第7章_卡尔曼滤波-(简化版)-修改版

n-1
于是有迭代关系（原教材有误）
ˆ (n | n ) = x ˆ (n | n-1 ) + b* (n ) a (n ) x
(7.1.11)
结论：以新息过程作为维纳滤波器的输入，若用 n - 1
ˆ (n | n-1 ) 时刻以前的输入对期望响应 x (n) 的估计 x
已获得 ，则可按迭代的方法计算出 n 时刻期望响应
为在最小均方误差意义下的预测误差。
UESTC 何子述 5
ˆ(n) =z(n) -z ˆ(n| n-1) =z(n) -wHzn-1 a(n) =z(n) -d
(7.1.5)
根据维纳滤波的正交原理（估计误差与输入信号向 量正交）， 正交，因此， a (n) 与输入信号向量 z a ( n) n-1 包含了存在于当前观测样本 z (n) 中的新的信息，“新 息”的含义即在于此。
i =1
UESTC 何子述 14
n-1
问题: 若用n-1个输入 {z (1) z (2)
z (n-1)}
估计 x (n) 为
ˆ (n | n-1 ) ，应满足 A(n -1) b (n -1) = pa (n -1) x
2ù 2ù H ù é é é A(n -1) = E êëan-1an-1 úû = diag E ê a (1) ú ,, E ê a (n -1) ú ë û ë û
T
新息过程向量
a(n) = éëa1 (n) a2 (n) aN (n)ùû Î N´1 在 n 时刻，对输入向量 z (n) 的最佳线性预测向量
ˆ (n | n-1 )可表示为 z
ˆ (n | n-1 ) = éê w z z ë
UESTC 何子述
T
H 1 1(n-1)
w z
H 2 2(n-1)
7.1 基于新息过程的递归最小均方误差估计
7.1.1 标量新息过程及其性质
z (n)
1 Z z -1
z (n -1)
1 Z z -1
z ( n - 2)
z (1)

* wn -2
1 Z z -1
* wn -1
w1*
d (n) = z (n)

ˆ ( n) d


a (n) = e ( n)
可解得 l21 和 l22 的值。依此类推，可以将 a (n) 表示为
a (n) = z (n) + l(n-1)1 z (n - 1) + l(n-1)2 z (n - 2) + + l(n-1)(n-1) z (1), n ³ 2
UESTC 何子述 9
有
a (1) = z (1) a (2) = z (2) + l11 z (1) a (3) = z (3) + l21 z (2) + l22 z (1) a (4) = z (4) + l31 z (3) + l32 z (2) + l33 z (1) a (n) = z (n) + l(n-1)1 z (n - 1) + l(n-1)2 z (n - 2) + + l(n-1)(n-1) z (1)
21
将其表示为向量的形式，为
x (n) = Ax (n -1) + Bf (n -1)
x (n) Î N´1 为状态变量
f ( n) Î
S´1
为输入向量 为状态转移矩阵 为输入控制矩阵
22
AÎ
UESTC 何子述
N ´N
N ´S
BÎ
系统输出方程：内部状态的测量输出
ê ú=ê ê ú ê ê ú ê ê zM (n)ú êë cM 1 ë û
根据式(7.1.7)，上式可表示为
1 H ˆ (n | n ) = w H (n) Lx a = b (n)an n n
(7.1.8)
1 a 其中， 为输入 b H (n) = w H (n) Ln 时的权向量。 n
可表示为
b (n) = éëb (1) b (2) b (n)ùû Î n´1
* wn -1
* w1
d (n) = z ( n)
ˆ ( n) d

பைடு நூலகம்


a (n) = e ( n)
z1 ( n )
z2 ( n )
1 ( n )
2 (n)
zN (n)
UESTC 何子述
N (n)
17
输入信号向量
z (n) = éë z1 (n) z2 (n) z N (n)ùû Î N´1
由此可知，序列{a (1) a (2) a (n)}可由序列 { z (1) z (2) z (n)}线性表出，性质(3)得证。
UESTC 何子述 11
7.1.2 最小均方误差估计的新息过程表示
若信号 x (n)的最小均方误差估计为
H ˆ x ( n | n ) = w ( n) zn
{
}
pa (n -1) = E éêëan-1 x * (n )ùúû 为 pa (n) 的前n-1个元素。
所以，b (n -1) 为 b (n ) 的前n-1个元素，故有
ˆ (n | n-1 ) = b H (n - 1)an-1 = å b* (i ) a (i ) x
i =1
UESTC 何子述 15
w z
H N N (n-1)
ù úû
T
18
新息过程的性质，可推广到向量新息过程，为: (1) n 时刻的新息过程向量a(n)和过去所有观测向量 n-1 = {z (1), z (2), , z (n - 1)} 正交，即
E éêëa(n) z H (k )ùúû = 0,
k = 1, 2,n -1
ˆ (1| 0 ) = 0，由式，有a (1) = z (1) 由于z (0) = 0，所以 z
a (2) = z (2) + l11 z (1) 令 * a 上式两边乘 (1) ，并取数学期望，根据 性质(2)有
* * * é ù é ù é E êëa (2) a (1)úû = E êë z (2) a (1)úû + l11 E êë z (1)a (1)ùúû = 0
ìE éa (3)a* (1)ù = E é z (3)a* (1) + l z (2)a* (1) + l z (1)a* (1)ù = 0 ï 21 22 ï êë úû êë úû ï í ï E êëéa (3)a* (2)úûù = E êëé z (3)a* (2) + l21 z (2)a* (2) + l22 z (1) a* (2)úûù = 0 ï ï î
x (n) 的估计值 x ˆ (n | n ) ，这种方法带来计算上的
极大方便。
UESTC 何子述 16
7.1.3 向量新息过程及其性质 设有N个线性预测器：
z ( n)
1 Z z -1
z (n - 1)
1 Z z -1
z ( n - 2)
z (1)

* wn -2
1 Z z -1
é x1 (n) ù é a ê ú ê 11 ê x ( n) ú ê a ê 2 ú = ê 21 ê ú ê ê ú ê ê ú ê ê xN (n)ú êë aN 1 ë û
UESTC 何子述
S 个输入
b1S ù é f1 (n - 1) ù ú úê b2 S ú êê f 2 (n - 1)úú ú ú úú êê ú bNS úúû êêë f S (n - 1)ûúú
图7.1.1
UESTC 何子述
n -1 阶线性预测器结构
4
在n时刻，预测误差为 ˆ (n) = z (n) - w H z e (n) = d (n) - d n-1
(7.1.4)
在最小均方误差意义下，当式中的权向量满足 维纳-霍夫方程时，预测的均方误差最小，为最佳 线性预测，定义
新息过程
a ( n) e ( n)
第7章 卡尔曼滤波
UESTC 何子述
1
海基 导弹 拦截 示意 图
2
何子述UESTC
•本章要回答的问题是：采用迭代方法直接利用观 测数据进行运算，可得到原系统状态向量的估计。 •介绍新息过程的概念 •然后导出卡尔曼滤波算法，讨论其统计性能和推 广 •介绍卡尔曼滤波在目标跟踪等方面的应用
UESTC 何子述 3
UESTC 何子述 12
T
可以证明 b (n) 是最佳权向量，即满足维纳-霍夫方程
A(n ) b (n) = pa (n)
Hù 其中矩阵 A(n) = E éêan an úû为 an 的自相关矩阵， ë pa (n) = E éêëan x* (n)ùúû为互相关向量。
根据新息过程的正交性有 2ù * é é ù E êëa (i )a ( j )úû = E ê a (i ) ú d (i - j ) ë û 因此 A(n) 为对角矩阵，即
UESTC 何子述
2ù 2ù 2ù é é é A(n) = diag E ê a (1) ú , E ê a (2) ú ,, E ê a (n) ú ë û ë û ë û
{
}
13
权向量 b (n) 的各元素为
pa (i ) b (i ) = ,i = 1, 2,, n 2 E éê a (i ) ùú ë û
(2) n 时刻的新息过程向量a(n) 和过去所有新息过程 向量 a(k ) 相互正交，即
E éêëa(n)aH (k )ùúû = 0,
UESTC 何子述
k = 1, 2,n -1
19
(3) 观测数据向量序列 {z (1), z (2), z (n)}和新息过程向量 序列 {a (1), a (2),a (n)}之间存在着一一对应关系， 可以借助可逆线性变换从其中一个序列得到 另一个序列，而不丢失任何信息。即
等价 {z (1), z (2), z (n)} {a(1), a(2),a(n)}
UESTC 何子述
20
7.2 系统状态方程和观测方程的概念
一个多输入多输出的离散时间LTI系统，可用状态方程 和输出方程进行描述: 状态方程：描述系统的内部运动状态 N 个状态变量
a12 a22 aN 2 a1N ù é x1 (n - 1) ù é b11 b12 ú ê úê a2 N ú êê x2 (n - 1) úú ê b21 b22 ú ê + ê ú ê úú ê ú ê aNN úúû êêë xN (n - 1)úúû êêëbN 1 bN 2
ˆ (n | n-1 ) ：由数组 z
UESTC 何子述
zn-1 估计 z (n)
6
由正交原理，新息过程具有如下的统计特性:
* é E a n z (1) êë ( ) (k )ùúû = 0,
k = 1, 2,, n -1
(2) E êéa (n) a* ( k )ùú = 0, ë û
k = 1, 2,, n -1
UESTC 何子述
10
写成矩阵的形式 an = Ln zn 其中
é 1 0 ê ê l11 1 ê l21 Ln = êê l22 ê ê êl êë (n-1)(n-1) l(n-1)(n-2)
(7.1.7)
0 0 1 l(n-1)(n-3) 0ù ú 0ú ú 0úú Î n´n úú 1úú û
* é = p i E a i x ( ) ( ) (n)ùúû为 pa (n) 的第 i 个元素。 其中，a êë
将式(7.1.8)展开，可进一步表示为
ˆ (n | n ) = b H (n )an = å b* (i ) a (i ) x
i =1 n
= å b* (i ) a (i ) + b* (n ) a (n )
l11 = UESTC 何子述
E éêë z (2)a* (1)ùúû E éêë z (1) a (1)ùúû
*
=-
E éêë z (2) a* (1)ùúû
2ù é E ê z (1) ú ë û
8
再令
a (3) = z (3) + l21 z (2) + l22 z (1)
a* (2) ，并取数学期望，根据 上式两边分别乘 a* (1) 、 E éêëa (3)a* (2)ùúû = E éêëa (3)a* (1)ùúû = 0 ，得方程组
(3) 序列{a (1) , a (2) ,, a (n )}和 { z (1), z (2),, z (n)} 包含了相同的信息，即
等价 {z (1), z (2),, z (n)} {a (1), a (2),, a (n)}
UESTC 何子述
7
性质(1)和(2)可由维纳滤波的正交原理证明。下面 对性质(3)进行推导 ：