高中数学 第2章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理优化训练 苏教版必修4(2021年整理)

2。

3.1 平面向量基本定理
5分钟训练（预习类训练，可用于课前） 1.
如图2-3—1所示，
、
不共线，
=t
(t∈R ），用
、
表示。

图2—3—1
解:
、不共线，则、可作基底，据定理有且只有一组实数λ1
、λ2
，使=λ1
+λ2
.
2。

向量、、的终点A 、B 、C 在一条直线上，且=—3。

设=p ，=q ,=r ，则下列等式成立的是( ）
A 。

r =—p +q
B 。

r =-p +2q
C.r =p —q D 。

r =-q +2p
思路解析:由
=—3
，得
—），即2=-
+3
,
∴
=
r =-p +q。

答案:A
10分钟训练(强化类训练,可用于课中） 1.设一直线上三点A 、B 、P 满足
=λ
（λ≠1）,O 是空间一点，则
用
、
表示为（ ) A 。

=+λ B.
=λ
+(1-λ)
C 。

=
D 。

思路解析:由
=λ
(λ≠1）,得
-=λ(-）,即=.
答案：C
OA
OB
AP
AB
OA
OB
OP
OA OB OA OB OP OA OB OA OB OC AC CB OA OB OC 2123
2321
AC
CB OC OA OB OC OC
OA
OB
OC
2123
AP
PB
OP
OA
OB OP OA OB
OP
OA OB
OP
λλ++1OB
OA OP AP
PB
OP OA OB OP OP λλ++1OB
OA
2.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C）,则等于( )
A.λ(+)，λ∈（0，1）
B。

λ(+),λ∈(0，）
C.λ(-)，λ∈(0,1）
D。

λ（-),λ∈（0，）
思路解析：∵点P在对角线AC上,
∴与共线.
又=+,=λ（+)。

当P与A重合时，λ=0；
当P与C重合时，λ=1.
答案:A
3。

如图2-3—2所示，四边形ABCD为矩形,且AD=2AB,又△ADE为等腰直角三角形,F为ED的中点，=e1，=e2，以e1、e2为基底,表示向量、、及。

图2—3-2
思路解析：可根据平面几何中有关知识，进行等量代换，并转化为向量的相关知识解决.
解：∵=e1，=e2，
∴=e2—e1.
依题意有AD=2AB=DE，且F为ED中点，
∴四边形ABDF为平行四边形.
∴==e2—e1，==e2。

∴=+=e2-e1+e2=2e2—e1。

4。

如图2-3-3所示，在平行四边形ABCD中,M、N分别为DC、BC的中点,已知=c,=d,试用c、d表示和。

AP AB AD
AB BC22
AB AD
AB BC22
AP AC
AC AB AD AP AB AD
EA EF AF AB AD BD
EA EF
AF
BD AF AB EF
AD AF AB
AM AN AB AD
图2—3—
3
思路解析：本题可将c 、d 看作基底，即用基底表示和。

解：设
=a ，
=b ，则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得
=b ，=a 。

从△ABN 和△ADM 中可得
即=(2d -c )，=（2c -d ).
志鸿教育乐园
感想
甲:听说你最近去美国考察了一次，感受不浅吧？ 乙：是啊，感触太深了，人家的文化水平就是高. 甲:何以见得呢？
乙：人家大人小孩都会说英语. 30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)
1.(2005 全国卷Ⅱ）已知向量=(k ，12)，=（4,5),
=(—k ，10)，且A 、B 、
C 三点共线，则k=_________________。

思路解析:三点共线,则任意两点连线的斜率相等. 因为=(k,12)，=(4，5),=(—k,10），
所以A(k,12)、B(4,5)、C(-k ，10)。

K AB =K BC ，所以，
解得k=-.
答案：—
2.(2005 山东)已知向量a 、b ,且=a +2b ,=—5a +6b ,=7a -2b ,则一定共线的三点是（ )
A 。

A 、
B 、D B 。

A 、B 、
C C.B 、C 、
D D.A 、C 、D 思路解析:本题考查向量的概念及其运算。

AB AD
AB
AD BN 21DM 21
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+),2(32),2(32.21,21
d c b c d a c a b d b a 解得AB 32AD
32
OA
OB
OC
OA OB OC
45
104512---=
--k k 32
32
AB
BC CD
=+=2a +4b =2
，
∴A、B 、D 三点共线。

答案：A
3.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则等于( )
A.λ（
+)，λ∈（0,1)
B 。

λ（+）,λ∈（0，)
C 。

λ(-)，λ∈(0,1）
D 。

λ(
—
),λ∈（0,)
思路解析:如图，由向量的运算法则
=+及点P
在对角线AC 上，所以
与
同向,且|
｜<|
｜,故
=λ(
+),λ∈（0，1)。

答案:A
4.平面直角坐标系中
，O 为坐标原点，已知两点A （3,1),B （-1，3)，若点C 满足=α+β，其中α、β∈R ，且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( )
A.3x —2y —11=0 B 。

(x-1)2+(y-2）2
=5 C 。

2x —y=0 D 。

x+2y —5=0 思路解析：由
=α
+β
，α+β=1,知A 、B 、C 三点共线. ∴C 点的轨迹是直线AB ，由两点式得
，即x+2y —5=0。

答案:D
5。

如图2—3-4所示，在△ABC 中，M 是边AB 的中点，E 是CM 的中点,AE 的延长线交BC 于F,MH∥AF。

求证：
==。

BD BC CD
AB
AP
AB AD
AB BC 2
2
AB AD AB
BC
22
AC AB AD
AP
AC
AP
AC
AP
AB AD
OC
OA
OB
OC
OA
OB
131
313++=--x y BH HF FC
图2—3—4证明:M为AB中点，MH∥AF,则=x。

)+(）=b,
）—(b-a）=(b-a）。

∴==.
6.如图2-3—5所示，在平行四边形PQRS中,在PQ、QR、RS、SP上分别取点K、L、M、N，其中K、N分别为PQ、PS的中点，QL=QR，SM=SR，设KM与LN交于A点，=a，=q，=s，试用q、s表示a。

图2—3—5
q、s为一组基底的a的线性分解式。

由于=+，而
.又由于与共线，而可用q、s表示，这样可以求得一个关于q、s的分解式（含参数）。

同样，利用、还可求得另一个
关于q、s的分解式（也含参数）.由于关于q、s的分解式的唯一性，就可得到含参数的两个方程，解出参数值，问题便可解决。

解法一：∵与共线,
HF
BH=
AB AC
4
2
a
b
-
3
2
3
1
3
1
4
1PA PQ PS
PA PK KA PK KA KA KM KM
PN NL
PA PA
KA KM
∴存在实数λ1,使=λ1.
的中点，
,
，
为的中点，
,
1
s.
同样设=λ2，
=
q—s,
∴=+=2q.
∵关于q、s的分解式是唯一的，
∴
∴=q+s.
、A、L三点共线，故存在+（1—α).∵=s，=+q+s.
∴α）(q+s）=s+(1-
∴=(1—α）q+（+）s.
同理，由于K、A、M三点共线,故存在β∈R,使
=β+（1-β）。

KA KM
KM RM
QR
KQ+
+PQ
QR PS
PS
PQ
NL RL
SR
NS+
+61
PA PN NA PN
PA
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
-
=
-
=
.
23
9
,
23
10
,
4
1
2
1
,
6
1
2
1
2
1
1
2
2
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
解得
PA2392310
PA PN PL PN21PL PQ QL31
PA312α
PA316α
PA PK PM
，
=+=s +q .
∴=βs +(1—β）(s +q ).
∴
=（1-β)s +(+）q 。

∵关于q 、s 的分解式是唯一的,
∴ ∴=q +s .
7。

如图2-3—6所示，平行四边形ABCD
的两条对角线AC 与BD 交于点E ，O 是任意一点。

求证：
+++=4。

图2-3—6
证明:∵E 是对角线AC 和BD 的交点， ∴
==-
，
==-.
在△OAE 中,
+=,
同理， +=，+
=，+=。

以上各式相加，得+++=4。

8。

证明三角形的三条中线交于一点.
思路解析：本题可用平面几何知识加以证明，也可以用平面解析几何知识证明，现在我们用平面向量的方法加以证明. 证明：如图，令
=a ，
=b 为基底.
PS 41
PA 2141
PA 414β
PA
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=-+=-.2313,2314.
6311,4
411βααββα解得PA
2392310
OA OB OC OD
OE
AE EC
CE
BE ED DE
OA AE OE OB BE OE OC CE OE OD DE OE OA OB OC OD OE AB
AC
=b -a ，=a +b ，
=b -a ，
设AD 与BE 交于点G 1，
并设1=λ
，=μ
，
则有
=
-
=a +b —b =a +b ，
=
1
—
=a —b —μa +b =(1—μ）a +b ，
∴
解得∴1
设与交于点G 2，同理可得2
∴G 1与G 2重合，也就是说AD 、BE 、CF ∴三角形的三条中线交于一点。

BC
AD
2121
BE
21
AG
AD 1BG
BE
1CG
1BG
BC
2λ2λ2λ22
-λ1CG
AG
AC
2μ22
-μ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧--=2
2,12λμλ
AG
AD AG。