江苏省普通高等学校2017年高三数学招生考试模拟测试试题(一)

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 设集合A ＝{x|－1≤x≤2}，B ＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝____________．
2. 函数y ＝ln(x 2
－x －2)的定义域是____________．
3. 已知sin α＝14，且α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，则tan α＝____________． 4. 定义在R 上的奇函数f(x)，当x ＞0时，f(x)＝2x －x 2，则f(－1)＋f(0)＋f(3)＝____________．
5. 函数y ＝3sinx －cosx －2(x ＞0)的值域是____________．
6. 等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 4＝8a 1，a 4＝4＋a 2，则S 10＝__________．
7. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ＞0，－x －3，x ＜0，若f(a)＞f(1)，则实数a 的取值范围是______________．
8. 等比数列{a n }的公比大于1，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝____________．
9. 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移φ⎝
⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后，得到函数f(x)的图象，若函数f(x)是偶函数，则φ的值等于________．
10. 已知函数f(x)＝ax ＋b x
(a ，b ∈R ，b ＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，且函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞上单调递增，则b 的最大值等于__________． 11. 已知f(m)＝(3m －1)a ＋b －2m ，当m∈[0，1]时，f (m)≤1恒成立，则a ＋b 的最大值是__________．
12. △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tanA ＝2tanB ，a 2－b 2＝13
c ，则c ＝____________．
13. 已知x ＋y ＝1，y ＞0，x ＞0，则12x ＋x y ＋1
的最小值为____________． 14. 设f′(x)和g′(x)分别是函数f(x)和g(x)的导函数，若f′(x)·g′(x)≤0在区
间I 上恒成立，则称函数f(x)和g(x)在区间I 上单调性相反．若函数f(x)＝13
x 3－2ax 与函数g(x)＝x 2
＋2bx 在开区间(a ，b)(a ＞0)上单调性相反，则b －a 的最大值等于____________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知函数f(x)＝2cos ωx 2⎝
⎛⎭⎪⎫3cos ωx 2－sin ωx 2(ω＞0)的最小正周期为2π. (1) 求函数f(x)的表达式；
(2) 设θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，且f(θ)＝3＋65，求cos θ的值．
16.(本小题满分14分)
设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2
n ＋1＋1，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．
(1) 求a 1，a 2的值；
(2) 求证：数列{a n ＋2n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式．
17. (本小题满分14分)
已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋1.
(1) 若函数g(x)＝log a [f(x)＋a](a ＞0，a ≠1)的定义域是R ，求实数a 的取值范围；
(2) 当x ＞0时，恒有不等式f （x ）x
＞lnx 成立，求实数a 的取值范围．
18. (本小题满分16分)
如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2a元，游轮每千米耗费12a元．(其中a是正常数)设∠CDA＝α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元．
(1) 写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
(2) 问：中转点D距离A处多远时，S最小？
19. (本小题满分16分)
设函数f(x)＝x|x－1|＋m，g(x)＝lnx.
(1) 当m＞1时，求函数y＝f(x)在[0，m]上的最大值；
(2) 记函数p(x)＝f(x)－g(x)，若函数p(x)有零点，求实数m的取值范围．
20. (本小题满分16分)
已知数列{a n}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，a1＝1，a2＝2.
(1) 若S5＝16，a4＝a5，求a10；
(2) 已知S15＝15a8，且对任意n∈N*，有a n＜a n＋1恒成立，求证：数列{a n}是等差数列；
(3) 若d1＝3d2(d1≠0)，且存在正整数m，n(m≠n)，使得a m＝a n.求当d1最大时，数列
{a n}的通项公式．
(一)
1. {x|0≤x≤2} 解析：本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．
2. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：由x 2－x －2＞0，则x ＞2或x<1.本题主要考查对
数式中真数大于0，以及一元二次不等式的解法．本题属于容易题．
3. －1515 解析：由sin α＝14，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，得cos α＝－154，则tan α＝sin αcos α＝－
1515
.本题主要考查同角三角函数关系．本题属于容易题． 4. －2 解析：由函数f(x)在R 上是奇函数，则f(0) ＝0，又x ＞0时，f(x)＝2x －x 2，
则f(3)＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－1，则f(－1)＋f(0)＋f(3)＝－2.本题主要考查奇函数的性质．本题属于容易题．
5. [－4，0] 解析：由y ＝3sinx －cosx －2＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6－2，则－4≤y≤0.本题主要考查三角函数的值域，以及和差角公式的逆用．本题属于容易题．
6. 120 解析：由S 4＝8a 1，a 4＝4＋a 2得d ＝2，a 1＝3，则S 10＝10a 1＋45d ＝120.本题主要考查等差数列通项公式以及求和公式．本题属于容易题．
7. a ＜－1或a ＞1 解析：由f(1)＝－2，则f(a)＞－2.当a>0时，有2a －4>－2，则
a>1；当a ＜0时，－x －3＞－2，则a ＜－1.所以实数a 的取值范围是a ＜－1或a ＞1. 本题主要考查分段函数，以及简单不等式的解法．本题属于容易题．
8. 4 解析：由a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6(q>1)，得q ＝2，a 1＝1，则a 3＝4. 本题主要考查等比数列通项公式．本题属于容易题．
9. π3 解析：由函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移φ⎝
⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后，得到函数f(x)＝sin(2x ＋π6－2φ)的图象，函数f(x)是偶函数，π6－2φ＝π2
＋k π，而φ为锐角，则k ＝－1时φ＝π3
.本题主要考查三角函数的图象变换，以及三角函数的奇偶性．本题属于容易题．
10. 23 解析：函数f(x)＝ax ＋b x
(a ，b ∈R ，b ＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线斜率为2, f ′(1)＝2，得a －b ＝2，由函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞上单调递增，f ′(x)≥0在区间⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞上恒成立，得a 4≥b ，又a ＝2＋b ，则b≤23.本题主要考查导数的几何意义，导数在单调性中的运用以及恒成立问题．本题属于中等题．
11. 73 解析：将已知条件变形f(m)＝m(3a －2)＋b －a ，当3a －2＝0时，即a ＝23
，则有b －a≤1，即b≤a＋1，所以a ＋b≤2a＋1＝2×23＋1＝73；当3a －2＞0，即a ＞23
时，函数f(m)在[0，1]上单调递增，f(m)max ＝f(1)＝3a －2＋b －a ＝2a ＋b －2≤1，则b≤3－2a ，所以
a ＋b≤a＋3－2a ＝3－a ＜73；当3a －2＜0，即a ＜23
时，函数f(m)在[0，1]上单调递减，f(m)max ＝f(0)＝b －a≤1，则b≤a＋1，所以a ＋b≤2a＋1＜73.综上所述，a ＋b 的最大值为73
.本题主要考查在多元变量中如何变换主元以及借助单调性求最值来解决不等式的恒成立问题．本题属于中等题．
12. 1 解析：由tanA ＝2tanB sinA cosA ＝2sinB cosB ，结合正、余弦定理转化为边的关系，有
2abc b 2＋c 2－a 2＝2×2abc a 2＋c 2－b 2，化简有a 2－b 2＝13
c 2，结合已知条件有c ＝1.本题主要考查利用正、余弦定理解三角形以及三角函数中遇切化弦．本题属于中等题．
13. 54 解析：将x ＋y ＝1代入12x ＋x y ＋1中，得x ＋y 2x ＋x x ＋2y ＝12＋y 2x ＋11＋2y x
，设y x ＝t ＞0，则原式＝1＋t 2＋11＋2t ＝2t 2＋3t ＋32（1＋2t ）＝14·（1＋2t ）2＋2t ＋1＋41＋2t ＝14[(1＋2t)＋41＋2t
＋1]≥14×2（1＋2t ）·41＋2t ＋14＝54，当且仅当t ＝12时，即x ＝23，y ＝13
时，取“＝”．本题主要考查利用代数式变形，以及利用基本不等式求最值．本题属于难题．
14. 12 解析：因为g(x)＝x 2＋2bx 在区间(a ，b)上为单调增函数，所以f(x)＝13x 3－2ax 在区间(a ，b)上单调减，故x ∈(a ，b)，f ′(x)＝x 2－2a≤0，即a≥b 22
，而b ＞a ，所以b∈(0，2)，b －a≤b－b 22＝－12(b －1)2＋12，当b ＝1时，b －a 的最大值为12
.本题主要考查二次函数的单调性、最值问题和导数在单调性中的运用以及恒成立问题．本题属于难题.
15. 解：(1) f(x)＝2cos ωx 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos ωx 2－sin ωx 2＝23cos 2ωx 2－2cos ωx 2sin ωx 2
＝3(1＋cos ωx)－sin ωx(2分)
＝3－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.(4分) ∵ 函数f(x)的最小正周期为2π，∴ 2πω
＝2π，ω＝1.(6分) ∴ f(x)＝3－2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3.(7分) (2) 由f(θ)＝3＋65，得sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－35. ∵ θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ θ－π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6， ∴ cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π3＝45.(9分) ∴ cos θ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π3＋π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3cos π3－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π3sin π3(12分) ＝45×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4＋3310
.(14分) 16. (1) 解：由已知，得2a 1＝a 2－3 ①，
2(a 1＋a 2)＝a 3－7 ②.(2分)
又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，
所以a 1＋a 3＝2a 2＋10 ③.(3分)
解①②③，得a 1＝1，a 2＝5.(5分)
(2) 证明：由已知，n ∈N *时，2(S n ＋1－S n )＝a n ＋2－a n ＋1－2n ＋2＋2n ＋1，即a n ＋2＝3a n ＋1＋2n ＋1，
即a n ＋1＝3a n ＋2n (n≥2)，(7分)
由(1)得，a 2＝3a 1＋2，∴ a n ＋1＝3a n ＋2n (n∈N *)，(9分)
从而有a n ＋1＋2n ＋1＝3a n ＋2n ＋2n ＋1＝3a n ＋3×2n ＝3(a n ＋2n )．(11分)
又a 1＋2＞0，∴ a n ＋2n ＞0，∴ a n ＋1＋2n ＋1
a n ＋2n ＝3， ∴ 数列{a n ＋2n }是等比数列，且公比为3.(12分)
∴ a n ＋2n ＝(a 1＋2)×3n －1＝3n ，即a n ＝3n －2n .(14分)
[注：① 不说明a 2＝3a 1＋2，就得a n ＋1＝3a n ＋2n (n∈N *)，扣1分；② 仅由a n ＋1＋2
n ＋1＝3(a n ＋2n )，就得到数列{a n ＋2n }是等比数列，扣1分．]
17. 解：(1) 由题意得，对任意x∈R ，恒有f(x)＋a ＞0，即恒有x 2－2ax ＋1＋a ＞0，
(2分)
于是Δ＝4a 2－4(1＋a)＜0，(3分)
即a 2－a －1＜0，解得1－52＜a ＜1＋52.(3分) 因为a ＞0，a ≠1，所以实数a 的取值范围是(0，1)∪⎝
⎛⎭⎪⎫1，1＋52.(5分) (2) 当x ＞0时，不等式f （x ）x ＞lnx 等价于x －2a ＋1x ＞lnx ，即2a ＜x ＋1x
－lnx ，(7分)
设g(x)＝x ＋1x －lnx ，则g′(x)＝1－1x 2－1x ＝x 2－x －1x
2.(9分) 令g′(x)＝0，得x ＝1＋52
， 当0＜x ＜1＋52
时，g ′(x)＜0，g(x)单调减， 当x ＞1＋52
时，g ′(x)＞0，g(x)单调增，(11分) 故当x ＝1＋52时，g(x)min ＝g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋52＝5－ln 1＋52，(13分) 所以2a ＜5－ln 1＋52
， 所以实数a 的取值范围是⎝
⎛⎭
⎪⎫－∞，52－12ln 1＋52.(14分) 18. 解：(1) 由题知在△ACD 中，∠CAD ＝π3，∠CDA ＝α，AC ＝10，∠ACD ＝2π3
－α. 由正弦定理知CD sin π3＝AD sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3－α＝10sin α，(2分) 即CD ＝53sin α，AD ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－αsin α
，(3分) 所以S ＝4aAD ＋8aBD ＋12aCD ＝(12CD －4AD ＋80)a
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤603－40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－αsin αa ＋80a(5分) ＝203（3－cos α）·a sin α＋60a ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
＜α＜2π3.(6分) (2) S′＝203·1－3cos αsin 2α
·a ，(8分) 令S′＝0得cos α＝13，(10分)
当cos α＞13时，S ′＜0；当cos α＜13
时，S ′＞0，(12分) 所以当cos α＝13
时，S 取得最小值，(13分) 此时sin α＝223，AD ＝53cos α＋5sin αsin α＝5＋564
，(15分) 所以中转点D 距A 处20＋564
km 时，运输成本S 最小．(16分) 19. 解：(1) 当x∈[0，1]时，f(x)＝x(1－x)＋m ＝－x 2＋x ＋m ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋m ＋14， 当x ＝12时，f(x)max ＝m ＋14
.(2分) 当x∈(1，m]时，f(x)＝x(x －1)＋m ＝x 2－x ＋m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋m －14， 因为函数y ＝f(x)在(1，m]上单调递增，所以f(x)max ＝f(m)＝m 2.(4分)
由m 2≥m ＋14得m 2－m －14≥0，又m ＞1，所以m≥1＋22.(6分) 所以当m≥1＋22时，f(x)max ＝m 2；当1＜m ＜1＋22时，f(x)max ＝m ＋14
.(8分) (2) 函数p(x)有零点，即方程f(x)－g(x)＝x|x －1|－lnx ＋m ＝0有解，
即m ＝lnx －x|x －1|有解．令h(x)＝lnx －x|x －1|，
当x∈(0，1]时，h(x)＝x 2－x ＋lnx.
因为h′(x)＝2x ＋1x
－1≥22－1＞0，(10分) 所以函数h(x)在(0，1]上是增函数，所以h(x)≤h(1)＝0.(11分)
当x∈(1，＋∞)时，h(x)＝－x 2＋x ＋lnx.
因为h′(x)＝－2x ＋1x ＋1＝－2x 2＋x ＋1x
＝－（x －1）（2x ＋1）x
＜0，(12分) 所以函数h(x)在(1，＋∞)上是减函数，
所以h(x)＜h(1)＝0.(14分)
所以方程m ＝lnx －x|x －1|有解时m≤0.
即函数p(x)有零点时实数m 的取值范围是(－∞，0]．(16分)
20. (1) 解：由题意，得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝a 1＋d 1＝1＋d 1，a 4＝a 2＋d 2＝2＋d 2，a 5＝a 3＋d 1＝1＋2d 1.(2分)
因为S 5＝16，a 4＝a 5，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝7＋3d 1＋d 2＝16，2＋d 2＝1＋2d 1.所以d 1＝2，d 2＝3，(4分)
所以a 10＝2＋4d 2＝14.(5分)
(2) 证明：当n 为偶数时，因为a n ＜a n ＋1恒成立， 即2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫n 2－1d 2＜1＋n 2d 1，n 2(d 2－d 1)＋1－d 2＜0恒成立，所以d 2－d 1≤0且d 2＞1.(7分) 当n 为奇数时，因为a n ＜a n ＋1恒成立，
即1＋n －12d 1＜2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫n ＋12－1d 2，(1－n)(d 1－d 2)＋2＞0恒成立，所以d 1－d 2≤0，于是有d 1＝d 2.(9分) 因为S 15＝15a 8，所以8＋8×72d 1＋14＋7×62d 2＝30＋45d 2，
所以d 1＝d 2＝2，a n ＝n ，所以数列{a n }是等差数列．(11分)
(3) 解：若d 1＝3d 2(d 1≠0)，且存在正整数m ，n (m≠n)，使得a m ＝a n ，
由题意得，在m ，n 中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设m 为奇数，n 为偶数．
因为a m ＝a n ，所以1＋m －12d 1＝2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫n 2－1d 2.(13分) 因为d 1＝3d 2，所以d 1＝63m －n －1
. 因为m 为奇数，n 为偶数，所以3m －n －1的最小正值为2，此时d 1＝3，d 2＝1.(15分)
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32n －12，n 为奇数，12n ＋1，n 为偶数.
(16分)。