广东省佛山市顺德区李兆基中学高三数学上学期第二次月考试题 文

李兆基中学2019届高三第二次月考（9月）
文科数学试卷
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1． {
}{}2,3A x x x B x =<=≥，则A
B ＝（ ）
A. R
B.(0,+ ∞)
C. {}1
D.[1,+ ∞) 2．已知i 为虚数单位，复数z ＝i （2－i ）的模z ＝（）
3．如图所示，该程序运行后输出的结果为（ ） A. 4 B. 6 C.8 D.10
4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b ＝2，B ＝6
π
，C ＝
4
π
，则△ABC 的面积为（ ）
A. 1
C 1
2
5．在“某中学生歌手大擦”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个量高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）
A ．5和1.6
B ．85和1.6
C ．85和0.4
D ．5和0.4
6．函数log ()(01)x
a
x f x a x
=<<图象的大数形状是（）
7．设函数()cos(2)3
f x x π
=-
，则下列结论铝决的是（ ）
A ．()f x 的一个期为π-
B ．()y f x =的图像关于直线23
x π
=对称 C ．()2
f x π
+
的一个零点为3
x π
=-
D ．()f x 在区间[
,]32
ππ
上单调递减 8．如图，点M ，N 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱A 1B 1，A 1D 1的中点，用过点A ，M ，N 和点D ，N ，C 1的两个面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、視图依次为（）
A ．①③④
B ．②④③
C ．①②③
D ．②③④
9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线与圆22
(3)1x y +-=相切，双曲线的离
心率为（）
A ．2
B D ．3
10．若函数2()21x x a
f x +=+为奇函数，ln ,0(),0ax a x x
g x e x >⎧=⎨≤⎩
，则不等式g （x ）＞1的解集为
（ ） A ．1(,0)
(0,)e -∞ B ．(,)e +∞ C ．(,0)(0,)e -∞ D ．1(,)e
-∞ 11．《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》 卷上第22题为：今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布） 第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织420尺布，则第2天织的布的尺数为（ ） A ．
16329 B ．16129 C ．8115 D ．80
15
12．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（） A ．1(0,)2 B ．1(0,)2 C ．(0,1) D ．1(,)2
-∞ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知向量a 、b 的夹角为60°，2,22a a b =-=，则___b = 14．将函数()sin 2cos cos 2sin ()2
f x x x π
ϕϕϕ=+≤
的图象向左平移
6
π
个单位长度后得 到函数g （x ）的图象，且函数g （x ）的图象关于y 轴对称，则g （
6
π
）的值为______ 15．若x 、y 满足约束条件024030x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩
，则22
z x y =+的最小值为______
16．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点 过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得截面记为S ，则下列命题正确的是______ ①当0＜CQ≤1
2
时，S 为四边形 ②当CQ ＝3
4
时，S 为五边形 ③当
3
4
<CQ ＜1时，S 为六边形 ④当CQ ＝1时，S 为菱形
三、解答题（本大题共6小题，共70分，） 17．（本小题满分12分）
已知△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝6，C ＝2A ． （1）求c 的值： （2）求△ABC 的面积
18．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，a n+1＝21n S +，n N *∈
（1）求数列{}n a 的通项公式
（2）设13log n a
n b +=，求数列{}n n a b +的前n 项和
19．（本小题满分12分）
已知(sin(),3cos ),(cos ,sin())
2
a x x
b x x π
π=-=-，函数3
(),(0,)f x a b x π=+∈（1）求y ＝f （x ）的单调增区间 （2）若方程1
()3
f x =的解为x 1，x 2，求12cos()x x -的值
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
2
，直线l ：24x y +=与椭圆有且只有一
个交点T
（1）求椭圆C 的方程和点T 的坐标
（2）O 为坐标原点，与OT 平行的直线'
l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求△OAB 的 面积最大时直线'
l 的方程
21．（本小题满分12分） 已知函数2
1()(1)ln 12
f x x a x a x =
-+++． （1）若x ＝2是f （x ）的极值点，求f （x ）的极大值
（2）求实数a 的范围，使得f （x ）≥1恒成立
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的
参数方程为cos 3
(2sin 3x t t y t ππ
⎧
=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
为参数），曲线C
的极坐标方程为)4πρθ=-
（1）直线的普通方程和曲线C 的参数方程
（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l 垂直，求D 的直角坐标
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知()2321f x x x =+-- （1）求不等式()2f x <的解集
（2）若存在x R ∈，使得()32f x a >-成立，求实数a 的取值范围
李兆基中学2019届高三 第二次月月考文科数学 试卷答案
一、选择题
1-5:BCBBB 6-10:CCDDA 11、12：AA 二、填空题
13. 1 14.
2
1
15. 5 16.①②④ 三、解答题
17.解：（1）因为A C 2=，所以A A A C cos sin 22sin sin ==，
由正弦定理
C c A a sin sin =
，得a
c
A 2cos =， 由余弦定理bc a c b A 2cos 222-+=，得2
222)(bc a c b a =-+，由6,4==b a ，可得
102=c .
（2）由余弦定理41
2cos 222=-+=
ab c b a C ，又π<<=+C C C 0,1cos sin 22，得415sin =
C ，所以ABC ∆的面积153sin 2
1
==C ab S . 18．解：由题意得)2(12,1211≥+=+=-+n S a S a n n n n
两式相减得)2(32)(2111≥=⇒=-=-+-+n a a a S S a a n n n n n n n ， 所以当2≥n 时，}{n a 是以3为公比的等比数列.
因为3,
312121
2
112==+=+=a a a S a 所以，
31
=+n
n a a ，对任意正整数成立，}{n a 是首项为1，公比为3的等比数列，所以得13-=n n a .
（2）n a b n n n ===+3log log 313，所以n b a n n n +=+-1
3，
2
132)1(3131)1321()33333()3()13()33()23()13(21221012210-++=
++--=+-++++++++++=++-++++++++=----n n n n n n n n T n n n n n n n
19.（1）由已知
)32sin(23cos 3cos sin )(2π-=+
-=x x x x x f
又由Z k k x k ∈+≤
-
≤+-
,22
3
222
ππ
π
ππ
可得Z k k x k ∈+≤
≤+-
,12
512
ππ
ππ
),(π0∈x 所以f(x)的单调增区间为),12
11(),125,
0(πππ （2）由),0(,31
)32sin()32sin(21πππ
∈=-=-
x x x 可得32125021ππ<
<<<x x ，其中12
5π
=x 为对称轴 6
521π=
+∴x x 3
1
)32sin(]2)32cos[()6
52cos()]65(
cos[)cos(1111121=
-=--=-=--=-∴πππππx x x x x x x
20.略
21. 解：（1）x
a
a x x f +
+-=')1()( 2=x 是)(x f 的极值点 02
)1(2)2(=+
+-='∴a
a f 解得2=a 当2=a 时，x
x x x x x x x x f )
2)(1(2323)(2--=+-=+-='
当x 变化时，
)(x f 的极大值为2
)1(-
=f . （2）要使得1)(≥x f 恒成立，即0>x 时，
0ln )1(2
12
≥++-x a x a x 恒成立， 设x a x a x x g ln )1(21)(2++-=
，则x
a x x x a a x x g )
)(1()1()(--=
++-=' （i ）当0≤a 时，由0)(<'x g 得函数)(x g 单调减区间为)1,0(，由0)(>'x g 得函数)(x g 单调增区间为),1(+∞，此时021)1()(min ≥-
-==a g x g ，得2
1
-≤a . （ii ）当10<<a 时，由0)(<'x g 得函数)(x g 单调减区间为)1,(a ，由0)(>'x g 得函数
)(x g 单调增区间为),1(),,0(+∞a ，此时02
1
)1(<-
-=a g ，∴不合题意. （iii ）当1=a 时，)(,0)1()(2
x g x x x g ≥-='在)0(∞+上单调递增，此时02
1
)1(<-
-=a g ，∴不合题意 （iv ）当1>a 时，由0)(<'x g 得函数)(x g 单调减区间为),1(a ，由0)(>'x g 得函数)(x g 单调增区间为),(),1,0(+∞a ，此时02
1
)1(<-
-=a g ，∴不合题意. 综上所述：2
1
-
≤a 时，1)(≥x f 恒成立. 22. 解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧
+==3sin 23cos π
πt y t x ，可得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+==t
y t x 23221，
消去t 得直线l 的普通方程为23+=x y .
由θθπ
θπ
θπ
θρsin 2cos 2)4
sin sin 4cos
(cos 22)4
cos(22+=+=-
=，
得θρθρρsin 2cos 22
+=.将y x y x ==+=θρθρρsin ,cos ,2
2
2
代入上式， 曲线C 的直角坐标方程为y x y x 222
2
+=+，即2)1()1(2
2
=-+-y x .
得曲线C 的直角坐标方程为⎩⎨
⎧+=+=α
αsin 21cos 21y x （α为参数，πα20<≤）
（2）设曲线C 上的点为)sin 21,cos 21(αα++D ， 由（1）知C 是以)1,1(G 为圆心，半径为2的圆.
因为C 在D 处的切线与直线l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相等，
60,3tan ==αα或者 240=α，
故D 得直角坐标为)261,221(++
D 或者)2
6
1,221(--D . 23.解：（1）不等式2)(<x f 等价于⎪⎩⎪⎨⎧<-++--<2)12()32(23x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<-++≤
≤-2)12()32(2
123x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<--+>
2
)12()32(2
1x x x ， 解得23-
<x 或02
3
<≤-x ， 所以不等式1)(<x f 的解集是)0,(-∞； （2）存在R x ∈，使得|23|)(->a x f 成立， 故需求)(x f 的最大值.
4|)12()32(||12||32|=--+≤--+x x x x ，
所以4|23|<-a ，解得实数a 的取值范围是)2,3
2
(-
.。