2015年全国高考理科数学分类汇编——9圆锥曲线解读

2015年全国高考理科数学分类汇编——9圆锥曲线
1.【2015高考福建，理3】若双曲线22
:
1916
x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3 【答案】B
【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．
【考点定位】双曲线的标准方程和定义．
【评注】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运算的准确性．
2.【2015高考四川，理5】过双曲线2
2
13
y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）
(A)
3
(B) (C)6 （D ）【答案】D 【解析】
双曲线的右焦点为(2,0)F ，过F 与x 轴垂直的直线为2x =，渐近线方程为2
2
03
y x -=，
将2x =代入2
2
03
y x -=得：212,||y y AB ==±∴=.选D. 【考点定位】双曲线.
【评注】双曲线22
221x y a b
-=的渐近线方程为22220x y a b -=，将直线2x =代入这个渐近线方
程，便可得交点A 、B 的纵坐标，从而快速得出||AB 的值.
3.【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率5
4
e =，且其右焦点()25,0F ，
则双曲线C 的方程为（ ）
A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14
32
2=-y x 【答案】B ．
【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为5
4
c e a =
=，所以5c =，4a =，2
2
2
9b c a =-=所以所求双曲线方程为22
1169
x y -
=，故选B ． 【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质．
【评注】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解能力，由离心率和其右焦点易得a ，c 值，再结合双曲线222b c a =-可求，此题学生易忽略右焦点信息而做错，属于容易题．
4.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：22
12
x y -=上的一点，12
,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<u u u u r u u u u r
，则0y 的取值范围是( )
（A ）（-
33
） （B ）（-
66
）
（C ）（3-，3） （D ）（） 【答案】A
【解析】由题知12(F F ，22
0012
x y -=，所以12MF MF •u u u u r u u u u r =
0000(,),)x y x y -•- =2220
003310x y y +-=-<，解得033
y -<<，故选A.
【考点定位】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.
【评注】本题考查利用向量数量积的坐标形式将12MF MF •u u u u r u u u u r
表示为关于点M 坐标的函数，
利用点M 在双曲线上，消去x 0，根据题意化为关于0y 的不等式，即可解出0y 的范围，是基
础题，将12MF MF •u u u u r u u u u r
表示为0y 的函数是解本题的关键.
5.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e >
B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，
12e e <
C ．对任意的,a b ，12e e <
D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，
12e e > 【答案】D
【解析】依题意，2
221)(1a
b a b a e +=+=，
2222)(1)()(m a m b m a m b m a e +++=++++=， 因为)
()
()(m a a a b m m a a am ab bm ab m a m b a b +-=+--+=++-，由于0>m ，0>a ，0>b ，
所以当b a >时，10<<
a b ，10<++<m a m b ，m a m b a b ++<，2
2)()(m
a m
b a b ++<，所以12e e <； 当b a <时，1>a b ，1>++m a m b ，而m a m b a b ++>，所以2
2)(
)(m
a m
b a b ++>，所以12e e >. 所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >. 【考点定位】双曲线的性质，离心率.
【评注】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．分类讨论的时应做到：分类不重不漏；标准要统一，层次要分明；能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 6.【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线2
4y x =相交于A ，B 两点，与圆
()
()2
2250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，
则r 的取值范围是（ ）
（A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24， 【答案】D 【解析】
显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l 的斜率存在时，设斜率为k .
设11221200(,),(,),,(,)A x y B x y x x M x y ≠，则2
11
222
44y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，相减得
121212()()4()y y y y x x +-=-.由于12x x ≠，所以
1212
12
22y y y y x x +-⋅=-，即02ky =.圆心为(5,0)C ，由CM AB ⊥得00000
1,55
y k ky x x -⋅
=-=--，所以0025,3x x =-=，即点M 必在直线3x =上.将3x =代入2
4y x =
得2
012,y y =∴-<<.因为点M 在圆
()
()2
2250x y r r -+=>上，所以22222000(5),412416x y r r y -+==+<+=.又
2044y +>（由于斜率不存在，故00y ≠，所以不取等号），所以2
04416,24y r <+<∴<<.
选D.
【评注】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5，那么必有两条直线（即与x 轴垂直的两条切线）满足题设，
因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用“点差法”.在本题中利用点差法可得，中点必在直线3x =上，由此可确定中点的纵坐标0y 的范围，利用这个范围即可得到r 的取值范围.
7.【2015高考重庆，理10】设双曲线22
221x y a b
-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的
垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC
的距
离小于a （ ） A 、(1,0)(0,1)-U
B 、(,1)(1,)-∞-+∞U
C 、(U
D 、(,)-∞+∞U 【答案】A
【解析】由题意22
(,0),(,),
(,)b b A a B c C c a a
-，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，
由
BD AC
⊥得
2201b b a a c x a c
-⋅=---，解得4
2
()
b c x a c a -=-，所以
42()b c x a a c a c a -=<+=+-，所以4222
2b c a b a <-=221b a ⇒<01b a
⇒<<，
因此渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)-U ，选A .
【考点定位】双曲线的性质.
【名师点晴】求双曲线的渐近线的斜率取舍范围的基本思想是建立关于,,a b c 的不等式，根据已知条件和双曲线中,,a b c 的关系，要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于,a b 的不等关系，解不等式可得所求范围．解题中要注意椭圆与双曲线中,,a b c 关系的不同．
8.【2015高考天津，理6】已知双曲线()222210,0x y a b a b
-=>> 的一条渐近线过点( ，
且双曲线的一个焦点在抛物线2
y = 的准线上，则双曲线的方程为( )
（A ）
2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22
143
x y -= 【答案】D
【解析】双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的渐近线方程为b
y x a
=±，由点(在渐近
线上，所以
2
b a =，双曲线的一个焦点在抛物线2y =准线方程x =
c =2,a b ==，所以双曲线方程为22
143
x y -=，故选D.
【考点定位】双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质.
【评注】本题主要考查双曲线的定义、标准方程及几何性质，同时也学生的考查运算能.把双曲线的几何性质与抛物线的几何性质相结合，找出双曲线中,,a b c 的关系，求出双曲线方程，体现圆锥曲线的统一性.是中档.
9.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）
（A ）22
14y x -= （B ）22
14x y -= （C ）2214
y x -= （D ）2
2
14
x y -=
【答案】C
【解析】由题意，选项,A B 的焦点在x 轴，故排除,A B ，C 项的渐近线方程为2
204
y x -=，
即2y x =±，故选C. 【考点定位】1.双曲线的渐近线.
【评注】双曲线确定焦点位置的技巧：2
x 前的系数是正，则焦点就在x 轴，反之，在y 轴；
在双曲线22221x y a b -=的渐近线方程中,b a
a b 容易混淆，只要根据双曲线22221x y a b -=的
渐近线方程是22
220x y a b
-=，便可防止上述错误.
10.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线2
4y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）
A.
11
BF AF -- B.
2
2
11
BF AF -- C.
11
BF AF ++ D.
2
2
11
BF AF ++
【答案】A. 【解析】
1
1--===∆∆AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF ，故选A. 【考点定位】抛物线的标准方程及其性质
【评注】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.
11.【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）
A ．5
B ．2
C ．3
D ．2 【答案】D
【解析】设双曲线方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，如图所示，AB BM =，
0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，
3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即
222c a =，所以2e =，故选D ．
【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质．
【评注】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形知识，正确表示点M 的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键，属于中档题．
12.【2015高考北京，理10】已知双曲线()2
2210x y a a
-=>30x y +=，则a =
．
【答案】
33
【解析】双曲线()2
2210x y a a -=>的渐近线方程为1y x a =±，
303x y y x +=⇒=，0a >Q ,则1
3
3,3
a a
-
==
【考点定位】本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.
【评注】本题考查双曲线的几何性质，重点考查双曲线的渐近线方程，本题属于基础题，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的“1”改“0”，利用已知渐近线方程，求出参数a 的值.
【2015高考上海，理5】抛物线2
2y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】2
【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即1, 2.2
p
p == 【考点定位】抛物线定义
【评注】标准方程中的参数p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p ＞0恰恰说明定义中的焦点F 不在准线l 上这一隐含条件；参数p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p 的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
【2015高考湖南，理13】设F 是双曲线C ：22
221x y a b
-=的一个焦点，若C 上存在点P ，
使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 . 【答案】5. 【解析】
试题分析：根据对称性，不妨设)0,(c F ，短轴端点为),0(b ，从而可知点)2,(b c -在双曲线
上，
∴5142222==⇒=-a
c
e b b a c . 【考点定位】双曲线的标准方程及其性质.
【评注】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的
信息进行
等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用2
2
2
b a
c +=，焦点坐标，渐
近线方程等性质，
也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.
13.【2015高考浙江，理9】双曲线2
212
x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ． 【答案】32，x y 2
2±
=. 【解析】由题意得：2=a ，1=b ，31222=+=+=b a c ，∴焦距为322=c ，
渐近线方程为x x a b y 2
2±=±
=. 【考点定位】双曲线的标准方程及其性质
【评注】本题主要考查了双曲线的标准方程及其焦距，渐近线等相关概念，属于容易题，根
据条件中
的双曲线的标准方程可以求得a ，b ，c ，进而即可得到焦距与渐近线方程，在复习时，要
弄清各个圆锥
曲线方程中各参数的含义以及之间的关系，避免无谓失分.
14.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆
22
1164
x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】22
325()2
4
x y -+=
【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则2
2
2
(4)2a a -=+，解得3
2
a =，故圆的方程为22
325()2
4
x y -+=
. 【考点定位】椭圆的几何性质；圆的标准方程
【评注】本题考查椭圆的性质及圆的标准方程，本题结合椭圆的图形可知圆过椭圆的上下顶点与左顶点（或右顶点），有圆的性质知，圆心在x 轴上，设出圆心，算出半径，根据垂径定理列出关于圆心的方程，解出圆心坐标，即可写出圆的方程，细心观察圆与椭圆的特征是解题的关键.
15.【2015高考陕西，理14】若抛物线2
2(0)y px p =>的准线经过双曲线22
1x y -=的一
个焦点，则p = ．
【答案】
【解析】抛物线2
2y px =（0p >）的准线方程是2
p x =-
，双曲线22
1x y -=的一个焦
点()
1F ，
因为抛物线2
2y px =（0p >）的准线经过双曲线22
1x y -=的一个焦点，
所以2
p
-
=，解得p = 【考点定位】双曲线的几何性质和抛物线标准方程
【名师点晴】本题主要考查的是抛物线的简单几何性质和双曲线的简单几何性质，属于容易题．解题时要注意抛物线和双曲线的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是抛物线的准线方程和双曲线的焦点坐标，即抛物线2
2y px =（0p >）的
准线方程是2
p
x =-，双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左焦点()1F ,0c -，右焦点
()2F ,0c ，其中222c b a =+．
【2015高考上海，理9】已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P
和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 ．
【答案】y x =±
【解析】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，
即2C 的渐近线方程为y x = 【考点定位】双曲线渐近线
【评注】(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分b m a =
或a
m b
=讨论． (2)与双曲线22
221x y a b
-=共渐近线的可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；(3)若渐近线方程为b y x a =±，
则可设为22
22(0)x y a b
λλ-=≠；(4)相关点法求动点轨迹方程．
16.【2015高考山东，理15】平面直角坐标系xoy 中，双曲线()
22
122:10,0x y C a b a b
-=>>
的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则
1C 的离心率为 .
【答案】
3
2
【解析】设OA 所在的直线方程为b y x a =
,则OB 所在的直线方程为b y x a
=-, 解方程组22b y x
a x py
⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得：2
222pb x a pb y a ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以点A 的坐标为2222,pb pb a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ , 抛物线的焦点F 的坐标为:0,
2p ⎛
⎫
⎪⎝⎭
.因为F 是ABC ∆ 的垂心，所以1OB AF k k ⋅=- , 所以，2222252124pb p b b a pb a a a ⎛⎫
- ⎪
-=-⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ . 所以，222
2293
142
c b e e a a ==+=⇒= .
【考点定位】1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.
【评注】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质，意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是突破此题的关键.
17.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线12
2
=-y x 右支上的一个动点。

若点P
到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为 .
【解析】设(,),(1)P x y x ≥，因为直线10x y -+=平行于渐近线0x y -=，所以点P 到直线
01=+-y x 的距离恒大于直线10x y -+=与渐近线0x y -=之间距离，因此c 的最大值为
直线10x y -+=与渐近线0x y -=
【考点定位】双曲线渐近线，恒成立转化
【名师点晴】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形
结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：(1)与双曲线22
221x y a b
-=共渐近线的可设
为2222(0)x y a b λλ-=≠；(2)若渐近线方程为b y x a =±，则可设为22
22(0)x y a b λλ-=≠；(3) 双
曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b ；(4) 22
221(0.0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜
率为b a =可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置. 18.【2015高考新课标2，理20】（本题满分12分）
已知椭圆2
2
2
:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．
(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(
,)3
m
m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．
【答案】(Ⅰ)详见解析；
（Ⅱ）能，4
4+
【解析】(Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． 将
y kx b
=+代入
222
9x y m +=得
2222(9)20
k x kbx b m +++-=，故
122
29
M x x kb
x k +=
=-+， 2
99
M M b
y kx b k =+=
+．于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-，即9OM k k ⋅=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线l 过点(
,)3
m
m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,
y x k
x y m ⎧=-⎪
⎨⎪+=⎩
得222
2981P
k m x k =+，
即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，
因此2
(3)
3(9)
M mk k x k -=
+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =
=
2
(3)
23(9)
mk k k -⨯
+
．解得14k =
24k =0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l 的斜率为
4
4+OAPB 为平行四边形．
【考点定位】1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．
【评注】(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点,A B 的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB 的中点和直线l 的斜率；设直线l 的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB 的中点，并寻找两条直线斜率关系；（Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线OM 方程并与椭圆方程联立，求得M 坐标，利用2P M x x =以及直线l 过点(
,)3
m
m 列方程求k 的值． 19.【2015江苏高考，18】（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>
的离心率为2，
且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；
（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于
的方程.
【答案】（1）2
212
x y +=（2）1y x =-或1y x =-+．
【解析】
试题分析（1
）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为
2
，二是右焦点F 到左准线l 的距离为3，解方程组即得（2）因为直线AB 过F ，所以求直线AB 的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC=2AB 列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB 两点坐标，利用两点间距离公式求出AB 长，再根据中点坐标公式求出C 点坐标，利用两直线交点求出P 点坐标，再根据两点间距离公式求出PC 长，利用PC=2AB 解出直线AB 斜率,写出直线AB 方程.
试题解析：（1
）由题意，得c a =且23a c c +=，
解得a =
1c =，则1b =，
所以椭圆的标准方程为2
212
x y +=．
（2）当x AB ⊥
轴时，AB =
C 3P =，不合题意．
当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,x y A ，()22,x y B ， 将AB 的方程代入椭圆方程，得(
)()2
2
22124210k
x
k x k +-+-=，
则
1,2
x
=
，C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭
，且
)22
112k k
+AB =
=
=
+．
若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．
从而0k ≠，故直线C P 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫
+=-- ⎪++⎝⎭
，
则P 点的坐标为()22522,12k k k ⎛⎫
+ ⎪- ⎪+
⎝
⎭，从而(()22231C 12k k k +P =+．
因为C 2P =AB ，所以
(
(
)
)222
2
23111212k k k k k
++=
++，解得1k =±．
此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+． 【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系
【名师点晴】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
20.【2015高考福建，理18】已知椭圆E ：22
221(a 0)x y b a b +=>>
过点
，且离心率为
． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)设直线1
x my m R =-?，()交椭圆E 于A ，B 两点， 判断点G 9
(4
-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．
【答案】(Ⅰ)
22142x y +=；(Ⅱ) G 9
(4
-,0)在以AB 为直径的圆外． 【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得
222,b c a a b c ì=ïïï=í
ïï=+ïî
解得2a b c ì=ïï
=íï
ïî 所以椭圆E 的方程为
22
142
x y +=． (Ⅱ)设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．
由22221(m 2)y 230,142
x my my x y ì=-ï
+--=íï+=ïî得
所以12122223y +y =
,y y =m 2m 2m ++，从而0
22
y m 2=+. 所以2222222
00000095525GH|()y (my )y (m +1)y +my +44216
x =++=++=.
2222
2121212()(y )(m +1)(y )|AB|444
x x y y -+--== 22221212012(m +1)[(y )4y ]
(m +1)(y y )4
y y y +-=
=-, 故
22222
2
012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)
m m y +-=++=-+=>+++ 所以|AB||GH|>
2，故G 9
(4
-,0)在以AB 为直径的圆外． 解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设点1122(y ),B(,y ),A x x ，则112299
GA (,),GB (,).44
x y x y =+=+u u u r u u u r
由22221
(m 2)y 230,1
42x my my x y ì=-ï+--=íï+=ïî得所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ++，
从而121212129955GA GB ()()(my )(my )4444
x x y y y y =+++=+++u u u r u u u r g
222
12122252553(m +1)25(m +1)y (y )4162(m 2)m 216m y m y =+++=-+++ 22172
016(m 2)
m +=>+
所以cos GA,GB 0,GA GB 狁
>u u u r u u u r u u u r u u u r
又，不共线，所以AGB Ð为锐角. 故点G 9(4
-,0)在以AB 为直径的圆外．
【考点定位】1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系． 【评注】本题通过判断点和圆的位置关系来考查中点问题，利用韦达定理确定圆心，然后计算圆心到点G 的距离并和半径比较得解；也可以构造向量，通过判断数量积的正负来确定
点和圆的位置关系：0GA GB ⋅<u u u r u u u r ⇔点G 在圆内；0GA GB ⋅>u u u r u u u r
⇔点G 在圆外；0GA GB ⋅=u u u r u u u r
⇔点G 在圆上，本题综合性较高，较好地考查分析问题解决问题的能力． 21.【2015高考浙江，理19】已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ，B 关于直线12
y mx =+
对称．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．
【答案】（1）6m <或63m >；（2）2
2.
试题分析：（1）可设直线AB 的方程为1y x b m =-+，从而可知2
2121x y y x b
m ⎧+=⎪⎪
⎨⎪=-+⎪⎩
有两个不同
的解，再由AB 中点也在直线上，即可得到关于m 的不等式，从而求解；（2）令1
t m
=
，可 将AOB ∆表示为t 的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解.
试题解析：（1）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m =-+，由22
12
1x y y x b
m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
，
消去y ，得22
2112()102b x x b m m +-
+-=，∵直线1y x b m =-+与椭圆2212x y +=有两 个不同的交点，∴2
24
220b m
∆=-++>，①，将AB 中点22
22(,)22mb m b M m m ++代入直线 方程1
2
y mx =+解得22
22m b m +=-，②。

由①②得6m <或6m >；（2）令
1(t m =
∈U
，则2||2
AB t =+
，且O 到直线AB
的距离为21
t d +
=
，设AOB ∆的面积为()S t ，
∴1()||22S t AB d =
⋅=≤，当且仅当212
t =时，等号成立，故AOB ∆
. 【考点定位】1.直线与椭圆的位置关系；2.点到直线距离公式；3.求函数的最值.
【评注】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系等知识点，在直线与椭圆相交背景下求三角
形面积的
最值，浙江理科数学试卷在2012年与2013年均有考查，可以看出是热点问题，将直线方程
与椭圆方程联
立消去一个字母后利用韦达定理以及点到直线距离公式建立目标函数，将面积问题转化为求
函数最值问
题，是常规问题的常规考法，应熟练掌握，同时，需提高字母运算的技巧.
22.【2015高考山东，理20】平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()
22
22:10x y C a b a b
+=>>
的离心率为
2
，左、右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆22
22:144x y E a b
+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭
圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .
( i )求
OQ OP
的值；
（ii ）求ABQ ∆面积的最大值.
【答案】（I ）2
214
x y +=；（II ）( i )2；（ii ）63 . 【解析】
试题分析：（I ）根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定,a b 的值，从而得到椭圆的方程；（II ）（i ）设()00,P x y ，
OQ OP
λ= ，由题意知()00,Q x y λλ--，然后利用这两点分别在
两上椭圆上确定λ 的值; （ii ）设()()1122,,,A x y B x y ，利用方程组221164
y kx m
x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩ 结合韦
达定理求出弦长AB ，选将OAB ∆的面积表示成关于,k m 的表达式
222221641
2k m m S m x x +-=⋅-=
22
22
241414m m k k ⎛⎫=-⋅ ⎪++⎝⎭
，然后，令2
2
14m t k =+，利用一元二次方程根的判别式确定的范围，从而求出OAB ∆的面积的最大值，
并结合（i ）的结果求出△
面积的最大值.
试题解析：（I ）由题意知24a = ，则2a = ,又
22
23c a c b a =-= 可得1b = , 所以椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=. （II ）由（I ）知椭圆E 的方程为
22
1164
x y +=, （i ）设()00,P x y ，OQ
OP
λ= ，由题意知()00,Q x y λλ-- 因为22
00
14x y +=, 又
()()2
2
00116
4
x y λλ--+
= ，即
2
220
0144x y λ⎛⎫+= ⎪
⎝⎭
,所以2λ= ，即2OQ OP = . （ii ）设()()1122,,,A x y B x y 将y kx m =+代入椭圆E 的方程，
可得()
2221484160k x kmx m +++-=
由0∆> ，可得2
2
416m k <+ …………………………①
则有2121222
8416
,1414km m x x x x k k -+=-=++
所以122
14x x k
-=+ 因为直线y kx m =+与轴交点的坐标为()0,m
所以OAB ∆的面积221
2S m x x =⋅-=
==令22
14m t k
=+ ,将y kx m =+ 代入椭圆C 的方程可得()222148440k x kmx m +++-= 由0∆≥ ，可得2
2
14m k ≤+ …………………………………………② 由①②可知01t <≤
因此S == ,故S ≤
当且仅当1t = ，即22
14m k =+ 时取得最大值
由（i ）知，ABQ ∆ 面积为3S ,所以ABQ ∆面积的最大值为 .
【考点定位】1、椭圆的标准方程与几何性质；2、直线与椭圆位置关系综合问题；3、函数的最值问题.
【评注】本题考查了椭圆的概念标准方程与几何性质以及直线与椭圆的位置关系，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，在得到三角形的面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键.
23,【2015高考安徽，理20】设椭圆E 的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，点O 为坐标原点，
点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，
直线OM
的斜率为
10
. （I ）求E 的离心率e ；
（II ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为
7
2
，求 E 的方程.
【答案】（I
）5
（II ）
221459x y +=. 【解析】（I ）由题设条件知，点M 的坐标为2
1(,)33a b
，又10OM k =
，从而210
b a =，
进而得,2a c b ==
=
，故5
c e a =
=. （II ）由题设条件和（I ）的计算结果可得，直线AB
1y
b
+=，点N 的坐
标为1,)2b -，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17
(,)2
x ，则线段NS 的中点T
的坐标为117
,)244
x b +-+.又点T 在直线AB 上，且1NS AB k k ⋅=-,
从而有117
44171
x b b b +-+=⎨+⎪=⎪
⎪⎪⎩解得3b =，所
以a =，故椭圆E 的方程为22
1459
x y +=. 【考点定位】1.椭圆的离心率；2.椭圆的标准方程；3.点点关于直线对称的应用.
【评注】椭圆一直是解答题中考查解析几何知识的重要载体，不管对其如何进行改编与设计，
抓住基础知识、考基本技能是不变的话题.解析几何主要研究两类问题：一是根据已知条件确定曲线方程，二是利用曲线方程研究曲线的几何性质.曲线方程的确定可分为两
类：若已知曲线类型，则采用待定系数法；若曲线类型未知时，则可利用直接法、定义法、相关点法等求解.本题是第一种类型，要利用给定条件求出,a b .
24.【2015高考天津，理19】（本小题满分14分）已知椭圆22
22+=1(0)x y a b a b >>的左焦点
为(,0)F c -,离心率为3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422
+4
b x y =截
得的线段的长为c ，|FM|=
3
. (I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；
(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP ，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.
【答案】(I) (II) 22132x y += ；(III) ,⎛-∞ ⎝⎭⎝⎭U .
【解析】(I) 由已知有2213
c a =，又由222a b c =+，可得223a c =，22
2b c =，
设直线FM 的斜率为(0)k k >，则直线FM 的方程为()y k x c =+，由已知有
2
22
22c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，解得3k =(II)由(I)得椭圆方程为22
22132x y c c
+=，直线FM 的方程为()y k x c =+，两个方程联立，消
去y ，整理得
223250x cx c +-=，解得5
3
x c =-或x c =，因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为
,3c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由3FM ==，解得1c =，所以椭圆方程为22132
x y += (III)设点P 的坐标为(,)x y ，直线FP 的斜率为t ，得1
y
t x =
+，即(1)y t x =+(1)x ≠-,
与椭圆方程联立22(1)13
2y t x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得222
23(1)6x t x ++=
，又由已知，得
t => 3
12
x -<<-或10x -<<， 设直线OP 的斜率为m ，得y
m x
=
，即(0)y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得22223
m x =
-. ①当3,12x ⎛⎫
∈-
- ⎪⎝⎭
时，有(1)0y t x =+<，因此0m >
，于是m =
3m ⎛∈ ⎝⎭
②当()1,0x ∈-时，有(1)0y t x =+>，因此0m <
，于是m =
,3m ⎛∈-∞- ⎝
⎭
综上，直线OP
的斜率的取值范围是,333⎛⎛⎫
-∞- ⎪⎝⎭⎝⎭
U
【考点定位】1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式. 【评注】本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系.由勾股定理求圆的弦长，体现数学数形结合的重要数学思想；用数字来刻画几何图形的特征，是解析几何的精髓，联立方程组，求出椭圆中参数的关系，进一步得到椭圆方程；构造函数求斜率取值范围，体现函数在解决实际问题中的重要作用，是拨高题.
25.【2015高考重庆，理21】如题（21）图，椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分
别为12,,F F 过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥
（
1）若1222PF PF ==
（2）若1,PF PQ =求椭圆的离心率
.e 【答案】（1）
22
+y =1
4
x ；（2-【解析】
试题解析：（1）本题中已知椭圆上的一点到两焦点的距离，因此由椭圆定义可得长轴长，即参数a 的值，而由1PQ PF ⊥，应用勾股定理可得焦距，即c 的值，因此方程易得；（2）要求椭圆的离心率，就是要找到关于,,a b c 的一个等式，题中涉及到焦点距离，因此我们仍然应
用
椭
圆
定
义
，
设
1PF m
=，则
22PF a m
=-，
22(2)22QF PQ PF m a m m a =-=--=-，于是有12242QF a QF a m =
-=-，这
样在1Rt PQF ∆中求得2(2m a =-，在12Rt PF
F ∆中可建立关于,a c 的等式，从而求得离心率
.
(1)由椭圆的定义，((
122|PF ||PF |224a a =+=+-=，故=2.
设椭圆的半焦距为c ，由已知12PF PF ⊥，因此
122|FF |c
==
即 从而b 1=
故所求椭圆的标准方程为22
+y =14
x .。