求极限的方法,(自己总结的)

求极限的常用方法
1.直接代入法:
对于初等函数f( )的极限, , 若f( )在0处的函数值f( 0)存在, 即。

直接代入法的本质就是只要将= 0代入函数表达式, 若有意义, 其极限就是该函数值（称为“能代则代”）。

例I: 求极限
（1）（2）（3）
解: （1）
（2）
（3）
2.变型法（包括两个重要极限）
通俗地说代入后无意义的极限称为不定式, （如0/0,∞/∞,∞-∞等）此时若极限存在往往要变形后才可看出。

例I: 求极限
（1）
（2）
解: （1）
（2）
两个重要极限是和, 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。

主要考第二个重要极限。

例I: 求极限
解:
例II: 求极限
【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１, 再凑, 最后凑指数部分。

解:
3.利用连续性定义。

例I: 求
解：y= 可看作由y= 与复合而成。

因为= , 而函数y= 在点u= 连续, 所以=
例II: 求
解: =
例III: 求
解：因为 利用定理３及极限的运算法则, 便有
4.利用无穷小、无穷大的关系
【说明】
(1)常见等价无穷小有:
当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,2
1~cos 12-+- 例1: 求极限
解 002ln(1)lim lim 211cos 2
x x x x x x x x →→+⋅==- 例2: 求极限 解x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 222102030-=-==-=-=→→→x
x x x x x x x x x 例3因式代替规则
x x x x 3sin tan lim 0-→x x x x 30)1cos 1(sin lim -=→212
lim 33
0==→x x x 5.利用极限的性质法（如四则运算）
利用极限的4则运算法则
, , ,
例1: 求
解：先用 除分子和分母, 然后求极限, 得
521
23lim 232+---∞→x x x x x 02
0512123lim 332==+---=∞→x x x x x x 例2: 求
解, 因为分母的极限 , 不能应用商的极限的运算法则, 但因 所以∞=+--→453
2lim 21x x x x
6.洛必达法则（求不定式极限）
定理一 设
（1） 当x 时, f(x)及F （x ）都趋向于零；
（2） 在点a 的某一去心领域内, f ’(x)及F ’(x)都存在且F ’(x)≠o ；
（3） )
(')
('lim x F x f a x →存在（或为无穷大）； 那么 )(')('lim )()(lim x F x f x F x f a x a x →→=
定理二 设
（1） 当x 时，∞→函数f(x)及F(x)都趋向于零；
（2） 当
；）都存在，且与时0('F )(')('x ≠>x x F x f N （3） 或为无穷大），存在()
(')('lim x F x f x ∞→ 那么 ）
x F x f x F x f x (')('lim )()(lim x ∞→∞→= 例1: 求
解: 原式=
例2: 求 >0)
解: 原式=
例3: 求
解: 原式=
7.积分法
积分求极限法:
例一: 求 。

解: 依题,
因此,
例二: 求 。

解:
例三: 求 。

x x x t t xe x e dt e dx d dt e dx d 2222cos cos 2cos 11cos sin )(cos )(----='⨯-=-=⎰⎰11cos lim cos lim cos lim 20020020==''⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→→⎰
⎰x x t x dt t x x x x x
解:。