【高斯数学思维训练】第19讲：工程问题.杨巍.初稿

第19讲工程问题
内容概述
掌握工作总量、工作效率、工作时间的基本概念和关系；理解“单位1”的概念并灵活应用；熟悉多人、多工程、效率变化等各种形式的问题；学会处理“水池注水”形式的问题。

典型问题
兴趣篇
1.甲、乙两辆车运一堆煤，如果只用甲车运，15小时可以运完；如果只用乙车运，10小时可以运完。

请问：
（1）如果两车一起运，多少小时可以运完？
（2）如果甲车从早上8点开始运煤，乙车下午1点才开始运，那么几点的时候可以把煤运完？
【详解】（1）甲车的效率为
1
15
，乙车的效率为
1
10
，合作的话
11
1()6
1510
÷+=
（2）
111
(15)()4
151510
-⨯÷+=，所以下午5点才能运完
2.一项工作，甲单独做20天可以完成，乙单独做30天可以完成。

现在两人合做，用16天就完成了工作，已知在这16天中甲休息了2天，乙休息了若干天。

请问：乙休息了多少天？
【详解】甲的工作量为17
14
2010
⨯=，乙的工作时间为
71
(1)9
1030
-÷=，1697
-=天。

3.如果甲、乙两队合做一项工程，恰好24天完成；如果乙队先做5天，然后甲队来帮忙，又共同做了10天后，全部工程才完成了一半。

请问：甲队单独完成这项工程需要多少天？
【详解】两人合作的效率为1
24
，所以乙队的效率为
111
(10)5
22460
-⨯÷=，那么甲队效率为
111
246040
-=，甲单独完成这项工程需要40天
4.一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。

如果按甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作，每人工作1小时后交换，那么需要多少小时才能完成任务？
【详解】每一个周期效率和为114
61015
+=，需要3个周期，还剩下
1
5
的工作量，甲工作完后
乙还要
1111
()
56103
-÷=小时，所以总时间为
1
7
3
小时。

5.有一批工人做某项工程，原计划4天完成。

如果增加6人，只需要3天就能完成。

现在人数不仅没有增加，反而减少了9人，求完成这项工程需要的天数。

【详解】6人干3天相当于全体人干1天，那么全体人员有18人，减少一半的人数，天数要变为2倍，所以需要8天。

6.甲、乙两队分别在A B
、两块地植树，B地需要植树的数量是A地的两倍。

已知甲队单独在A地植树需要12天完成，乙队单独在B地植树需要30天完成。

现在甲、乙两队分别在A B
、两地同时开始，当甲队做完后便去B地和乙队共同工作。

请问：两队要用多少天才能种完树？
【详解】令A 的工作量为1，B 的工作量为2，甲的效率为112，乙的效率为115，113()201215
÷+=天。

7.一水池装有一个进水管和一个排水管。

如果单开进水管，5小时可将空池灌满；如果单开排水管，7小时可将整池水排完。

现在先打开进水管，2小时后打开排水管。

请问：再过多长时间池内将恰好存有半池水？
【详解】2小时后水池水量有12255⨯=，还需要12117()()25574
-÷-=小时
8.蓄水池有甲、乙、丙三个进水管。

如果想灌满整池水，单开甲管需10小时，单开乙管需12小时，单开丙管需15小时。

上午8点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结果到下午2点水池被灌满。

问：甲管在何时被关闭？
【详解】乙丙共灌水量为119()6121510+⨯=，所以甲灌水的时间为91(1)11010
-÷=，即9点被关。

9.师傅带着两名徒弟加工一批零件，按加工零件数量的比例分配3000元报酬。

如果按照原定计划，师傅应该得到1800元，但开始工作前一名徒弟生病住院，最后是师傅和另一名徒弟完成了所有工作。

如果两个徒弟的工作效率相同，请问：师傅实际应得到多少元？
【详解】师傅和一个徒弟的效率比为300018001800:3:12
-=，所以师傅实际得到3300022504
⨯=元。

10.甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们的工资1800元。

三人完成这项工程的具体情况
是：甲、乙两人合做6天完成了工程的13
；因甲中途有事，由乙、丙合做2天，完成了余下工程的14
；之后三人合做5天完成了这项工程。

如果按完成工作量的多少来付酬，每人应得多少元？
【详解】三人效率和为111(1)53610--÷=，丙的效率为112610345
-÷=，乙的效率为1272645180÷-=，甲效率为160，甲完成了111116060⨯=，乙完成了79113180180⨯=，丙完成了21474545
⨯=，所以三人报酬分别为甲330,乙910,丙560
拓展篇
1.一条公路，甲队单独修需20天完成，乙队单独修需30天完成，请问：
（1）如果甲、乙两队合做，共需要多少天完成？
（2）如果甲、乙两队合修若干天之后，乙队停工休息，而甲队继续修了5天才修完，那么乙队一共修了多少天？
【详解】（1）111()122030
÷+=天
（2）
111 (15)()9
202030
-⨯÷+=天
2.有一批资料需要复印，甲复印机单独复印要11小时，乙复印机单独复印要13小时。

现在甲、乙两台复印机同时工作，由于相互有些干扰，两台机器每小时共少印28张，结果用6小时15分钟印完。

请问：这批资料共有多少张？
【详解】如果不影响，6.25小时完成
111150
()6
11134143
+⨯=，所以少印的6.2528175
⨯=张对应
着
7
143
，那么资料共有
7
1753575
143
÷=张
3.有一条公路，甲队单独修需20天，乙队单独修30天，丙队单独修需40天。

现在让三个队合修，但中间甲队撤出去到另外工地，结果用了12天才把这条公路修完。

请问：当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成？
【详解】如果甲不出去，一共能做
11113
12()
20304010
⨯++=，所以甲出去的时间为
131
(1)6
1020
-÷=天。

4.甲、乙两人共同完成一件工作。

如果甲、乙两人合做2天后，剩下的由乙单独做，刚好在规定时间完成；如果甲单独做需要18天完成；如果乙单独做，则要超过规定时间3天才能完成。

求完成这件工作规定的天数。

【详解】设规定需要x天完成，8
1
9
3
x x
=
+
，所以24
x=
5.一项工程，乙单独做要14天完成；如果第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做……两人这样轮流做，需要9天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做……两人这样轮流做，会比上次轮流的做法多用多少天？
【详解】甲的效率为
11
(14)5
147
-⨯÷=，会多用
111
()0.5
7147
-÷=天
6.甲、乙、丙三队要完成A B
、两项工程。

B工程的工作量比A工程的工作量多1
4。

已知甲
队单独完成A工程要40天，乙、丙两队单独完成B工程分别需要60天、75天。

开始时甲队做A工程，乙、丙两队共做B工程；几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程，剩下乙队单独做B工程，结果两个工程现时完成。

请问：丙队与乙队合做了多少天？
【详解】甲的效率为1
40
，乙的效率为
11
160
448
÷=，丙的效率为
11
175
460
÷=，那么三人一
共做了
1111
2()36
4404860
÷++=天，乙丙合作为
111
(136)30
44860
-⨯÷=天。

7.俄国文学家列夫·托尔斯泰的庄园里有大、小两片草地。

每年秋天，农民们都要将草收割贮存起来，冬季当作牲畜的饮料。

大草地的面积恰好为小草地面积的2倍。

这一年有一些割草人去草地割草。

上午他们都在大草地里干活，午后这些人平均分成两半，一半人继续留在大草地割草，到傍晚收工时（上、下午时间相同）恰好刚收割完；另一半人到小草地干活，收工时仅剩下一小块没有割完，这一小块草地恰好够一个人收割一天。

工头去托尔斯泰那儿结账时，讲了上述情况，话音刚落，托尔斯泰就算出了共有多少个割草人，同学们你们能算出来吗？
【详解】大草地的量相当于所有人割3
4
天，小草地就相当于所有人割
3
8
天，现在只一半人割
了半天，还差一半人1
4
天的工作量，所以共有8人。

8.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需12小时注满水，单开乙管需18小时注满水。

现要求10小时注水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？
【详解】甲管从头开到尾，乙管要开
11
(110)3
1218
-⨯÷=，也就是说，至少合开3小时。

9.某水库建有10个泄洪闸，现有水库的水位已经超过安全线，上游河水还在按不变的速度流入。

为了防洪，需调节泄洪速度。

假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开1个泄洪闸，30小时水位降至安全线；若打开2个泄洪闸，10小时水位降至安全线。

现在抗洪指挥部队要求在2.5小时使水位降至安全线以下，至少要同时打开几个闸门？
【详解】每小时的来水量为(130210)(3010)0.5
⨯-⨯÷-=，原来超过水位的水量是300.53015
-⨯=，要使2.5小时降完，需要打开的是15 2.50.5 6.5
÷+=个，那么至少要打开7个闸门。

10.某水池的容积是100立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管。

甲、乙两管单独灌满水池分别需要10小时和15小时。

水池中原有一些水，如果甲、乙两管同时进水而排水管放水，需要6小时将水池中的水放完；如果甲管进水而排水管放水，需要2小时将水池中的水放完。

问：水池中原有水多少立方米？
【详解】
11
()61
1015
+⨯=，所以6小时排水量为整个水池加上原有水，
11
2
105
⨯=，2小时排
水量为1
5
水池加原有水量。

所以1小时排水量为
11
(1)4
55
-÷=水池，那么水池原有水量为
111
2
555
⨯-=，即20立方米。

11.画展9时开门，但早有人来排队等候入场。

从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。

如果开3个入场口，9时9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9时5分就没有人排队。

请问：第一个观众到达的时间是8时多少分？
【详解】令每个入口每分钟进的人数为单位1，9327
⨯=，5525
⨯=，(2725)(95)0.5
-÷-=，那么在9点的时候等候的人数有270.5922.5
-⨯=，那么第一个到的时间为22.50.545
÷=分钟前，即8点15分
12.如图19-1，有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高的三等分点处有两个排水孔A和B，它们排水时的速度相同且保持不变。

现在以一定的速度从上面往水箱注水。

如果打开A孔、关闭B孔，经过20分钟可将水箱注满；如果关闭A孔，打开B孔，经过22分钟可将水箱注满。

如果两个孔都打开，那么注满水箱的时间是多少分钟？
【详解】两次的区别就是1
3
水箱，排水比不排多用2分钟。

所以如果两孔都不开，水箱18
分钟满。

那么开A孔关B孔时，12分钟到A孔位置，8分钟放满剩余部分。

令放水速度为a，
排水速度为b ，有8()6a b a -=，所以4a b =，两孔都开，总时间为666262a a a b a b
+
+=--分钟。

超越篇
1.甲工程队每工作5天必须休息1天，乙工程队每工作6天必须休息2天，一项工程，甲工程队单独做需62天（含休息），乙工程队单独做需51天（含休息）。

请问：甲、乙两队合作完成这项工程需要多少天？
【详解】甲实际工作了52天，乙实际工作了39天，所以甲工效为152，乙工效为139
，在24天里，共完成了11112018523913⨯+⨯=，还剩下213，还需要合作2113()31352397÷+=天。

所以一共需要3277
天。

2.一水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入30吨水时，水箱已满；如果只打乙、丙两管，乙管注入40吨水时，水箱才满。

已知乙管每分钟注水量是甲管的1.5倍。

请问：该水箱注满时可容纳多少吨水？
【详解】令水箱能注水x 吨，那么3030x =-甲丙，4040x =-乙丙
，又 1.5=乙甲，所以得120x =。

3.甲、乙两人分别加工一批零件，甲用A 机器需要6小时才能完成任务，用B 机器效率降低60%，乙用B 机器需要10小时才能完成任务，用A 机器效率提高20%。

如果甲用A 机器、乙用B 机器同时开始工作，中途某一时刻交换机器，最后恰好同时完成任务。

求甲、乙完成任务所用的时间。

【详解】甲用A 机器效率为16，用B 机器效率为14161015⨯=，乙用A 机器效率为16310525
⨯=，用B 机器效率为110
，假设甲用A 机器x 小时，用B 机器y 小时。

列方程： 11161513110
25x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得4,5x y ==，总时间为9小时。

4.甲、乙、丙三个工程队要完成一项工程，原计划三个队同时做，并且按照三个队工作效率
的比进行分配。

但是若干天之后，甲队因为种种原因退出，把甲队剩下工程的13
交给乙队完成，23
交给丙队完成。

如果仍然要按时完成该工程，乙队就必须将工作效率提高20%，丙队则必须提高30%。

问：甲、乙、丙原来的工作效率之比是多少？如果工程结束时，按照工作量付给报酬，甲队得到2700元，乙队得到6300元，那么丙队可以得到多少元？ 【详解】120%3=乙甲，所以3:5=甲：乙，230%3
=丙甲，9:20=甲：丙，所以效率比为9:15:20=甲：乙：丙。

令前后天数比为:x y ，9:(1518)2700:6300x x y +=，所以:3:1x y =，丙队可得203262700860093
⨯+⨯=⨯
5.有一个长方体的容器，侧面有一个小洞，如果水面超过了小洞，那么容器内的水将会以一
定的速度向外流出。

现在打开1个水龙头向容器内注水，注到一半的时候用了80分钟，又过了100分钟容器内恰好注满水。

已知水龙头注水的速度是小洞漏水速度的1.5倍。

试问：如果用2个龙头一起向容器内注水，需要多少分钟可以注满？
【详解】（1）小洞在中线以上，多的20分钟的进水量正好是放水量，20 1.530⨯=。

放水前
注了150分钟水，之后还放了30分钟水，符合题意。

前后进水速度比为1.511314
-=-，所以这30分钟在2个龙头下，只需3047.5÷=分钟就可以了，而前150分钟，也只需150275÷=分钟，那么总时间为82.5分钟。

（2）小洞在中线以下，差的20分钟是放水与不放水的时间差，由于放水与不放水的速度比为1.5111.53
-=，所以这20分钟正好是放水30分钟和不放水10分钟的区别。

那么全部过程中，只有10分钟不放水。

2个水龙头下，要花的总时间为102170447.5÷+÷=分钟。

6.有甲、乙两个容积相同的立方体水箱，在它们的侧面上分别有排水孔A 和B 。

A 孔和B 孔与底面的距离分别是水箱高度的56和12
，且在排水时速度相同。

现在以相同的速度一起向两水箱注水，并通过管道使A 孔排出的水直接流入乙箱，这样经过70分钟后，甲、乙两水箱恰好同时被注满。

试问：如果以上述的速度向乙箱注水，乙箱从空到满需要多少分钟？ 【详解】在12水箱高度以下，两个水箱排水速度一样，而在甲水箱超过56
时，乙水箱就相当于不排水了，所以甲水箱排水时间等于乙水箱排水时间，都是排了16
水箱，所以进水速度是排水速度的2倍。

如果不排水，灌满水箱需要时间为51702)6066
÷+⨯=（分钟，那么往乙灌水的话，需要时间为603090+=分钟
7.有一个正方体水箱，在某个侧面相同高度的地方开有3个大小相同的出水孔，用一个进水管给空水箱灌水。

如果3个出水孔全关闭，需要30分钟将水箱注满；如果打开1个出水孔，需要多用2分钟将水箱注满；如果打开2个出水孔，则需要35分钟将水箱注满。

请问：当3个出水孔全开的时候，多少分钟可以将水箱注满？
【详解】2分钟多注的水等于出水孔的出水量，5分钟多注的水等于2个出水孔的出水量。

令第一种情况下出水时间为x 分钟，22(3)5
x x =+，得12x =，令3个孔全开需要比30分钟多y 分钟注满，1223(122)y y
=+-，得10y =，所以需要40分钟才能注满水箱。

8.一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成56
时离去，结果恰好按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半；如果丙不来帮忙，仅由乙接替甲一直做下去，就会比计划推迟103
天完成；如果全由甲单独做，就会比计划提前6天完成。

已知乙的工作效率是丙的3倍。

请问：原计划工期是多少天？
【详解】丙来帮忙的时间为1011033÷=天，乙丙合作10天完成了511623
-=，所以乙效率为1111013340÷÷+=（），所以乙做了1120240÷=天，甲做的工作量为115110212012--⨯=，设计划工期为x 天，15(20)612x x -=-，得30x =，即原工期30天。