清泉州阳光实验学校大丰高一数学《一元二次方程实数根的分布》教案

清泉州阳光实验学校大丰中学高一数学一元二次方程
实数根的分布教案
教学目的：使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理，加强求解一元二次不等式及不等式组，初步训
练学生的数形结合才能。

教学重点：利用二次函数的图象，把一元二次方程根的分布
−−→−转化图形问题−−→−转化
代数表达式〔不等式组〕
−−→−计算参数取值范围。

教学难点：图形问题转化成代数表达式(不等式组)并求解。

一、问题的提出
假设方程
0)5()2(2=++++m x m x 的两根均为正数，务实数m 的取值范围.
变式1：两根一正一负时情况怎样？ 变式2：两实根均大于5时情况又怎样？
问题：能否从二次函数图形角度去观察理解？假设能试比较两种方法的优劣. 方程)0(02
≠=++a c bx ax 的实根，如假设从二次函数图形角度去观察理解，其本质就是对应的
二次函数
2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的抛物线与x 轴交点的横坐标.
一元二次方程实根分布，本质上就是方程的根与某些确定的常数大小关系比较. 二、一元二次方程实根分布 仿上完成下表
一元二次方程
)0(02≠=++a c bx ax 实根分布图解
根的分部
2
1x x m ≤<
21x m x << m x x n <≤<21 21x m n x <<<
图 象
等价的代数不等式
三、练习
1.m 为何实数时，方程02)1(2
=+++m x m x
的两根都在-1与1之间.
2、假设方程0)3()1(2=-++-a x a x 的两根中，一根小于0，另一根大于2，求a
的取值范围. 四、小结
根本类型与相应方法：
设
)0()(2≠++=a c bx ax x f ，那么方程0)(=x f 的实根分布的根本类型及相应方法如下表：
1．两实根都小于k
⇔⎪⎩⎪⎨⎧><-≥∆0)(20
k af k a b
2．两实根都大于k
⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥∆0)(20
k af k a b
3．两实根都在),(21k k 内
⇔⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
<-<>>≥∆2
12
120)(0
)(0k a b k k af k af
4．两实根都在),(21k k 外
⇔⎩
⎨
⎧<<0)(0
)(21k af k af 5．两根中有且只有一根在
),(21k k 内
⇔0)()(21<⋅k f k f
五作业：
1．关于x 的一元二次方程2
22320ax x a ---=的一根大于1，另一根小于1.那么a 的值是〔〕
〔A 〕0a >或者者4a <-〔B 〕4a <-〔C 〕0a >〔D 〕40a -<<
2．方程2
27(13)20(x
k x k k k -++--=为常数〕有两实根,αβ，且01α<<，12β<<，
那么k 的取值范围是〔〕 〔A 〕34k
<<〔B 〕21k -<<-〔C 〕21a -<<-或者者34k <<〔D 〕无解
3．设m 是整数，且方程2
320x mx +-=的两根都大于95-
而小于3
7
，那么m =.
4.假设关于x 的方程2
2(1)210m
x mx -+-=的所有根都是比1小的正实数，那么实数m 的取值范围
是m ＝ 5.方程2
(21)(6)0x
m x m +-+-=的一根不大于－1，另一根不小于1.试求：
〔1〕参数m 的取值范围；〔2〕方程两根的平方和的最大值和最小值.
第二课时一元二次方程实数根分布的应用
一复习 填空：
根的
分部
21x x m ≤<
21x m x << m x x n <≤<21 21x m n x <<<
图 象
等价的代数不等式
二、例子
例1实数a 、b 、c 满足22211a b c a b c a b c ⎧>>⎪
++=⎨⎪++=⎩
，求a b +的取值范围.
解由得1a b c +=-且
222222()()(1)(1)22
a b a b c c ab c c +-+---===-.
所以,a b 是一元二次方程
22(1)()0x c x c c --+-=的两根.由a b c >>问题可转化为方程
22(1)()0x c x c c --+-=的二根都大于c .令()f x =22(1)()x c x c c --+-，有
2212()0(1)4()0c
c f c c c c -⎧>⎪⎪>⎨
⎪∆=--->⎪
⎩
即2
2123203210
c c c c c c ->⎧⎪->⎨⎪--<⎩， 求得103c -
<<，因此4(1,)3
a b +∈. 例2点
(0,4)A 、(4,0)B .假设抛物线21y x mx m =-++与线段AB (不包括端点A 及B )有
两个不同的交点，那么m 的取值范围是.(1997年高中数学竞赛) 解：显然直线
AB
的方程为
1(04)44
x y
x +=<<即
4y x =-，代入抛物线方程并整理得
2(1)(3)0x m x m +-+-=.
设
2()(1)(3)f x x m x m =+-+-，问题转化函数()y f x =的图象和x 轴在0到4之间有两个
不同的交点，即方程2
(1)(3)0x m x m +-+-=在(0,4)上有两个不相等的实根.所以
解得m 的取值范围是1733
m <<
. 例3关于x 的实系数二次方程2
0x ax b ++=的两个实数根为,αβ，证明：①假设||2,||2αβ<<，
那么2||4a b <+且||4b <；②假设2||4a b <+且||4b <，那么||2,||2αβ<<.(1993年全国高
考题)
证明①设2()f x x ax b =++，由，函数()y f x =的图象与x 轴在2-到2之间有两个不同的交点.所
以
由(3)、(4)得(4)24b a b -+<<+，所以2||4a b <+. 由(2)，得||4a <，结合(1)得2
416b a <<，所以4b <.将(3)+(4)得4b >-，因此44b -<<，
即||4b <.
②由于2||4a b <+且||4b <，可得4,2||448b a <<+=，所以||4a <，222
a
-<-<.即函数
()f x 的图象的对称轴2
a
x =-
位于两条直线2x =-，2x =之间. 因为
(2)(2)(42)(42)2(4)0f f a b a b b -+=+++-+=+>，
22(2)(2)(42)(42)(4)40f f a b a b b a -⋅=++-+=+->.
所以
(2)0,(2)0
f f ->>.因此函数
()
f x 的图象与
x
轴的交点位于-2和2之间，即
||2,||2αβ<<.
作业
1．抛物线
2(4)2(6),y x m x m m =++-+为实数.m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点都位
于点(1,0)的右侧？
2．,,a b c 都是正整数，且抛物线
2()f x ax bx c =++与x 轴有两个不同的交点
A 、B.假设A 、B
到原点的间隔都小于1，求a b c ++的最小值.
第三课时应用进步
例1假设方程k x x
=-
2
3
2
在[]1,1-上有实根，务实数k 的取值范围.
解法一：方程k x x
=-
232
在[]1,1-上有实根，即方程02
3
2=--k x x 在[]1,1-上有实根，设k x x x f --
=2
3
)(2，那么根据函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标等价于方程0)(=x f 的根.
〔1〕两个实根都在
[]1,1-上，如图：
可得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
≤-≤-≥≥-≥∆1
210)1(0)1(0a b
f f ，解得21169-≤≤-k ； 〔2〕只有一个实根在[]1,1-上，如图：
可得
0)1()1(≤⋅-f f ，解得
2
5
21≤≤-
k ，综合〔1〕与〔2〕可得 实数k 的取值范围为
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-25,169 解法二：方程k x x
=-
232
在[]1,1-上有实根，即存在[]1,1-∈x ，使得等式x x k 2
3
2-=成立，要求k 的取值范围，也即要求函数[]1,1,2
32
-∈-=x x x k 的值域.
设[]1,1,1694323)(2
2
-∈-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=-==x x x x x f k 又因，那么)1(169-≤≤-f k ，
可得2
5
169≤≤-
k . 解法三：令
,232x x y -
=那么k y =，那么方程k x x =-2
3
2在[]1,1-上有实根，等价于方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=k
y x x y 2
32在[]1,1-上有实数解，也即等价于抛物线,232与直线在]1,1上有公一一共点，如下列图 直观可得：2
5
169≤≤-
k . y
2
5
-1o1x
16
9-
解法四：根据解法三的转化思想，也可将原方
程k x x
=-
232
化成k x x +=2
3
2，然后令 k x y x y +==2
3
,2，从而将原问题等价转化为
抛物线2
x y =与直线k x y +=2
3在[]1,1-上有公一一共
点时，“数形结合法〞下去求参数k 的取值范围.
根据图形直观可得：当直线
k x y +=
23
过点)1,1(-， 截距k 最大；当直线k x y +=23与抛物线k x y +=2
3
相切时，截距k 最小.
且169,25-==最小最大k k .故参数的取值范围为2
5
169≤≤-k .
2实数a 、b 、c 满足021a b c
m m m
++=++，其中m 为正数.对于2()f x ax bx c =++.(1)假设0a ≠，求证：()01
m
af m <+；
(2)假设0a ≠，证明方程()0f x =在(0,1)内有实根.
证明(1)由
021a b c m m m ++=++，求得()21
am bm
c m m =-+++，所以 222222211(
)[()()][()][]11112(1)2m m m m m af a a b c a a m m m m m m m m m
=++=-=-+++++++又由2
2(1)
20m m m +>+>，因此
22
110(1)2m m m -<++，故()01
m
af m <+. (2)要证明方程
()0f x =在(0,1)内有实根，只须证明
(0)(1)0f f ⋅<或者者(0)0,
(1)0,0,
0 1.2af af b a >⎧⎪>⎪⎪
∆≥⎨⎪
⎪<-<⎪⎩
但两者都不易证明.由01(0)1m m m <<>+，结合第(1)题()01
m
af m <+，对a 进展讨论： 当0a
>时，有(
)01
m
f m <+.只要证明(0)f c =和(1)f a b c =++中有一个大于零即可. 假设0c >，那么(0)0f >成立，问题得证；
假设0c ≤，由
021a b c m m m ++=++求得(1)(1)
2a m c m b m m
++=--
+，所以 (1)(1)(1)22a m c m a c
f a b c a c m m m m
++=++=--+=-++.
由0,0,0a
m c >>≤，知(1)0f >，命题得证.
故当0a >时，方程()0f x =在(0,1)内有实根.
同理可证，当0a <时，方程
()0f x =在(0,1)内也有根.。