粘性流体力学.ppt

e

2
dVv

Vv F VdVv
V
Vv
dVv
Vv kT dVv Vv qdVv
(e)
同样，由于流场中各种物理量分布都是连续的，体
积Vv可以任选，故得

D Dt
e

V2 2


F
V


V

+



V


V

=
F
-p
+




V

+


2


对上式等号两边取旋度，得
t
+



V
=

F
-



1
p

+


1



V

+


1


2



又因 + V = V - V+ V - V

e

V2 2
dVv


Vv



D Dt
e

V2 2


1 dVv
e

V2 2

D Dt
dVv



dVv
(b)

Vv

D Dt
e

V2 2
dVv
根据推广的高斯定理，式（a）等号右边的两个曲面 积分项可改写为
了
- x y z t
1.4
t
根据质量守恒定律，在 t 时间内从控制体净 流出的总质量应等于在控制体内减少的质量。
由上述公式可得


u
x

+

v
y
+

w
z



x
y
z
t
=
-
x y z t
t
1.5
令 x， y， z 0 t， 0 并消去两端的x y z t
3.粘性流体的能量方程
在流场中，任取一团运动着的流体，其周围为封闭
曲面A，该曲面所包围的流体体积为Vv。根据能量 守
恒定律，这团流体的动能和内能对时间的变化率等
于单位时间内质量力和表面力所作的功与系统内热
DDt能Vv增 量e 的V22总dV和v ，V可v F表V示dV为v
等于静压强。 则，推导得纳维-斯托克斯方程为

Dvx Dt
=
fx -
p x
+
x


2
vx x

2 3

V


y


vy x

vx y

z


vz x

vx z

上述涡量传输方程变化为
D V v V
Dt
即
D V v
Dt
这就是质量力有势情况下，不可压缩粘性流体运动
时的涡量传输方程。
An VdA An VdA An V dA Vv V dVv (c)
k T dA
A n
Vv kT dVv
(d )
将（b）（c）（d）式代入（a）式，得
Vv
D V2
Dt

在 t 时间内通过控制体左侧面流入控制体的 流体质量为 u y z t 通过右侧面流出控制体的流体质量为
u
u+

x
x y z t

这里对 u 运用了泰勒级数展开，并忽略二阶 以上小量。沿x方向净流出控制体的流体质量 为
u
u

Dvy Dt
=
fy-
p y
+
x


vy x

vx y

y



2
vy y

2 3

V


z



vz y

vy z


Dvz Dt
=
fz -
p z
u+

x
x y z t - u y z t =

x x y z t 1.1
同理，可分别计算沿y方向和z方向净流出控
制体的质量分别为 v x y z t
1.2
y
w x y z t
1.3
z
同时，在 t 时间内控制体内的流体质量减少
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z

fx

1

p x



2vx x2

2vx y2
2vx z 2

vy t
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z

fy

1

p y



2vy x2

2vy y2
方程；所包含的未知函数有ρ 、V、F、p、μ 、λ 、T、k、e 和q，而方程数目仅五个，因此还需补充其他假设条件和物
理关系式使方程组封闭。 初始条件： 初始条件要求给定初始时刻t=t0时流场中的函数值。t=0时，
给定 v v x, y, z, p px, y, z
边界条件（列出三种最常见的）：
t
t
= D - V+ V
Dt
整理的
D Dt
-
V+
V
=
F
-




1
p

+



1



V
+


1

2

该式称为一般形式的涡量传输方程。
如果质量力有势，流体为不可压缩的粘性流体，则

2
v
v r2
2 r2
vr

vz t
vr
vz r
v r
vz

vz
vz z

fz

1

p z
2vz
式中，
2

1 r
r

r
r


1 r2
2
2
2
z 2
r, , z ——空间点的柱坐标
vr ,v ,vz ——速度的三个坐标分量
+
x


vz x

vx z


y


vy z

vz y

z


2
vz z

2 V 3

当流体为均质不可压缩的牛顿流体时，上述方程组 可进一步简化为（直角坐标系）
vx t
vr t
vr
vr r
v r
vr

v2 r
vz
vr z

fr
1

p r



2
vr

vr r2
2 r2
v


v t
vr
v r
v r
v

vr v r

vz
v z

f

1

1 r
p




2vy z 2

vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z

fz

1

p z



2vz x2

2vz y2

2vz z 2

矢量式为

V t
V


V



f
p

2V
不可压缩粘性流体的N-S方程在柱坐标系下形式为
从上式可得
+ u + v + w = 0
1.6
用场论符号表示为： t x y z
+ v = 0
t
利用散度公式 v = v + v
质点 导数表达式，（1D.7）+式 可v =改0写为
Dt
1.7


kT


q
(f)
该式即微分形式的能量方程
4.粘性流体运动方程组的封闭性和定解条件
所谓封闭性问题是指方程组所具有的方程数目是否等于 所出现的未知函数的数目的问题。只有当这两者相等时，对 于正确规定的定解条件，方程组的解才可能既存在又唯一， 这是一般的数学原则。
流体动力学的方程组包含有质量方程、动量方程和能量
并运用
1.8
式（1.7）和（1.8）均为微分形式的三维流 体连续性方程。
2.动量守恒方程
为了推到牛顿流体一般的运动方程，斯托克斯将牛 顿粘性定律从一维推广到三维，提出3个假设： （1）应力与变形率成线性关系； （2）流体是各向同性的，应力与变形率的关系与坐
标系的选择无关； （3）当角变形率为零时，即流体静止时，法向应力

V=
V t
+

V 2
2
+



V


V
则运动方程可改写为


V t
+

V 2
2

+


V


V

=
F
+




该式称为葛罗米柯—兰姆运动微分方程。根据广义 牛顿内摩擦定律可将上式改写为


V t
+

V 2
2
粘性流体力学
粘性流体力学的基本方程包括： 质量守恒方程（连续性） 动量守恒方程（牛顿第二定律） 能量守恒方程（热力学第一定律） 粘性流体运动的涡量传输方程
1.质量守恒方程
在空间流场中以任取的一点M（x，y，z）为基
本点，以 x， y， z 为边长作
正长方体体积元为控制体， 如右图所示。设流体的速度、 密度均是欧拉变量x，y，z， t的函数，现考察沿x方向通 过控制体的质量流量。

A
n
VdA

T k dA A n
Vv qdVv
(a)
A k T / ndA
式中：
导
表示单位时间内通过曲面A由于热传
传入的热量；q表示由于热辐射或其它原因单位时间内传给
根据质量守恒，等号左边可改写为
D
Dt
Vv


e

V2 2
dVv

Vv
D Dt


静止固壁： v 0 （粘附条件）
运动固壁： v流 v固
自由界面上：pnn p0 , pij 0i j
即在自由界面上，法向应力等于自由界面上的压力，切向应
力为零。
对于温度场，还可以有温度边界条件，即
或
qw



k
T n
w
T Tw
式中 Tw 是物面上的温度。qw 为通过单位面积传递给流 体 T / n
的热量。
为沿物面外法线方向的温度梯度。
5.粘性流体运动的涡量传输方程
为了讨论漩涡在粘性流体中运动的性质和规律，
有必要建立涡量传输方程。涡量传输方程是从运动
方程派生出来的，便于说明粘性流体中涡旋的产生、
发展和衰减的现象。
根据数学中的场论知识，速度矢量V的随体导数
可写为
DV Dt
=
V t
+

V