人教A版数学必修一第二、三章滚动性检测.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
第二、三章滚动性检测 时间：120分钟 分值：150分
一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合A ＝{y |y ＝log 3x ，x >1}，B ＝⎝⎛⎭
⎬⎫y ⎪⎪
y ＝⎝⎛⎭⎫13x ，x >1，则A ∩B ＝( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫
y ⎪⎪ 0<y <13 B ．{y |0<y <1} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫
y ⎪⎪
13<y <1 D ．∅ 答案：A
解析：由x >1可得y ＝log 3x >log 31＝0，y ＝⎝⎛⎭⎫13x <⎝⎛⎭⎫131＝13，因此A ＝{y |y >0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪
⎪
0<y <13，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫
y ⎪
⎪
0<y <13，选A. 2．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x (x >0)，3x (x ≤0)，)则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫14的值是( ) A ．9 B.1
9
C ．－9
D ．－1
9
答案：B
解析：f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫14＝f ⎝⎛⎭⎫log 214＝f (log 22－2)＝f (－2)＝3－2＝19
，故选B. 3．函数的定义域是( ) A.⎝⎛⎭⎫34，＋∞ B ．(－∞，1] C.⎝⎛⎦⎤34，1 D ．[1，＋∞) 答案：C 解析：由对数的真数大于0且根号内非负可知4x －3>0且log 12
(4x －3)≥0，即4x －3>0
且0<4x －3≤1，解得3
4
<x ≤1，选C.
4．若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 20.3，则( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >b >c
解析：显然a ＝20.5＝2>1,0＝log π1<log π3<log ππ＝1，即0<b <1，c ＝log 20.3<log 21＝0，因此a >b >c ，选D.
5．一种商品连续两次降价10%后，欲通过两次连续提价(每次提价幅度相同)恢复原价，则每次应提价( )
A ．10%
B ．20%
C ．5%
D ．11.1% 答案：D
解析：设原价为a ，则两次降价后价格为0.81a ＝81
100
a .
设每次提价x ，则81100a (1＋x )2＝a ，于是1＋x ＝109.即x ＝1
9
≈11.1%
6．某农村在2003年年底共有人口1500人，全年工农业生产总值为3000万元，从2004年起该村的总产值每年增加50万元，人口每年净增25人．设从2004年起的第x 年年底(2004
年为第一年，x ∈N *
)该村人均产值为y 万元．则到2014年底该村人均产值y 是( )
A ．1万元
B ．1.5万元
C ．2万元
D ．2.5万元 答案：C
解析：由题意得，第x 年总产值为3000＋50x 万元，人口数为1500＋25x ，则x ＝f (x )＝3000＋5x
1500＋25x
，x ∈[1,10]，x ∈N *.当x ＝11时，y ＝2(万元)．
7．已知函数f (x )的定义域为R ，f (x )在R 上是减函数，若f (x )的一个零点为1，则不等式f (2x －1)>0的解集为( )
A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞
B.⎝
⎛⎭⎫－∞，12 C ．(1，＋∞) D ．(－∞，1) 答案：D
解析：由f (x )是定义在R 上的减函数且f (x )的一个零点为1，易知当x <1时f (x )>0，所以f (2x －1)>0等价于2x －1<1，解得x <1，因此选D.
8．设α∈⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为
( )
A ．－1,1,3
B ．－1,1
C ．－1,3
D ．1,3 答案：D
解析：当α＝－1时，y ＝1
x
，此时x 不能为0，因此不符合；当α＝1时，y ＝x ，显然定
义域为R 且为奇函数，因此符合；当α＝1
2
时，y ＝x ，此时x 不能为负数，因此不符合；当
α＝3时，y ＝x 3
，显然定义域为R 且为奇函数，因此符合，所以所有符合条件的α值包括1,3，选D.
9．已知函数f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)，则函数y ＝f (x )的图象是( )
解析：由f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)可知函数必为减函数，而且是指数函数，因此显然只有A 符合．
10．已知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2
－x ＋a ，若函数g (x )＝f (x )－x 的零点恰有两个，则实数a 的取值范围是( )
A ．a <0
B ．a ≤0
C ．a ≤1
D ．a ≤0或a ＝1 答案：D
解析：由于f (x )为奇函数，且y ＝x 是奇函数，所以g (x )＝f (x )－x 也应为奇函数，所以由函数g (x )＝f (x )－x 的零点恰有两个，可见两零点必定分别在(－∞，0)和(0，＋∞)内，由此得到函数g (x )＝x 2－2x ＋a 在(0，＋∞)上仅有一个零点，即函数y ＝－(x －1)2＋1与直线y ＝a 在(0，＋∞)上仅有一个公共点，数形结合易知应为a ≤0或a ＝1，选D.
11．已知函数f (x )唯一的零点在区间(1,4)和(2,5)内，那么下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )在(1,2)内有零点 B ．函数f (x )在(4,5)内有零点 C ．函数f (x )在(2,4)内有零点
D ．函数f (x )的零点以上都有可能 答案：C
解析：因为函数f (x )唯一的零点在区间(1,4)，(2,5)内，所以必在(2,4)内．
12．若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一个实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞) C ．(－1,1) D ．[0,1) 答案：B
解析：当a ＝0时，x ＝－1，不符合题意，所以a ≠0，当a ≠0时，由二次函数f (x )＝2ax 2
－x －1的图象可知，f (x )＝0在(0,1)内恰有一个实数解的条件是f (0)·f (1)<0，即－1×(2a －2)<0，所以a >1.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．若定义在区间(1,2)内的函数f (x )＝log 3a (x －1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是________．
答案：0＜a ＜1
3
当x ∈(1,2)时，x －1∈(0,1)，而此时必有0＜3a ＜1，因此0＜a ＜1
3
.
14．已知函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上递增，则f (－2)与f (a ＋1)的大小关系为________．
答案：f (－2)<f (a ＋1)
解析：当x ∈(0，＋∞)时，显然有f (x )＝log a |x |＝log a x ，由函数单调递增可知a >1，易知f (x )为偶函数，因此f (a ＋1)>f (1＋1)＝f (2)＝f (－2)．所以f (－2)<f (a ＋1)．
15．求方程x 3－3x －1＝0在区间(1,2)内的实根，用“二分法”确定的下一个有根的区间是________．
答案：(1.5,2)
解析：解由f (1)＝1－3－1＜0 f (2)＝8－6－1＞0 f (32)＝278－9
2
－1＜0 知函数下一个有根的区间为(1.5,2)
16．对于函数f (x )＝log 2x 在其定义域内任意的x 1，x 2且x 1≠x 2，有如下结论：
①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
>0；④f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)
2.
上述结论中正确结论的序号是________．
答案：②③
解析：对于①，取x 1＝2，x 2＝4，可知f (x 1)·f (x 2)＝log 22·log 24＝2，而f (x 1＋x 2)＝log 26≠log 24＝2，因此①不成立；对于②，由对数运算性质有f (x 1·x 2)＝log 2(x 1·x 2)＝log 2x 1＋log 2x 2＝f (x 1)
＋f (x 2)，因此②成立；对于③，f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
表示的正是两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))之间的变化
率情况，由f (x )＝log 2x 的图象易知其函数图象上任意两点之间的变化率必为正，因此③成立；
对于④，取x 1＝2，x 2＝8，可知f (x 1)＋f (x 2)2＝log 22＋log 282＝2，f ⎝⎛⎭⎫
x 1＋x 22＝log 25，
而log 25>log 24
＝2，此时f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>
f (x 1)＋f (x 2)
2，因此④不成立．综上所述，应填②③.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)设函数f (x )＝x 2
－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2[f (a )]＝2(a ≠1)．求f (log 2x )的最小值及对应的x 值．
解：由f (log 2a )＝b 得(log 2a )2－log 2a ＝0. 由a ≠1，知log 2a ＝1，解得a ＝2. 于是f (a )＝f (2)＝2＋b
log 2〔f (a )〕＝log 2(2＋b )＝2 得2＋b ＝4， ∴b ＝2.
因此，f (x )＝x 2－x ＋2.
f (lo
g 2x )＝(log 2x )2＝log 2x ＋2＝(log 2x －12)2＋7
4
，
∴当x ＝2时，f (log 2x )取最小值，其最小值为7
4
.
18．(12分)已知函数f (x )＝⎩
⎨⎧
1
2
x ＋1，x ≥0，(12
)－4x
＋1，x ＜0.
(1)若f (a )＝3
2
，求a 的值；
(2)解不等式f (x )＞2
2
＋1.
解：(1)由f (a )＝3
2，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥0，12a ＋1＝32或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＜0，(12)－4a ＋1＝32. 解得a ＝1或a ＝－14
.
(2)由不等式f (x )＞2
2＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，12x ＋1＞22＋1或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＜0，(12
)－4x ＋1＞22＋1. 解得x ＞2或－1
8＜x ＜0.
所以不等式f (x )＞22＋1的解为x ＞2或－1
8
＜x ＜0.
19．(12分)已知函数f (x )＝ax 3
－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有唯一零点． (1)求实数a 的取值范围．
(2)若a ＝32
17
，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．
解：(1)若a ＝0，则f (x )＝－4与题意不符． 故a ≠0，因而f (x )在(－1,1)上为单调函数． 且f (－1)·f (1)＝8(a －1)(a －2)<0 解得1<a <2
(2)若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋28
17
于是有f (－1)>0, f (1)<0.f (0)＝28
17>0
故零点在(0,1)上，又f (1
2
)＝0.
所以f (x )＝0，在区间(－1,1)上的根为1
2
.
20．(12分)已知函数f (x )，若在定义域内存在x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则称x 0为函数f (x )的局部对称点．
(1)若a ，b ，c ∈R ，证明函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －b 必有局部对称点；
(2)是否存在常数m ，使得函数f (x )＝4x －m ·2x ＋
1＋m 2－3有局部对称点？若存在，求出m 的范围，否则说明理由．
解：(1)证明：由f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －b 得f (－x )＝－ax 3＋bx 2－cx －b ，代入f (－x )＝－f (x )得ax 3＋bx 2＋cx －b －ax 3＋bx 2－cx －b ＝0得到关于x 的方程2bx 2
－2b ＝0，b ≠0时，x ＝±1，
当b ＝0，x ∈R 等式恒成立，
所以函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －b 必有局部对称点；
(2)∵f (x )＝4x －m ·2x ＋
1＋m 2－3，
∴f (－x )＝4－x －m ·2－x ＋
1＋m 2－3，
由f (－x )＝－f (x )，∴4－x －m ·2－x ＋1＋m 2－3＝－(4x －m ·2x ＋
1＋m 2－3)，
于是4x ＋4－x －2m (2x ＋2－
x )＋2(m 2－3)＝0 (*)在R 上有解，
令t ＝2x ＋2－x (t ≥2)，则4x ＋4－
x ＝t 2－2，
∴方程(*)变为t 2－2mt ＋2m 2－8＝0在区间[2，＋∞)内有解，需满足条件： ⎩
⎪⎨⎪⎧
Δ＝4m 2－8(m 2－4)≥02m ＋4－(8－m 2)
2≥2，解得⎩⎨⎧
－22≤m ≤22
1－3≤m ≤22， 化简得1－3≤m ≤2 2.
21．(12分)已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )为偶函数． (1)求k 的值；
(2)若方程f (x )＝log 4(a ·2x －a )有且只有一个根，求实数a 的取值范围．
解：(1)因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，log 4(4－
x ＋1)－kx ＝log 4(4x ＋1)＋kx
log 44x ＋14x －log 4(4x ＋1)＝2kx ⇒(2k ＋1)x ＝0⇒k ＝－12
.
(2)依题意知：log 4(4x ＋1)－1
2
x ＝log 4(a ·2x －a ) *
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
4x ＋1＝(a ·2x －a )·2x (a ·
2x －a )＞0 令t ＝2x 则*变为(1－a )t 2＋at ＋1＝0只需其有一个正根． ①a ＝1，t ＝－1不合题意
②*式有一正一负根⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＝a 2
－4(1－a )＞0t 1t 2＝1
1－a
＜0经验证满足a ·2x －a ＞0，∴a ＞1. ③两根相等Δ＝0⇒a ＝±22－2，经验证a ·2x －a ＞0，∴a ＝－2－2 2.
综上所述，∴a ＞1或a ＝－2－2 2.
22．(12分)已知函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋1(a ，b 为实数)，x ∈R ，F (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x ) (x >0)，－f (x ) (x <0).
(1)若f (－1)＝0，且函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求F (x )的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围； (3)设m ·n <0，m ＋n >0，a >0且f (x )为偶函数，判断F (m )＋F (n )能否大于零？
解：(1)∵f (－1)＝0，
∴a －b ＋1＝0.又x ∈R ，f (x )≥0恒成立， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，Δ＝
b 2
－4a ≤0， ∴b 2－4(b －1)≤0，∴b ＝2，a ＝1. ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2.
∴F (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
(x ＋1)2
(x >0)，
－(x ＋1)2
(x <0). (2)由(1)知g (x )＝f (x )－kx ＝x 2
＋2x ＋1－kx ＝x 2
＋(2－k )x ＋1＝⎝
⎛⎭⎫x ＋2－k 22
＋1－(2－k )2
4，
当
k －22≥2或k －2
2
≤－2时，即k ≥6或k ≤－2时，g (x )是单调函数． (3)∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝ax 2＋1，
F (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
ax 2＋1 (x >0)，－ax 2
－1 (x <0).∵m ·n <0，设m >n ，则n <0. 又m ＋n >0，
∴m >－n >0，且|m |>|－n |.
∴F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝(am 2＋1)－an 2－1＝a (m 2－n 2)>0. ∴F (m )＋F (n )能大于零．。