学年高二下学期期末考试数学(理)试题-含答案

2015-2016学年高二下学期期末考试数学（理）试题
第Ｉ卷
一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分,请将答案涂在答题卷上) 1、已知集合{}
{}2540,1,2,3,4,M x Z x x N =∈-+<=则M N =I （ ）
A 、{}1,2,3
B 、{}2,3,4
C 、{}2,3
D 、{}1,2,4 2．命题“∃x 0∈∁R Q ，x 03∈Q ”的否定是（ ） A ． ∃x 0∉∁R Q ，x 03∈Q
B ． ∃x 0∈∁R Q ，x 03∉Q
C ． ∀x 0∉∁R Q ，x 03∈Q
D ． ∀x 0∈∁R Q ，x 03∉Q 3．如果复数z 满足（2+i ）z=5i （i 是虚数单位），则z （ ） A ． 1+2i B ． ﹣1+2i C ． 2+i 4、已知2
cos 23θ=
，则44sin cos θθ-的值为（ ） A 、23- B 、23 C 、1811
D 、29
-
5、下列命题错误的是 （ ）
A 、命题“若0m >，则方程02
=-+m x x 有实数根”的逆否命题为“若方程
02=-+m x x 无实数根，则0m ≤” B 、“1=x ”是“0232
=+-x x ”的充分不必要条件
C 、对于命题:p x R ∃∈,使得012<++x x ，则R x p ∈∀⌝:，均有012
≥++x x D 、若q p ∧为假命题，则,p q 均为假命题 6．函数f （x ）=sin （2x+），则f ′（）的值为（ ）
A ． 1
B ． ﹣2
C ． 2
D ．﹣1
7、函数f （x ）=+mx 在[1，2]上是增函数，则m 的取值范围为（ ） A ． [，1]
B ． [1，4]
C ． [1，+∞）
D ．（﹣∞，﹣1]
8、运行如下程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出s 属于（ ）
A 、[4,3]-
B 、[5,2]-
C 、 [3,4]-
D 、[2,5]- 9．在6道题中有4道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到文科题的概率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10、若当x R ∈时，函数()x
f x a =始终满足0()1f x <≤，则函数1
log a
y x
=的图象大
致为（ ）
11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 12、过双曲线
的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）作圆x 2+y 2=a 2
的切线，
切点为E ，延长FE 交抛物线y 2
=4cx 于点P ．若，则双曲线的离心率
为 A ．
B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷
二．填空题（本大题4个小题，每题5分，共20分，请把答案填在答题卷上） 13．（x 3+
1x
）8
的展开式中常数项为 _________ ．（用数字作答） 14．已知函数f （x ）=mx+
在x=处有极值，则m= _________ ．
15．已知随机变量ξ服从正态分布84.0)4(),4,2(=≤ξP N ,则=≤)0(ξP
16、16．若函数f （x ）满足：在定义域D 内存在实数x 0，使得f （x 0+1）=f （x 0）+f （1）成立，则称函数f （x ）为“1的饱和函数”．有下列函数：
；
③f （x ）=lg （x 2+2）； ④f （x ）=cos πx ，
其中你认为是“1的饱和函数”的所有函数的序号为 ．
三．解答题：（本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17、（12
分）已知函数()sin f x m x x =+,(0)m >的最大值为2。

（Ⅰ）求函数()f x 在[]0,π上的值域； (Ⅱ)已知ABC ∆外接圆半径3=
R
，()()sin 4
4
f A f B A B ππ
-+-=，
角,A B 所对的边分别是,a b ，求
b
a 1
1+的值．
18、（12分）三棱锥P −ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC 。

（１）证明：平面P AB ⊥平面PBC ；
（２）若P A =6，PC 与侧面APB 所成角的余弦值为22
3
，PB 与底面ABC
成60°角，求二面角B ―PC ―A 的大小。

Ｂ
Ｃ
P
A
19、（12分）（本小题满分12分）
某用人单位招聘员工依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核．规定：只能通过前一轮考核后才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过．小王三轮考核通
过的概率分别为
13，34，3
5
，且各轮考核通过与否相互独立． （1）求小王通过该招聘考核的概率；
（2）若小王通过第一轮考核，家长奖励人民币1200元；若小王通过第二轮考核，家长再奖励人民币1000元；若小王通过第三轮考核，家长再奖励人民币1400元．记小王得到奖励的金额为X ，求X 的分布列和数学期望． 20、（本小题满分12分）
数列{}n a 的前n 项和是n S ，且1
12
n n S a +=．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记23log 4n n a b =，数列2
1{}n n b b +⋅的前n 项和为n T ，证明：3
16n T <．
21、（本小题满分12分） 已知函数1()ln x
f x x ax
-=
+. (Ⅰ)若函数()f x 在
[)1,+∞上是增函数，求正实数a 的取值范围；
(Ⅱ)若1a =，R k ∈且1k e <
，设()()(1)ln F x f x k x =+-,求函数()F x 在1
[,]e e
上的最大值和最小值.
选做题（10分）
22
x
6 8 10 12 y
2
3
5
6
⑴请根据上表数据用最小二乘法求出y x ⑵试根据⑴求出的线性回归方程，预测记忆力为11的同学的判断力。

公式：
∑∑∑∑====--=
---=n
i i
n
i i
i n
i i
n
i i
i
x n x
y x n y
x x x y y
x x b
1
2
21
1
2
1
)()
)((ˆ
P
C
A B x
y z P C
A
B
E
F
2015-2016学年高二下学期期末考试数学
理科数学答案
1-12：CDAADB CCDBBB 13、28 14、
-1
15
、
0.16
16
、
②
④
18、(1)证明：∵P A ⊥面ABC ,∴P A ⊥BC , ∵AB ⊥BC ,且P A ∩AB =A ,∴BC ⊥面P AB
而BC ⊂面PBC 中,∴面P AB ⊥面PBC . ……5分
解:(2)过A 作：AF ，F ，PC EF E E ，PB AE 如图所示连结于作过于⊥⊥
则∠EF A 为B −PC −A 的二面角的平面角 ……8分 由P A =6,在R t ∆PBC 中,cos ∠C O B =2
3
2.
R t ∆P AB 中,∠PBA =60︒. ∴AB =2,PB =22,PC =3 ∴AE =
P A ·AB PB = 6
2
同理：AF = 2 ………10分
∴sin ∠EF A = 62 2
= 3
2, ∴∠EF A =60. ………12分
另解：向量法：由题可知：AB =2,BC =1,建立如图所示的空间直角坐标系…………7分
B (0,0,0),
C (1,0,0),A (0,2,0),P (0,2,6),假设平面BPC 的法向量为n →
=(x 1,y 1,z 1),
∴⎩⎨n →·BP →=2y 1+6z 1=0 取z 1=6，可得平面BPC 的法向量为n →
=(0,−32,6)………9分
同理PCA 的法向量为m →
=(2,−2,0)…………………11分
∴cos<m →,n →
>=m →·n →|m →|·|n →|
=12
,∴所求的角为60° ………12分 19. 解（1）设“小王通过招聘考核”为事件A ，则P （A ）＝133334520
⨯⨯= 所以小王通过招聘考核的概率为3
20 4分
（2）X 的可能取值为0元，1200元，2200元，3600元 5分
12(0)133P X ==-=，131
(1200)(1)3412P X ==⨯-=
， 1331(2200)(1)34510P X ==⨯⨯-=1333
(3600)34520
P X ==⨯⨯=
9分
17、
所以，X 的分布列为
X
0 1200 2200 3600 P
23
112
110
320
数学期望为2113()01200220036008603121020
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 12分 考点：概率与期望
20解：（1）由题 11112n n S a +++
= ①， 1
12
n n S a += ②， ①-②可得1111022n n n a a a +++-=，则11
3n n a a +=．
当1n =时 11112S a +=，则1
23a =，则{}n a 是以23
为首项，1
3为公比的等比数列，
因此111212()333
n n n n a a q --=⋅=⋅=．（2）2
233log log 324n n n a b n -===-， 所以
21111111()
22(2)4(2)82
n n b b n n n n n n +==⋅=-⋅⋅+++，
11111111111113()(1)81324112821216
n T n n n n n n =-+-++-+-=+--<-++++L ．
考点：1．n a 与n S 的关系；2．裂项抵消法．
21．(由题设可得2
1
'()(0)ax f x a ax
-=
>因为函数()f x 在[1,)+∞上是增函数，所以,当[1,)x ∈+∞时，不等式2
1'()0ax f x ax -=≥即1
a x
≥恒成立 因为,当[1,)x ∈+∞时，1
x 的最大值为1，则实数a 的取值范围是[1,)+∞-----4分
(Ⅱ) 解: 1a =，1()ln x f x x x -=+，11()ln (1)ln ln x x
F x x k x k x x x
--=++-=+
所以,'''
2
2(1)(1)1
()x x x x k kx F x x x x
----=+= …………6分 若0k =,则21'()F x x -=
，在1[,]e e 上, 恒有'()0F x <，所以()F x 在1[,]e e 上单调递减，min 1()()e F x F e e -==，max 1
()()1F x F e e
==- (7)
分
(2) 0k ≠时'221()
1()k x kx k F x x x
--==
（i ）若0k <，在1[,]e e 上,恒有21()
0k x k x -<所以()F x 在1[,]e e 上单调递减 min 111
()()ln 1e e F x F e k e k k e e e --==+=+=+-
max 1()()1F x F e k e ==--…………9分 ii)0k >时，因为1k e <，所以1
e k
>
1()0x k -<，所以2
1()
0k x k x -<所以()F x 在1[,]e e 上单调递减 min 111()()ln 1e e F x F e k e k k e e e --==+=+=+-，max 1
()()1F x F e k e
==-- (11)
分
综上所述：当0k =时，min 1()e F x e
-=，max ()1F x e =-；当0k ≠ 且1
k e
<
时，max ()1F x e k =--，min 1()1F x k e
=+-.…………12分
选做题22、解：(1) =9，
=4，
=158,
=344
∴^
b =
==0.7，∴a=4－0.7×9=－2.3
∴y 关于x 的回归方程为：y=0.7x －2.3
(2)由(1)知，当x=11时，y=0.7×11－2.3=5.4 ∴记忆力为11的同学的判断力为5.4。