数字地形测量学课件第三章 测量误差基本知识

n n
标准差的计算式：
lim n
lim [2]
n
n
[] n
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数字地形测量学 —— 教学课件
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第三章 测量误差基本知识
§3.1 测量误差概念 §3.2 衡量精度的标准 §3.3 算术平均值及观测值的中误差 §3.4 误差传播定律 §3.5 加权平均值及其精度评定 §3.6 间接平差原理
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抵偿性：当观测次数无限 增大时，由于正负相消， 偶然误差的平均值趋近于 零。用公式表示为：
三角形闭合差的频率直方图
lim 1 2 n lim [] 0
n
n
n n
12
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§3.1 测量误差概念
正态分布曲线以及标准差和方差
在统计理论上如果观测次数无限增多(n→∞)，而
0
0
0
0
0
181 0．505 177 0．495 358 1．000
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§3.1 测量误差概念
偶然误差的特性
有限性：在有限次观测中， 偶然误差不超过一定数值；
渐降性：误差绝对值小的 出现的频率大，误差绝对 值大的出现的频率小；
对称性：绝对值相等的正 负误差频率大致相等；
三、极限误差
根据正态分布方程式，可以表示误差出现在微小区
间dΔ的概率：
p() f (Δ) d
1
e
2 2m2
d
2 m
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§3.2 衡量精度的标准
将上式积分，得到偶然误差在任意大小区间中出
现的概率。设以k倍中误差作为区间,则在此区间中误
差出现的概率：
p( km)
y = f (Δ)
m1= 2.7
f 1 (Δ)
m2= 3.6
f2(Δ)
-m1
+m1
- m2
+ m2
x =Δ
不同中误差的正态分布曲线
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§3.2 衡量精度的标准
二、相对中误差
某些观测值的精度如果仅用中误差衡量，还不能正确反 映其质量，例如，距离测量误差应与长度成正比。观测值的 中误差除以观测量，称为“相对中误差”(简称相对误差)， 例如200m距离的测距中误差为2cm, 测距的相对误差为 1∶10000; 500m距离测距中误差也为2cm，则测距相对误差为 1∶25000；后者精度高于前者。
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第三章 测量误差基本知识
§3.1 测量误差概念 §3.2 衡量精度的标准 §3.3 算术平均值及观测值的中误差 §3.4 误差传播定律 §3.5 加权平均值及其精度评定 §3.6 间接平差原理
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§3.3 算术平均值及观测值的中误差
1
e
2 2m2
d
2 m
分别以k=1,k=2,k=3代入上式，可得到偶然误差的绝对
值不大于中误差、2倍中误差、3倍中误差的概率：
P( m) 0.6826 68.3%
P( 2m) 0.9545 95.4%
P( 3m) 0.9973 99.7%
由此可见，大于2倍中误差出现的概率小于5％，大于3 倍中误差出现的概率小于0.3％。因此，测量工作中以2倍中 误差作为允许的误差极限，称为“允许误差”或“限差”。
（三）粗差
由于观测者的粗心大意,或某种特别大的干扰而产生较 大的误差称为“粗差”(俗称错误)，应避免和舍弃粗差。
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§3.1 测量误差概念 （四）误差处理原则
系统误差 — 找出发生规律，用观测方法和 加改正值等方法抵消。
偶然误差 — 用多余观测减少其影响，利用
几何条件检核，用“限差”来
n
n
选择两组三角形内角之和的观测值，求得三角形角度闭合
差，分别按上式在表5-2中计算中误差，得到：
第1组: m1= ±2.7″ 第2组: m2= ±3.6″
可见第1组的观测精度高于第2组。
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§3.2 衡量精度的标准
表3-2 按观测值的改正值计算中误差
次序
第一组观测
第二组观测
观测值 l
Δ
Δ2
观测值 l
Δ
1 180°00ˊ03" -3
9
180°00ˊ00"
0
2 180°00ˊ02" -2
4
159°59ˊ59"
+1
3 179°59ˊ58" +2
4
180°00ˊ07"
-7
4 179°59ˊ56" +4
16
180°00ˊ02"
-2
5 180°00ˊ01" -1
1
180°00ˊ01"
多次观测中寻找偶然误差的规律：
对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角,
三角形内角之和的真值为180°，观测值为三个内角之和
(i +i+ i)，因此其真误差(三角形闭合差)为：
i = 180°– ( i + i+ i)
观测数据统计结果列于
表5-1,据此分析三角形
内角和的真误差 i 的
分布规律。
限制。 粗 差 — 细心观测，用多余观测和几何条
件来发现，将含有粗差的观测
值剔除。
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§3.1 测量误差概念
三、偶然误差的特性
偶然误差的定义
设某一量的真值为X，对该量进行 n 次观测，得n个观
测值
l1,
l2,…,
ln
i
，产生n个真误差
X li
Δ1,Δ2,…,Δn
真值与观测值之差定义为“真误差”,真误差属于偶然
在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，误 差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何 规律性，这种误差称为“偶然误差”，是由许多无法精 确估计的因素综合造成(人的分辨能力,仪器的极限精度, 天气的无常变化,以及环境的干扰等)。
偶然误差不可避免，但在一定条件下的大量的偶然误 差，在实践中发现具有统计学规律。
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§3.1 测量误差概念
一、测量误差产生的原因 二、测量误差的分类与处理原则 三、偶然误差的特性
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§3.1 测量误差概念
一、测量误差产生的原因
产生测量误差的三个因素： 仪器原因 — 仪器精度的局限性,轴系残余误差等； 人的原因 — 判断力和分辨力的限制,经验缺乏等； 外界影响 — 气象因素如温度变化,风力,大气折光等 。
误差区间dΔ又无限缩小，则频率直方图成为一条光滑的
曲线，在统计学中称为偶然误差的“正态分布曲线”,
其数学方程式为：
f (Δ)
1
e
2
2 2
2σ
式中参数σ称为“标准差”,其平方σ 2 称为“方差”,
方差为偶然误差(真误差)平方的理论平均值：
lim lim 2
21 22 2n
[2 ]
n
n
结论：观测误差不可避免(粗差除外)
有关名词： 观测条件 — 上述三大因素总称为观测条件 观测精度 — 在观测条件基本相同的情况下进行的 观测，称为“等精度观测”；否则， 称为“不等精度观测”。
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§3.1 测量误差概念 二、测量误差的分类与处理原则
按测量误差产生原因和对观测成果的影响，分为系统
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第三章 测量误差基本知识
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第三章 测量误差基本知识
§3.1 测量误差概念 §3.2 衡量精度的标准 §3.3 算术平均值及观测值的中误差 §3.4 误差传播定律 §3.5 加权平均值及其精度评定 §3.6 间接平差原理
2.7 n
2
m2
3.6 n
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Δ2 0 1 49 4 1 1 64 0 9 1 130
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§3.2 衡量精度的标准
两组观测值误差的正态分布曲线的比较：
m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。
1
√2π m 1
1
√2π m 2
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§3.3 算术平均值及观测值的中误差
二、观测值的改正值
最或然值与观测值之差称为“观测值的改正值”(简称
改正值) v : vi x li (i 1～n)
取改正值总和： [v] vi nx [l] 0
说明：一组观测值取算术平均值后，各个观测值的改正
值之和恒等于零，此可以作为计算的检核。
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§3.2 衡量精度的标准
一、中误差
用标准差衡量测量观测成果的精度，在理论上是严格
和合理的。但在实际测量工作中，不可能对某一量进行无
穷多次观测。因此，定义：根据有限次观测的偶然误差， 用标准差计算式求得的称为“中误差”，其计算式为：
m 21 22 2n []
31数字地形测量学教学课件钢尺检定尺长改正改正钢尺温度误差钢尺检定温度改正改正水准仪视准轴误差中间法水准前后视等距经纬仪视准轴误差盘左盘右观测取平均值取平均值误差来源误差来源采取措施采取措施31数字地形测量学教学课件在相同的观测条件下对某一量进行一系列观测误差出现的符号和数值大小都不相同从表面看没有任何规律性这种误差称为偶然误差是由许多无法精确估计的因素综合造成人的分辨能力仪器的极限精度天气的无常变化以及环境的干扰等
-1
6 180°00ˊ00" 0
0
179°59ˊ59"
+1
7 180°00ˊ04" -4
16
179°59ˊ52"
+8
8 179°59ˊ57" +3
9
180°00ˊ00"
0
9
179°59ˊ58" +2
4
179°59ˊ57"
+3
10180
-3
9
180°00ˊ01"
-1
°00ˊΣ03|"|
24
72
24
2
中误差 m1
对［vv]求极小值： [vv] [( x l)2 ] min
d[vv] x 2[(x l)] 0
[(x l)] 0,
dx
算术平均值符合最小二乘法原理
x [l] n
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§3.3 算术平均值及观测值的中误差
三、观测值的精度评定
在同样观测条件下对某一量进行n次观测，求得算术平均
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§3.3 算术平均值及观测值的中误差
证明算术平均值是最或然值 1 X l1
按真值计算各个
2 X l2
观测值的真误差：
将上列等式相加，
n X ln
并除以n,得到：
[] n
X
[l] n
根据偶然误差特性：
x [l] X n
nlim
[] n
0
lim n
[l] n
X
故算术平均值比较 接近于真值，而成 为最可靠的数值：
误差、偶然误差和粗差。
（一）系统误差
在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测， 如果误差的出现在符号(正负号)和数值上都相同，或 按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。
系统误差对观测值的影响有一定(数学或物理)的 规律性。如能够发现其规律，则可进行改正或用一定 方法使其削弱或抵消。
5
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因此 m

[vv] n 1
n n 1 可以按观测值的改正值计算中误差
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§3.3 算术平均值及观测值的中误差
算术平均值计算的实用公式
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表3-1
误差区间
dΔ "
0～3 3～6 6～9 9～12 12～15 15～18 18～21 21～24 24以上
Σ
§3.1 测量误差概念
偶然误差的统计
负误差
正误差
误差绝对值
k
k/n
k
k/n
k
k/n
45 0.126 46 0.128 91 0.254
40 0.112 41 0.115 81 0.226
值及观测值的各个改正值 v，据此计算观测值的中误差：
m
n
vi2
i 1
n 1
[v v] n 1
m [] n
对比按真误差Δ计算中误差的公式：两者差别仅在于以
（n－1）代替 n，以 x 代替真值X：
i X li , vi x li 两式取总和
并顾及偶然误差的相消性，可以证明： [] [vv]
误差,但真值必须已知才能求得真误差。测量的观测和计算中,
在一般情况下真值是不知道的，只能根据几何条件等间接知道
真值,例如三角形三个内角之和为180°(真值),而三个内角的观
测值之和也可以作为一个独立的观测值，据此求得三内角之和
的真误差(称为三角形角度闭合差)。
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§3.1 测量误差概念
33 0.092 33 0.092 66 0.184
23 0.064 21 0.059 44 0.123
17 0.047 16 0.045 33 0.092
13 0.036 13 0.036 26 0.073
6
0.017 5 0.014 11 0.031
4
0.011 2 0.006 6 0.017
0
5
§3.1 测量误差概念 对系统误差采取措施举例：
误差来源
采取措施
钢尺尺长误差 Dk
钢尺检定, 尺长改正
钢尺温度误差 Dt
水准仪视准轴误差 i
钢尺检定, 温度改正 中间法水准, 前后视等距
经纬仪视准轴误差 C 盘左盘右观测,取平均值
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§3.1 测量误差概念
（二）偶然误差
一、算术平均值
在相同的观测条件下，对某一量进行n次观测，观
测值为li (i=1～n), 取其算术平均值 x 作为该量的最可
靠的数值（故也称“最或然值”）：
n
x
li
i 1
l1 l2 ln
[l]
n
n
n
算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然 误差的特性来证明：
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