必修5不等关系(含答案)

不等式
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1.不等关系
了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．一元二次不等式
(1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．
(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
3．二元一次不等式组与简单线性规划问题
(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
4．基本不等式：ab≤a＋b
2(a≥0，b≥0)
(1)了解基本不等式的证明过程．
(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题
不等关系与不等式
[考点梳理]
1．两个实数大小的比较
(1)a＞b⇔a－b________；(2)a＝b⇔a－b________；(3)a＜b⇔a－b________.
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔__________；
(2)传递性：a>b，b>c⇒__________；
(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c；
(4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________，不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________；
(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________；
※(6)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d；
(7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒__________；
※(8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒a
c＞
b
d；
※(9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒1
a＜
1
b；
(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________；
(11)不等式的开方：a>b>0⇒______________．
※注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；
2．(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．
自查自纠：
1．＞0＝0＜0
2．(1)b<a(2)a>c(3)>(4)ac>bc ac<bc
(5)a＋c>b＋d(7)ac>bd
(10)a n>b n(n∈N且n≥2)
(11)n a >n b (n ∈N 且n ≥2) [基础自测]
)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )
A.1x 2＋1＞1y 2＋1
B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)
C ．sin x ＞sin y
D ．x 3＞y 3 解：根据指数函数的性质得x ＞y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．故选D.
已知a ＞0，b ＞0，则a a b b 与a b b a 的大小关系为( )
A ．a a b b ≥a b b a
B ．a a b b ＜a b b a
C ．a a b b ≤a b b a
D ．与a ，b 的大小有关
解：不妨设a ≥b ＞0，则a b ≥1，a －b ≥0.a a b b a b b a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a b a －b ≥1，即a a b b ≥a b b a .同理当b ＞a ＞0时，亦有a a b b ≥a b b a .故选A.
已知a ＝27，b ＝6＋22，则a ，b 的大小关系是a b.
解：由于a ＝27，b ＝6＋22，平方作差得a 2－b 2＝28－14－83＝14－83＝8⎝ ⎛⎭
⎪⎫74－3＞0，从而a ＞b.故填＞.
若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋b c ＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d
－c )＞b (d －c )中成立的是________(填序号)．
解：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①错误．
∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，
∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bd cd ＜0，故②正确．
∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③正确．
∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④正确．故填②③④.
[典例解析]
类型一 建立不等关系
设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]
＝n 同时成立．．．．
，则正整数n 的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
解：因为[x ]表示不超过x 的最大整数．由[t ]＝1得1≤t <2，由[t 2]＝2得2≤t 2<3，由[t 4]＝4得4≤t 4<5，所以2≤t 2<5，由[t 3]＝3得3≤t 3<4，所以6≤t 5<45，由[t 5]＝5得5≤t 5<6，与6≤t 5<45矛盾，故正整数n 的最大值是4.故选B.
小结：解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．本例[x ]表示不超过x 的最大整数，故由[x ]＝k ，可得k ≤x <k ＋1，再由多个不等式结合不等式的性质找到正整数n 的最大值．
用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，
使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的1k (k ∈N *)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，试从中提炼出一个不等式组．(钉帽厚度不计) 解：假设钉长为1，第一次受击后，进入木板部分的铁钉长度是47；第二次受击后，该次铁钉进入木板部分的长度为47k ，此时进入木板部分的铁钉的总长度为47＋47k ，有47＋47k
＜1；第三次受击后，该次钉入木板部分的长度为47k 2，此时应有47＋47k ＋47k 2，有47＋47k ＋47k
2≥1. 所以可从中提炼出一个不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧47＋47k ＜1，47＋47k ＋47k 2≥1.
类型二 不等式的性质
已知下列三个不等式①ab ＞0；②c a ＞d b ；③bc >ad.以其中两个作为条件，余下一个作结
论，则可组成几个正确命题？
解：(1)对②变形c a ＞d b ⇔bc －ad ab ＞0，由ab ＞0，bc ＞ad 得②成立，∴①③⇒②.
(2)若ab ＞0，bc －ad ab ＞0，则bc ＞ad ，∴①②⇒③.
(3)若bc ＞ad ，bc －ad ab ＞0，则ab ＞0，∴②③⇒①.
综上所述可组成3个正确命题．
小结：运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较ac 与bc 的大小关系应注意从c ＞0，c ＝0，c ＜0三个方面讨论．
若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )
A.a c ＞b d
B.a c ＜b d
C.a d ＞b c
D.a d ＜b c
解：由c ＜d ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式性质，得－a d ＞－b c ＞0，所以a d ＜b c .故
选D.
类型三 不等式性质的应用
(1)若1<α<3，－4<β<2，则α2
－β的取值范围是________． 解：由1＜α＜3得12＜α2＜32，由－4＜β＜2得－2＜－β＜4，所以α2－β的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，112.故填⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，112. 小结：①需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减，所以不能直接由12＜α2＜32
和－4＜β＜2两式相减来得到α2
－β的范围．②此类题目用线性规划也可解． (2)已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是________．
解：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，
x －y ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.
∴－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－12
(a －b )＜－1. ∴－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132.故填⎝ ⎛⎭
⎪⎫－92，132. 小结：由于a ＋b ，a －b 的范围已知，所以要求2a ＋3b 的取值范围，只需将2a ＋3b 用已知量a ＋b ，a －b 表示出来，可设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，用待定系数法求出x ，y ，再利用同向不等式的可加性求解． (1)若角α，β满足－π2<α<β<π2
，则2α－β的取值范围是________． 解：∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，－π2＜－β＜π2
，而α＜β，∴－π＜α－β＜0，∴2α－β＝(α－β)＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2.故填⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3π2，π2.
(2)设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围为________．
解法一：由已知⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4.①②
，f (－2)＝4a －2b. 设4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )(m ，n 为待定系数)，
即4a －2b ＝(m ＋n )a －(m －n )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.
由①×3＋②×1得5≤4a －2b ≤10，即5≤f (－2)≤10.
解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝f （－1），a ＋b ＝f （1）得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （1）＋f （－1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）].
∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)，后面同解法一．故填[5，10]．
类型四 比较大小
实数b ＞a ＞0，实数m ＞0，比较
a ＋m
b ＋m 与a b 的大小，则a ＋m b ＋m
________a b . 解法一：(作差比较)：
a ＋m
b ＋m －a b ＝b （a ＋m ）－a （b ＋m ）b （b ＋m ）＝m （b －a ）b （b ＋m ）
， ∵b ＞a ＞0，m ＞0，∴m （b －a ）b （b ＋m ）＞0，∴a ＋m b ＋m ＞a b
. 解法二(作商比较)：∵b ＞a ＞0，m ＞0，∴bm ＞am ⇒ab ＋bm ＞ab ＋am ＞0，
∴ab ＋bm ab ＋am ＞1，即a ＋m b ＋m ·b a ＞1⇒a ＋m b ＋m
＞a b .故填＞.
小结：本题思路是作差整理，定符号，所得结论也称作真分数性质．作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．
已知a ，b ，c ∈R ＋，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时，比较c n 与a n ＋b n 的大小，则a n
＋b n ________c n .
解：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a n ，b n ，c n >0，而a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n .∵a 2＋b 2＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b c 2＝1，∴0<a c <1，0<b c <1.当n ∈N ，n >2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2，∴a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <a 2＋b 2c
2＝1，∴a n ＋b n <c n .故填＜.
[归纳小结]
1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．
2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．
4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．
5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．
6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制．
[课后作业]
1．．已知a ，b 为正数，a ≠b ，n 为正整数，则a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1的正负情况为 ( )
A ．恒为正
B ．恒为负
C ．与n 的奇偶性有关
D ．与a ，b 的大小有关
解：a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1＝a n (b －a )＋b n (a －b )＝－(a －b )(a n －b n )，
因为(a －b )与(a n －b n )同号，所以a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1<0恒成立．故选B.
2．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )
A ．a ＋c ≥b －c
B ．(a －b )c 2≥0
C ．ac >bc D.c 2a －b
>0 解：A 项：当c <0时，不等式a ＋c <b －c 可能成立；B 项：a >b ⇒a －b >0，c 2≥0，故(a －b )c 2
≥0；C 项：当c ＝0时，ac ＝bc ；D 项：当c ＝0时，c 2a －b
＝0.故选B. 3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )
A ．c ≤3
B ．3＜c ≤6
C ．6＜c ≤9
D ．c ＞9
解：由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得，－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，消去c 得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝7，5a －b ＝19， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，
于是0＜c －6≤3，即6＜c ≤9.故选C.
4．如果0＜m ＜b ＜a ，则( )
A ．cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m a －m
B ．cos b a ＜cos b －m a －m ＜cos b ＋m a ＋m
C ．cos b －m a －m ＜cos b a ＜cos b ＋m a ＋m
D ．cos b ＋m a ＋m ＜cos b －m a －m
＜cos b a 解：作商比较：b ＋m a ＋m ÷b a ＝ab ＋am ab ＋bm ＞1，所以1＞b ＋m a ＋m ＞b a ＞0，同理，0＜b －m a －m ＜b a ＜1，∴1＞b ＋m a ＋m
＞b a ＞b －m a －m ＞0.而y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m a －m
(也可取特殊值判断)．故选A.
5．设a ＝lg e ，b ＝(lg e )2，c ＝lg e ，则a ，b ，c 的大小关系为________．
解：∵e ＜10，∴lg e ＜lg 10＝12，∴(lg e )2＜12
·lg e ＝lg e ，即b ＜c.又∵e ＜e ，∴lg e ＜lg e ，即c ＜a.故填b ＜c ＜a.
6．定义a *b ＝⎩⎨⎧a ，a ＜b ，b ，a ≥b.
已知a ＝30.3，b ＝0.33，c ＝log 30.3，则(a *b )*c ＝________．(结果用a ，b ，c 表示)
解：∵log 30.3<0<0.33<1<30.3，∴c <b <a ，∴(a *b )*c ＝b *c ＝c.故填c.
7．设实数a ，b ，c 满足：①b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，②c －b ＝4－4a ＋a 2.试确定a ，b ，c 的大小关系．
解：∵c －b ＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，又2b ＝2＋2a 2，∴b ＝1＋a 2，
∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34
＞0，∴b ＞a ，从而c ≥b ＞a. 8．某企业去年年底给全部的800名员工共发放1 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加30万元，企业员工每年净增a 人．
(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过1.5万元？
(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？
解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元．
则y ＝1 000＋30x 800＋ax
(a ∈N *，1≤x ≤10)． 假设会超过1.5万元，则当a ＝10时有1 000＋30x
800＋10x ＞1.5，解得x ＞403
＞10. 所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过1.5万元．
(2)设1≤x 1＜x 2≤10，y ＝f (x )＝1 000＋30x
800＋ax ，
则f (x 2)－f (x 1)＝1 000＋30x 2800＋ax 2－1 000＋30x 1800＋ax 1＝（30×800－1 000a ）（x 2－x 1）（800＋ax 2）（800＋ax 1）
＞0， 所以30×800－1 000a ＞0，得a ＜24.
所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人． 9．已知a ＋b ＋c ＝0，且a >b >c ，求c a 的取值范围．
解：∵a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ，
∴a >－(a ＋c )>c ，且3a ＞a ＋b ＋c ＝0＞3c ，
则a >0，c <0，∴1>－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞c a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2c a ＜－1，c a ＞－2，
解得－2＜c a ＜－12. 故c a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2，－12. 设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b ；②a c <b c ；③log b ()a －c >log a ()b －c .
其中所有正确结论的序号是( )
A ．①
B ．①②
C ．②③
D ．①②③
解：①∵a >b >1，∴0<1a <1b <1，又c <0，∴c a >c b ，①正确；②由于a >b >1，可设f (x )＝a x ，g (x )＝
b x ，当x ＝
c ＜0时，根据指数函数的性质，得a c <b c ，②正确；③∵a ＞b ＞1，c ＜0，即a －c ＞b －c ＞1，∴log a (a －c )＞log a (b －c )，又由对数函数的性质知log b (a －c )＞log a (a －c )，∴log b (a －c )＞log a (b －c )，③正确．故选D.。