2019人教版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.1.2导数的概念

9．利用导数的定义，求函数
1 y＝ x2＋ 2 在点 x＝1 处的导数．
1
1
解：因为 Δ y＝ （ x＋ Δ x） 2＋ 2 － x2＋ 2 ＝
－ 2xΔx－（ Δ x） （ x＋ Δ x） 2· x2
2
，所以
Δ Δ
y＝ x
（
－2x－ Δ x x＋Δ x） 2·
x 2，
所以 y′＝
Δy Δ x＝
－ 2x－ Δx
Δs Δ t ＝ 2t －4＝ 0，所以 t ＝2. 答案： C 2 ．婴儿从出生到第 24 个月的体重变化如图所示，第二年婴儿体重的平均变化率为
________kg/ 月．
解析：第二年婴儿体重的平均变化率为
14.25 － 11.25 24－ 12 ＝ 0.25(kg/ 月 ) ．
答案： 0.25 3．若一物体运动方程是 ( s 的单位是 m， t 的单位是 s)
2
（ x＋ Δ x） 2· x2＝－ x3，
所以 y′｜x＝ 1＝－ 2. 10．在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间
t 存在关系 s( t ) ＝10t ＋ 5t 2( s 的单位是
m， t 的单位是 s) ．
(1)
求 t ＝ 20， Δ t ＝0.1
时的
Δ
s
与
Δ Δ
s t；
(2) 求 t ＝ 20 时的速度．
解： (1) 当 t ＝ 20， Δt ＝ 0.1 时， Δ s ＝ s(20 ＋ Δ t ) － s(20) ＝ 10(20 ＋ 0.1) ＋ 5(20 ＋ 0.1) 2－(10 × 20 ＋ 5 × 202) ＝ 1＋ 20＋
5×0.01 ＝ 21.05.
所以 Δs＝ 21.05 ＝ 210.5. Δ t 0.1
常数 ) ，则 (
)
A． f ′( x) ＝ a
B．f ′ ( x) ＝ b
C． f ′( x0) ＝ a
D．f ′ ( x0) ＝ b
解析：因为 f ′（x0) ＝
f （ x0＋ Δ x）－ f （ x0）
Δx
＝
aΔx＋ b（ Δ x） 2
Δx
＝
( a＋ bΔ x) ＝a，所以 f ′（x0) ＝ a.
f （ 1.2 ＋ Δt ）－ f （ 1.2 ）
Δt
＝
2[1 －（ 1.2 ＋ Δ t ） 2] －2×（ 1－ 1.2 2） ＝
Δt
2( －Δ t － 2.4) ＝－ 4.8(m/s) ． 答案： A 二、填空题
6．设函数 f ( x) 满足
f （1）－ f （ 1－ x）
x
＝－ 1，则 f ′(1) ＝ ________ ．
所以
Δ
y ＝
Δx
(2 ＋ Δ x) ＝ 2.
答案： B
2．一物体运动满足曲线方程 s＝ 4t 2＋ 2t －3，且 s′(5) ＝ 42(m/s) ，其实际意义是 (
)
A．物体 5 秒内共走过 42 米
B．物体每 5 秒钟运动 42 米
C．物体从开始运动到第 5 秒运动的平均速度是 42 米 / 秒
D．物体以 t ＝ 5 秒时的瞬时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的路程为
42 米
解析：由导数的物理意义知， s′ (5) ＝ 42(m/s) 表示物体在 t ＝ 5 秒时的瞬时速度．
答案： D 3．设函数 f ( x) 在点 x0 附近有定义，且有 f ( x0＋ Δ x) －f ( x0) ＝ aΔ x＋ b( Δ x) 2， ( a， b 为
解析：
f （ 1）－ f （ 1－ x）
x
＝
f （ 1－ x）－ f （ 1）
－x
＝ f ′(1) ＝－ 1.
答案：－ 1 7．函数 f ( x) ＝ x2＋ 1 在 x＝ 1 处可导，在求 f ′(1) 的过程中，设自变量的增量为
Δx，则
函数的增量 Δ y＝ ________． 解析： Δ y＝ f (1 ＋ Δx) － f (1) ＝－ (1 2＋ 1) ＝ 2Δ x＋( Δ x) 2. 答案： 2Δ x＋ ( Δ x) 2
答案： C
4．已知 y＝ x＋4，则 y′｜x＝1＝ ________．
5
5
5
A. B.
C.
2
10
5 D ．－ 10
解析：由题意知 Δ y＝ 1＋ Δ x＋ 4－ 1＋ 4＝ 5＋ Δ x－ 5，
Δy 所 以 Δx ＝
5＋ Δx－ 5
Δx
. 所 以 y′｜x ＝ 1 ＝
5＋ Δ x－ 5
Δx
＝
Δx
1．某物体运动规律是 s＝ t 2－ 4t ＋5，若此物体的瞬时速度为 0，则 t ＝ (
)
A． 3 B ． 2.5 C ． 2 D ． 1 解析： Δ s＝ ( t ＋ Δ t ) 2－ 4( t ＋ Δ t ) ＋ 5－ ( t 2－ 4t ＋ 5) ＝ 2t Δ t ＋ ( Δt ) 2－ 4Δ t ，因为 v＝
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第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数
1.1.2 导数的概念
A 级 基础巩固
一、选择题
1． y＝x2 在 x＝ 1 处的导数为 (
)
A． 2x B ． 2 C ． 2＋Δ x D ． 1 解析：因为 f ( x) ＝ x2，x＝ 1，所以 Δy＝ f (1 ＋ Δ x) －f (1) ＝ (1 ＋Δ x) 2－ 1＝ 2Δ x＋( Δ x) 2，
5
Δ x（
5＋ Δ x＋
＝ 5）
10
.
答案： B 5．如果某物体做运动方程为
s＝ 2(1 － t 2) 的直线运动 ( s 的单位为 m， t 的单位为 s) ，那
么其在 1.2 s 末的瞬时速度为 ( A．－ 4.8 m/s
) B．－ 0.88 m/s
C． 0.88 m/s
D．4.8 m/s
解 析 ： 运 动 物 体 在 1.2 s 末 的 瞬 时 速 度 即 为 s 在 1.2 处 的 导 数 ， 所 以
(2) v＝
Δ
s ＝
Δt
10（ t ＋Δ t ）＋ 5（ t ＋Δ t ） 2－ 10t －5t 2 ＝
Δt
5（ Δt ） 2＋ 10Δ t ＋ 10t Δ t
Δt
＝
(5 Δ t ＋10＋ 10t ) ＝ 10＋10t ，
所以 t ＝ 20 时的速度即为 10＋10×20＝ 210(m/s) ．
B 级 能力提升
8．某物体做匀速直线运动，其运动方程是
s＝ vt ，则该物体在运动过程中其平均速度与
任何时刻的瞬时速度的大小关系是 ________ ．
解析： v0＝
Δs ＝
Δt
s（t 0＋Δ t ）－ s（ t 0） ＝
Δt
v（ t 0＋ Δ t ）－ v（ t 0） ＝
Δt
vΔt Δt ＝v.
答案：相等 三、解答题