北师大版九年级数学下册第一章1锐角三角函数12正弦和余弦练习题

北师大版九年级数学下第一章1 锐角三角函数 1.2正弦和余弦练习题（含答案）
一、选择题
1．在△ABC 中，∠C ＝90°，则下列等式成立的是( ) A ．sinA ＝AC
AB
B ．sinA ＝
BC AB
C ．sinA ＝AC
BC
D ．sinA ＝BC
AC
2．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sinA 等于链接听P2例1归纳总结( )
图1
A.35
B.45
C.34
D.43
3．如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝2
3
，则BC 的长为( )
图2
A ．4
B ．2 5
C.181313
D.121313
4．如图3，A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cosα的值，错误的是( )
图3
A.CD AC
B.BC AB
C.BD BC
D.AD AC
5．如图4，梯子与地面的夹角为∠α，则下列关于∠α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的叙述正确的是( )
图4
A ．sinα的值越小，梯子越陡
B ．cosα的值越小，梯子越陡
C ．tanα的值越小，梯子越陡
D ．梯子的倾斜程度与∠α的三角函数值无关
6．如图5，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为( )
图5
A.43
B.34
C.35
D.45
7．如果等腰三角形的底边长为10 cm ，周长为36 cm ，那么底角的余弦值是( ) A.513 B.1213
C.1013
D.512
二、填空题
8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，则cosB ＝________．
9．如图6，点A(t ，4)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，sinα＝2
3
，则t 的值为________．
图6
10．在△ABC 中，∠C ＝90°，若tanA ＝1
2
，则sinB ＝________.
11．已知正方形ABCD 的边长为2，P 是直线CD 上的一点．若DP ＝1，则sin ∠BPC 的值是____________． 12．如图7，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，垂足为D ，如果BC ＝4，sin ∠DBC ＝2
3，那么线段
AB 的长是________．
图7
三、解答题
13．如图8，在Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，cosB ＝4
5，求∠BAD 的正弦值和余弦值及AC 的长
度.链接听P2例2归纳总结
图8
14．如图9，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点N 的坐标为(20，0)，点M 在第一象限内，且OM ＝10，sin ∠MON ＝3
5
.
求：(1)点M 的坐标； (2)cos ∠MNO 的值．
图9
15．如图10，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，交CD 的延长线于点E.已知AC ＝15，cosA ＝3
5
.
(1)求线段CD 的长； (2)求sin ∠DBE 的值．
图10
16．如图11，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边． (1)求sinA ，cosB. (2)求tanA ，tanB.
(3)观察(1)(2)中的计算结果，你发现sinA 与cosB ，tanA 与tanB 之间有什么关系？ (4)应用：
①在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝2
3，则cosB ＝________；
②在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tanA ＝2，则tanB ＝________．
图11
附加题
如图12，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.
(1)求sin2A＋cos2A的值；
(2)比较sinA和cosB的大小；
(3)想一想，对于任意直角三角形中的锐角，是否都有与上述两小题相同的结果？若有，请说明理由．
图12
参考答案
1．[解析] B 如图所示，sin A ＝BC
AB
.故选B.
2．[解析] A 在Rt △ABC 中， ∵AB ＝10，AC ＝8，
∴BC ＝AB 2－AC 2＝102－82＝6， ∴sin A ＝BC AB ＝610＝3
5.
故选A.
3．[解析] A 由余弦的定义可得cos B ＝BC AB ＝2
3.又∵AB ＝6，∴BC ＝
4.故选A.
4．[解析] D cos α＝BD BC ＝BC AB ＝CD
AC
.故选D.
5．[解析] B sin α的值越小，∠α越小，梯子越平缓； cos α的值越小，∠α越大，梯子越陡；
tan α的值越小，∠α越小，梯子越平缓，所以B 正确． 故选B.
6．[解析] D 如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠ADC ＝90°， ∴AC ＝AD 2＋CD 2＝32＋42＝5， ∴sin ∠BAC ＝CD AC ＝4
5.
故选D.
7．[解析] A 等腰三角形的腰长为12×(36－10)＝13(cm)，所以易得底角的余弦值是5
13.
8．[答案]
5
13
9．[答案] 2 5
[解析] 如图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ， ∴sin α＝AB
OA .
∵sin α＝23，∴AB OA ＝2
3
.
∵A (t ，4)，∴AB ＝4，∴OA ＝6，∴t ＝2 5.
10．[答案] 2 5
5
11．[答案]
2 55或2 13
13
12．[答案] 2 5
13．解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠BAC ＝90°，
∴∠B ＋∠BAD ＝90°，∠B ＋∠C ＝90°，∠BAD ＋∠CAD ＝90°， ∴∠BAD ＝∠C ，∠B ＝∠CAD . ∵cos B ＝45，∴cos ∠CAD ＝AD AC ＝4
5.
又∵AD ＝4，∴AC ＝5， ∴CD ＝AC 2－AD 2＝3， ∴sin ∠BAD ＝sin C ＝AD AC ＝4
5，
cos ∠BAD ＝cos C ＝CD AC ＝3
5
.
14．解：(1)如图，过点M 作MP ⊥ON ，垂足为P .
在Rt △MOP 中，由sin ∠MON ＝35，OM ＝10，得MP 10＝3
5，∴MP ＝6.
由勾股定理，得OP ＝102－62＝8， ∴点M 的坐标是(8，6)．
(2)由(1)知MP ＝6，PN ＝20－8＝12， ∴MN ＝62＋122＝6 5， ∴cos ∠MNO ＝PN MN ＝126 5＝2 5
5
.
15．解：(1)因为AC ＝15，cos A ＝35，∠ACB ＝90°，所以AC AB ＝3
5，所以AB ＝25.
又因为D 是AB 的中点，所以CD ＝25
2.
(2)由D 是AB 的中点，得CD ＝BD ＝25
2，
所以∠ECB ＝∠ABC ，
所以sin ∠ECB ＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝35
. 又BC ＝AB 2－AC 2＝20，
所以BE ＝BC ·sin ∠ECB ＝12. 由勾股定理得CE ＝16， 所以DE ＝16－252＝7
2，
所以sin ∠DBE ＝DE BD ＝72×225＝7
25
.
16．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°， ∴sin A ＝BC AB ＝a c ，cos B ＝BC AB ＝a
c .
(2)在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°， ∴tan A ＝BC AC ＝a b ，tan B ＝AC BC ＝b
a
.
(3)在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则sin A ＝cos B ，tan A ·tan B ＝1. (4)①23 ②1
2
附加题
解：∵∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝122＋52＝13， ∴sin A ＝BC AB ＝513，cos A ＝AC AB ＝1213，
cos B ＝BC AB ＝5
13.
(1)∵sin 2A ＝⎝⎛⎭⎫5132
＝25169
， cos 2A ＝
⎝⎛⎭⎫12132
＝144169
， ∴sin 2A ＋cos 2A ＝25169＋144
169＝1.
(2)sin A ＝cos B .
(3)由这个特例的解答过程可猜想，对于任意直角三角形中的锐角，都有与上述两小题相同的结果，即：对于任意直角三角形中的锐角A ，都有sin 2A ＋cos 2A ＝1；在Rt △ABC 中，若∠C 为直角，则必有sin A ＝cos B .
理由如下：设在任意Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则sin 2A ＝⎝⎛⎭⎫BC AB 2
，cos 2A ＝⎝⎛⎭⎫AC AB 2
，BC 2＋AC 2＝AB 2
， ∴sin 2A ＋cos 2A ＝
⎝⎛⎭⎫BC AB 2＋⎝⎛⎭⎫AC AB 2
＝BC 2＋AC 2
AB 2＝AB 2
AB 2
＝1.
∵sin A ＝BC AB ，cos B ＝BC
AB ，
∴sin A ＝cos B .。