高等数学下期末2009-2010(含答案)——06-13试卷资料文档

高等数学下册试卷 2021．6．30
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一、填空题[共20分] 1、[4分]00
x y →→=
2、[4分]22L
x y ds +=⎰ , 其中222:L x y a +=
3、[4分] ]向量场()()2
23(2)A x y i xz y j y z k =+-+++的散度为 . 4、[4分] u =
在点()0,1处的du =
5、[4分]交换二次积分的积分次序()()()2
1
313
2
1
,,x x dx f x y dy dx
f x y dy -+=⎰⎰⎰⎰
二、[8分] 设22,y z f x x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，其中函数f 具有二阶连续偏导数, 求2
z x y ∂∂∂
三、[8分] 求函数()22,f x y x y =-在圆域224
x y +≤上的
最大值与最小值。

四、[8分] 求锥面z =被圆柱面222x y x +=割下部分的曲面面积
五、[8分] 计算2
a
dx
dy ⎰⎰
六、[8分]计算曲面积分I xyzdydz ydzdx zdxdy ∑
=++⎰⎰，其中∑为半球面
z =的上侧 七[7分] 计算曲线积分()()22
11L x dy ydx x y
---+⎰，其中L 表示包含点(0,1)A -内的简单闭
曲线,沿逆时针方向。

八、[7分]求如下初值问题()()2
111,10
yy y y y '''
⎧=+⎪⎨'==⎪⎩的解
九、[7分]求方程24x y y e ''-=的通解
十、 [6分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）证明阿贝尔定理：
若()0
000n n n a x
x ∞
=≠∑收敛, 则当0x x <
时,幂级数0
n
n n a x ∞=∑绝对收敛; 若10
n n n a x ∞
=∑发
散, 则当1x x >时,幂级数
n n n a x ∞
=∑发散. 十一、 [7分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）将函数
()()210f x x x π=-≤≤展开成余弦级数
十二、 [6分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）求幂级数13n
n
n x n
∞
=+∑的收敛半径和收敛域.
十、[6分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）计算二重积分D
xy dxdy ⎰⎰, 其
中D 是圆域222x y a +≤
十一、 [7分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）求由方程组
22
222
2320
z x y
x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数dy dx 及dz dx 十二、 [6分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）求二元函数22
z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度,并指出z 在该点沿哪个方向减少得最快?沿哪个方向z 的值不变?
参考答案:
一、(
)321
20
1
;2;3;;,6y
a dx dy
f x y dx π--⎰；二、
23
1222222422z y y y f f f x y x x x
∂=--∂∂； 三、最大值()2,04f ±=，最小值()0,24f ±=-
；五、28
9
a ；
六、343R π；七、2π；八、()1112x x y e e --=+；九、222121
4
x x x y c e c e xe -=++；
（非化工类：十、参看教材证明；十一、仿教材例子；十二、仿教材例子）
（化工类：十、412a ；十一、()()16,21313x z dy dz x
dx y z dx z +=-=
++；十二、
方向导数5-，梯度{}3,3-，减少最快方向{}3,3-，值不变方向{}1,1±）。