中考数学复习方案 第24课时 解直角三角形的应用

第 24 课时
解直角三角形的应用
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考
向
探
究
考点聚焦
考点 解直角三角形的应用常用知识
仰角和俯角
仰角
俯角
在视线与水平线所成的角中,视线在
水平线上方的叫仰角
视线在水平线下方的叫俯角
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（续表）
坡度和坡角
坡
度
坡
角
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面
的坡度(或坡比),记作i=① h∶l
坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.i=
② tanα
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（续表）
定义
方
向
角
图例
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向
角.当所成角恰好为45°时,如“南偏东45°”称作“东南方向”
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对点演练
题组一
必会题
1.[九下 P113 问题 1 改编] 图 24-1 是拦水坝的横断面,斜坡 AB 的水平宽度 AC 为
i=1∶2,顶端C离水平地面AB的高度为10 m,从顶棚的D处看E处的仰角
α=18°30',竖直的立杆上C,D两点间的距离为4 m,E处到观众区底端A处的水平
距离AF为3 m,求:
(1)观众区的水平宽度AB;
(2)顶棚的E处离地面的高度EF.(sin18°30'≈0.32,
tan18°30'≈0.33,结果精确到0.1 m)


,GD=FB=FA+AB=23(m),
∴EG≈7.59 m,
故顶棚的 E 处离地面的高度 EF 为 21.6 m.
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【方法点析】锐角三角函数应用中的基本图形
在实际测量高度、宽度、距离等问题时,常结合视角知识构造直角三角形,
利用三角函数或相似三角形来解决问题.常见构造的基本图形有如下几种:
(1)不同地点看同一点(如图24-7);
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图24-7
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(2)同一地点看不同点(如图24-8);
(3)利用反射构造相似(如图24-9).
图24-8
图24-9
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解直角三角形在实际生活中的应用问题,一般是将实际问题转化成几何问
题,作辅助线构造直角三角形(一般同时得到两个直角三角形)是解决这类问题
固
5. [2019·南京] 如图24-15,山顶有一塔AB,塔高33 m.计划在塔的正下方沿直线CD
开通穿山隧道EF.从与点E相距80 m的C处测得A,B的仰角分别为27°,22°,从与点
F相距50 m的D处测得A的仰角为45°.求隧道EF的长度.(参考数据:tan22°≈0.40,
tan27°≈0.51)
固
2. [九下P120复习题第11题改编] 如图24-2,在与楼
[答案](1.2+15 3)
房AB相距45 m的C处,利用测角仪测得该楼顶部的
[解析]该楼房的高度
仰角为30°.已知测角仪的高度为1.2 m,则该楼房的
高度为
m.(结果保留根号)
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3
=1.2+BC·tan30°=1.2+45×3
45°,测得该建筑底部C处的俯角为17°.若无人机的飞行高度AD为62 m,则该建筑
的高度BC为
m.
(参考数据:sin17°≈0.29,cos17°≈0.96,tan17°≈0.31)
图24-11
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[答案]262
[解析] 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E,则四边形 ADCE 为矩形.
一点C,测得旗杆顶部A的仰角为45°,在C,B之间选择一点D(C,D,B三点共线),测
得旗杆顶部A的仰角为75°,且CD=8 m.
(1)求点D到CA的距离;
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(2)求旗杆AB的高.
解:(1)过点 D 作 DE⊥AC 于点 E.

∵CD=8 m,∠C=45°,∴CE=DE= 2 =4 2(m).
由题意得 0.51CH-0.40CH=33,解得 CH=300,
∴EH=CH-CE=220,BH=CH·tan∠BCH=120,
∴AH=AB+BH=153,∴DH=AH=153,
∴HF=DH-DF=103,∴EF=EH+FH=323.
答:隧道 EF 的长度为 323 m.
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考向二 利用直角三角形解决航海问题
又∵在Rt△ABD中,∠BAD=20°,∴BD=ADtan20°=htan20°.
∴CB=CD-BD=htan50°-htan20°=h(tan50°-tan20°).故选A.
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考向一 利用直角三角形解决与高度(或宽度)有关的问题
例1 [2019·泰州] 某体育看台侧面的示意图如图24-6所示,观众区AC的坡度
在塔的对面一楼房 CD 的楼底 C,楼顶 D 处,测得塔顶 A 的仰角为 45°和 30°.已知
楼高 CD 为 10 m,求塔的高度.(结果精确到 0.1 m,参考数据: 2≈1.41, 3≈1.73)
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图24-12
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解:过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,得矩形 DEBC,
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3. [2018·徐州26题] 如图24-13,1号楼在2号楼的南侧,两楼的高度均为90 m,楼间
距为AB.冬至日正午,太阳光线与水平面所成的角为32.3°,1号楼在2号楼墙面上
的影高为CA;春分日正午,太阳光线与水平面所成的角为55.7°,1号楼在2号楼墙
面上的影高为DA.已知CD=42 m.
=1.2+15 3(m).
图24-2
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3. [九下P121复习题第14题改编] 如图24-3所示,平地上一幢建筑物AB与铁塔CD
相距60 m,在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为30°,测得铁塔顶部的仰角为
45°,那么铁塔的高度是
m.(精确到0.1 m)
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图24-3
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解:(1)过点C,D分别作CE⊥PB,DF⊥PB,垂足分别为E,F,
则有AB=CE=DF,EF=CD=42.由题意可知,∠PCE=32.3°,∠PDF=55.7°.
在Rt△PCE中,PE=CE×tan32.3°≈0.63CE,
在Rt△PDF中,PF=DF×tan55.7°≈1.47CE.
∵PF-PE=EF,∴1.47CE-0.63CE=42,∴AB=CE=50(m).
设塔高 AB=x m,则 AE=(x-10)m.
在 Rt△ADE 中,∠ADE=30°,则 DE= 3(x-10)m.
在 Rt△ABC 中,∠ACB=45°,则 BC=AB=x m,
由题意得, 3(x-10)=x,解得 x=15+5 3≈23.7,即 AB≈23.7 m.
答:塔的高度为 23.7 m.
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4. [九下P115问题3改编] 如图24-4,为了测量旗杆的高度,小明在M处用高1米
(DM=1米)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°,再向旗杆方向前进10米到
F处,又测得旗杆顶端B的仰角为60°,则旗杆AB的高度为
高
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图24-4
.
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[答案](5 3+1)米
(1)求楼间距AB;
(2)若2号楼共有30层,层高均为3 m,则点C位于第几层?
(参考数据:sin32.3°≈0.53,cos32.3°≈0.85,tan32.3°≈0.63,
sin55.7°≈0.83,cos55.7°≈0.56,tan55.7°≈1.47).
图24-13
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图24-15
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解:延长 AB 交 CD 于 H,则 AH⊥CD.在 Rt△AHD 中,∠D=45°,∴AH=DH.

在 Rt△AHC 中,tan∠ACH=


在 Rt△BHC 中,tan∠BCH=

,∴AH=CH·tan∠ACH≈0.51CH.
,∴BH=CH·tan∠BCH≈0.40CH,
答:点 D 到 CA 的距离为 4 2 m.
图24-14
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4. [2016·徐州25题] 如图24-14,为了测量旗杆AB的高度,在旗杆前的平地上选择
一点C,测得旗杆顶部A的仰角为45°,在C,B之间选择一点D(C,D,B三点共线),测
得旗杆顶部A的仰角为75°,且CD=8 m.
(2)求旗杆AB的高.
例2 [2019·连云港] 如图24-16,海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向,距离为
25海里.在某时刻,哨所A与哨所B同时发现一走私船,其位置C位于哨所A北偏东
53°方向上,位于哨所B南偏东37°方向上.
(1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离;
图24-16
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解:(1)在△ABC 中,∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-37°-53°=90°.
12 米,斜面坡度为 1∶2,则斜坡 AB 的长为 (
A.4 3米
B.6 5米
C.12 5米
D.24 米
)
[解析] ∵斜面坡度为 1∶2,∴在 Rt△ABC 中,BC∶AC=1∶2,
1
∴BC= AC=6,由勾股定理得 AB= 2 + 2 =6 5(米),
2
故选 B.
图24-1
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在 Rt△ACD 中,∵AD=62,∠ACD=∠EAC=17°,

62
∴AE=CD=tan 17°≈0.31 =200.
∵AE⊥BE,∠BAE=45°,∴∠ABE=∠BAE,∴BE=AE=200,
∴BC=CE+BE=AD+BE=62+200=262(m).
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固
2.[2013·徐州 25 题] 如图 24-12,为了测量某风景区内一座塔 AB 的高度,小明分别

1
解:(1)∵AC 的坡度 i=1∶2,∴ =2.
∵BC=10 m,∴AB=20 m.
图24-6
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解: (2)作 DG∥AB,EF 与 DG 交于点 G.
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∴EF=EG+GF=EG+DB=EG+DC+CB=21.59≈21.6(m),
在 Rt△DEG 中,∠EDG=18°30',tan∠EDG=
[解析] 设 BE=x,在 Rt△BED 中,tan∠BDE=






3
,即 =
3

3
在 Rt△BEC 中,tan∠BCE= ,即 3= ,∴CE= BE.
3
3
∵CD=ED-EC,∴ 3BE- 3 BE=10,可得 E.∴旗杆 AB 的高度为(5 3+1)米.
B.h(tan50°+tan20°)
C.h
D.h
1
−
1
tan 70°
tan 40°
1
1
+
tan 70° tan 40°
图24-5
)
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[答案] A
[解析] 过点A作AD⊥BC,交CB的延长线于点D,
则Rt△ACD中,∠CAD=50°,AD=h,∴CD=ADtan50°=htan50°.
高
频
考
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解: (2)∵∠C=45°,∠ADB=75°,∴∠CAD=30°.
∵DE=4 2 m,∴AE=4 6 m,∴AC=(4 2+4 6)m.

4 2+4 6
∵∠C=45°,∠ABC=90°,∴AB= =
2
答:旗杆 AB 的高为(4+4 3)m.
2
=(4+4 3)m.
图24-14
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,∴DE= 3BE.
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题组二
易错题
【失分点】三角函数运用错误;解题过程中计算错误.
5.[2018·凉山州] 无人机在 A 处测得正前方河流两岸 B,C 的俯角分别为 α=70°,
β=40°,此时无人机的高度是 h,则河流的宽度 BC 为 (
A.h(tan50°-tan20°)
答:楼间距AB为50 m.
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解: (2)由(1)得:PE=0.63CE=31.5(m),
∴AC=BP-PE=90-31.5=58.5(m),
58.5÷3=19.5,
∴点C位于第20层.
答:点C位于第20层.
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4. [2016·徐州25题] 如图24-14,为了测量旗杆AB的高度,在旗杆前的平地上选择