m
14〔 m 2＋ 1 〕 2m 2＋ 1
|MN| ＝ 1 ＋m2 |y 3－y 4|＝m 2.
由于线段 MN垂直平分线段AB ，
1
故 A ， M ， B， N 四点在同一圆上等价于 |AE| ＝ |BE|＝ |MN| ，
2
11
2 ，即
从而 |AB| 2＋ |DE| 2＝ |MN|
44
222
＋ 22
4(m 2＋ 1) 2＋ 2m ＋＋
m 2＝
m
4 〔 m 2＋1〕2〔 2m 2＋ 1〕
m 4
，
化简得 m 2－1 ＝0 ，解得 m ＝ 1 或 m ＝－ 1 ，
故所求直线l 的方程为x－ y－ 1 ＝ 0 或 x＋ y－ 1 ＝ 0.
三、考卷比较
本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较，根本相似，具体表现在以下方面：
1.对学生的考察要求上完全一致。

即在考察根底知识的同时，注重考察能力的原那么，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考察了考生对中学数学的根底知
识、根本技能的掌握程度，又考察了对数学思想方法和数学本质的理解水平，符合考试大纲
所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度〞的原那么．
2. 试题构造形式大体一样，即选择题12 个，每题 5 分，填空题 4 个，每题 5 分，解答
题8 个〔必做题 5 个〕，其中第 22 ， 23 ， 24 题是三选一题。

题型分值完全一样。

选择题、
填空题考察了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线
性规划等知识点，大局部属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．解答题中仍涵盖了数
列，三角函数，立体何，解析几何，导数等重点内容。

3.在考察X围上略有不同，如本试卷第 3 题，是一个积分题，尽管简单，但全国卷已经不考
察了。

四、本考试卷考点分析表〔考点 / 知识点，难易程度、分值、解题方
式、易错点、是否区分度题〕
题号*考点* 试题难度*分值 * 解题方式* 易错率区分度
1复数的根本概念、复数代数形式
易5直接计算25%0.85的混合运算
2函数 y=Asin 〔ωx+ φ〕的图象
中5数形结合65%0.60变换、函数的图象与图象变化
3定积分、定积分的计算易5正面解30%0.75 4条件语句、选择构造中5正面解55%0.50
5裂项相消法求和、等差数列与等
难5归纳推理85%0.40比数列的综合
6其它不等式的解法、不等式的综
难5
数形结合
80%0.45合应用综合法
棱柱、棱锥、棱台的体积、简单
7空间图形的三视图、由三视图还中5数形结合85%0.40原实物图
求二项展开式的指定项或指定
运用公式
8项的系数、等差数列的根本运中570%0.45
计算
算、数列与其它知识的综合问题
不等式恒成立问题、不等式与函
化归与转
9中5化70%0.50数的综合问题
综合法
双曲线的几何性质、直线与双曲数形结合
10线的位置关系、圆锥曲线中的X难5代数运算85%0.40围、最值问题演绎推理
向量在几何中的应用、平面向量
数形结合
11数量积的运算、向量的线性运算难588%0.35
分析法
性质及几何意义
指数函数综合题、指数函数单调数形结合
12性的应用、指数型复合函数的性难5综合法90%0.30质及应用分析法
13导数的几何意义易5正面解30%0.70
两角和与差的正弦函数、同角三
14角函数根本关系的运用、三角函中5正面解70%0.40数的恒等变换及化简求值
古典概型的概率、点与圆的位置
化归与转
15难5化85%0.35关系、两条直线平行的判定
代数运算
数形结合
向量在几何中的应用、平面向量
化归与转
16难5化90%0.30的综合题、三角形中的几何计算
建坐标系
法
等差数列与等比数列的综合、等
直接解法
差数列的性质及应用、等比数列
数形结合
17的性质及应用、函数 y＝Asin( ω易1230%0.75
逻辑推理
x＋φ)的应用、两角和与差的正
切函数
离散型随机变量的分布列的性
18质、概率的应用、离散型随机变中12分析法70%0.55量及其分布列、均值与方差代数计算
平面与平面垂直的判定与性质、
数形结合
19直线与平面垂直的判定与性质、中1270%0.45
逻辑推理
线面角和二面角的求法
抛物线的定义及应用、直线、圆数形结合
20及圆锥曲线的交汇问题、圆方程难12等价变换83%0.40的综合应用代数运算
导数的运算、不等式恒成立问分析法
21题、函数的最值及其几何意义、难12数形结合97%0.26不等式与函数的综合问题演绎推理
22圆的切线的性质定理的证明、与
中10
数形结合
70%0.45圆有关的比例线段逻辑推理
23直线的参数方程、简单曲线的极
中10
数形结合
70%0.40坐标方程等价转化
24绝对值不等式、不等式的根本性
中10分析法70%0.45质。