小升初数学总复习(四)---长、正方体与圆柱体的体积(解析版)全国通用版

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小升初数学专题突破(四)
长、正方体与圆柱体的体积
答案与解析
方法分享:
1.等体积之不规则变规则:即根据体积不变原理,把不规则部分的体积,变成规则部分的体
积。

如23题:左侧空白部分的体积,等于右侧空白部分的体积。

即左侧不规则的空白部分可以看成底面积相等的,高为5cm的圆柱体。

原瓶子总体积相当于与原来底面积相等的,高为25cm的圆柱体。

2.积不变之方程思想。

当读到铸成,铺成,倒入等关键字时,可以利用体积想等,列出方
程。

3.积不变之比例法:
例:一个长方体容器,长5dm,宽3dm,高4dm,内盛有深3dm的水。

若把这些水倒入一个长5dm,宽4dm,高3dm的容器中,则水深多少?(隐含两个容器体积相等,可以用来解决容器不同方式放置类的试题。

)
巧解:3 × 3
4=9
4
dm. 即水深9
4
dm.
4.旋转成形,抓住轴,判断所在体的形状。

一.长方体与正方体的体积
1.用一只棱长6厘米的正方体容器盛满水后,倒入一只长12厘米,宽6厘米,高5厘米的长方体水箱里,水面高多少厘米?
画龙点睛:先求出正方体容器的容积,然后用这个体积除以长方体水箱的底面积就是水深的高度.
答案与解析:6×6×6,
=36×6,
=216(立方厘米);
216÷(12×6),
=216÷72,
=3(厘米);
答:水面高3厘米.
2.用铁丝焊一个棱长8厘米的正方体框架,这个正方体的体积是512 。

如果改焊成一个长10厘米,宽8厘米的长方体,这个长方体的高是 6 厘米。

画龙点睛:根据正方体的体积公式:V=a3,把数据代入个数据库求出正方体的体积;再根据正方体的棱长总和=棱长×12,求出这根铁丝的长度,然后用铁丝的长度除以4减去长和宽即可求出长方体的高。

答案与解析:8×8×8=512(立方厘米)
8×12÷4﹣(10+8)
=96÷4﹣18
=24﹣18
=6(厘米)
答:这个正方体的体积是512立方厘米,长方体的高是6厘米。

3.一个长方体的棱长和是120米,长、宽、高的比是1:2:3,求这个长方体的体积?
画龙点睛:长方体的棱有12条,分为长、宽、高三组,每组4条,知道棱长总和为120,120÷4可得长、宽、高的和,又知道长、宽、高的比是1:2:3,运用按比例分配解应用题的思路可求得长、宽、高,长×宽×高可得长方体的体积.
答案与解析:120÷4=30(米),
1+2+3=6,
=5(米);
30×1
6
=10(米);
30×2
6
=15(米),
30×3
6
5×10×15=750(立方米).
答:这个长方体的体积是750立方米.
4.一个长方体木块,从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后,便成为一个正方体,表面积减少了120平方厘米,原来长方体的体积是多少立方厘米?
画龙点睛:根据长方体的特征,相对的面面积相等,从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后,表面积减少了120平方厘米,减少的只是前后左右的侧面积,因为截去两部分后又露出两个底面;又因为剩下部分是正方体,因此减少部分(上+下)的
4个面的面积相等,因此求出一个面的面积,120÷4=30(平方厘米),再除以上下部分的高就可以求出剩下部分正方体的棱长;由此解答.
答案与解析:120÷4÷(2+3)=30÷5=6(厘米);
6×6×(6+5)=36×11=396(立方厘米);
答:原来长方体的体积是396立方厘米.
5.一个长方形牛奶盒里面的长、宽、高分别是6cm、4cm、15cm。

里面装满牛奶,亮亮喝了一些(图中空白部分),亮亮喝了72 毫升牛奶。

画龙点睛:通过观察图形可知:这盒牛奶亮亮喝了一些后,空着部分相当于一个长6厘米,宽4厘米,高6厘米的长方体的体积的一半,根据长方体的体积(容积)公式:V=abh,把数据代入公式解答。

答案与解析:6×4×6÷2
=144÷2
=72(立方厘米)
72立方厘米=72毫升
答:亮亮喝了72毫升牛奶。

所以答案为:72。

6.小明有5根3厘米、9根7厘米的小棒,用其中的12根搭了一个长方体,这个长方体的体积是147 立方厘米。

画龙点睛:根据长方体的特征,长方体的12条棱分为互相平行的3组,每组4条棱的长度相等,当长方体有两个相对的面是正方形时,这个长方体中有8条棱的长度相等,另外4他的长度相等。

由此可知,可以选3厘米的4根,7厘米的8根搭一个长方体,根据长方体的体积公式:V=abh,把数据代入公式解答。

答案与解析:选3厘米的4根,7厘米的8根搭一个长方体。

7×7×3
=49×3
=147(立方厘米)
答:这个长方体的体积是147立方厘米。

所以答案为:147。

二.长方体与正方体的体积与表面积的变化关系
7.一个长方体的底面是一个正方形,高是3.6dm,它的体积是14.4dm3,则长方体的表面积是36.8 dm2。

画龙点睛:根据长方体的体积=底面积×高,用长方体的体积14.4除以高3.6求出长方体的底面积是4平方分米,因为底面是正方形,又因为2×2=4,所以长方体底面的长和宽都是2分米,再根据长方体的表面积:等于它的六个面的面积之和,由此即可解答。

答案与解析:14.4÷3.6=4(平方分米)
因为2×2=4,所以长方体底面的长和宽都是2分米
4×2+3.6×2×4
=8+28.8
=36.8(平方分米)
答:长方体的表面积是36.8dm2。

所以答案为:36.8。

8.把1米长的长方体木料沿横截面锯成3段,这3段木料的表面积之和比原木料的表面积增加了60平方厘米。

原来这根木料的体积是1500立方厘米。

画龙点睛:根据题意可知,把这个长方体木料锯成3段,表面积增加了60平方厘米,表面积增加的是4个截面的面积,据此可以求出长方体的底面积,再根据长方体的体积公式:V=Sh,把数据代入公式解答。

答案与解析:1米=100厘米
60÷4×100
=15×100
=1500(立方厘米)
答:原来长方体木料的体积是1500立方厘米。

所以答案为:1500立方厘米。

9.用一根240cm长的铁丝做一个长方体框架,使它的长、宽、高的比是1:1:2,再把它的五个面糊上纸(如图,底面不糊纸),做一个长方体孔明灯.
①至少需要多少平方厘米的纸?
②这个孔明灯的容积是多少立方厘米?
画龙点睛:根据长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4,用棱长总和除以4求出长、宽、高的和,再利用按比例分配的方法分别求出长、宽、高;
①下面为空,是求剩下5个面的总面积,根据长方体的表面积公式求解即可;
②求容积,根据容积(体积)公式:v=abh进行求解即可.
答案与解析:①240÷4=60(厘米)
1+1+2=4
=15(厘米)
60×1
4
=15(厘米)
60×1
4
=30(厘米)
60×2
4
15×15+15×30×4
=225+450×4
=225+1800
=2025(平方厘米)
答:至少需要2025平方厘米的纸.
②15×15×30=6750(立方厘米);
答:个孔明灯的容积是6750立方厘米.
三.圆柱与圆锥的体积
10.一个圆柱和一个圆锥等底等高,它们的体积之和是96cm3,圆锥的体积是24 cm3;如果圆锥的高增加12cm后就和圆柱的体积相等,那么圆柱的高是 6 cm.
画龙点睛:因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍,所以等底等高的圆柱与圆锥的体积和相当于圆锥的体积的(3+1)倍,根据已知一个数的几倍是多少,求这个数,用除法求出圆锥的体积;如果圆锥的高增加12cm后就和圆柱的体积相等,即此时圆锥的高
是圆柱高的3倍,那么增加的12厘米就是圆柱高的(3﹣1)倍,由此用除法可求出圆柱的高.
答案与解析:96÷(3+1)
=96÷4
=24(立方厘米)
12÷(3﹣1)
=12÷2
=6(厘米)
答:圆锥的体积是24cm3;如果圆锥的高增加12cm后就和圆柱的体积相等,那么圆柱的高是6cm.
所以答案为:24,6.
11.一个圆柱的体积是60立方厘米,与它等底等高的圆锥体的体积是20 立方厘米.如果这个圆锥的高为3厘米,那么圆柱的高是 3 厘米.
,据此解答即可.画龙点睛:根据等底等高的圆锥体的体积是圆柱体积的1
3
=20(立方厘米);
答案与解析:①60×1
3
÷3)=3(厘米);
②60÷(20÷1
3
答:与它等底等高的圆锥体的体积是20立方厘米;如果这个圆锥的高为3厘米,那么圆柱的高是3厘米.
所以答案为:20,3.
12.一个底面积是132平方厘米,高是5厘米的圆柱形钢坯能熔铸成和它等底等高的圆锥 3 个,每个圆锥的体积是220 立方厘米.
画龙点睛:因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍,所以这个圆柱形钢坯能能熔铸成和它等底等高的圆锥3个,每个圆锥的体积是这个圆柱体积的1
,根据圆柱的体积公
3
式:V=sh,把数据代入公式解答.
答案与解析:因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍,所以这个圆柱形钢坯能能熔铸成和它等底等高的圆锥3个,
132×5×1
3
=660×1
3
=220(立方厘米)
答:高是5厘米的圆柱形钢坯能熔铸成和它等底等高的圆锥 3个,每个圆锥的体积是220立方厘米.
所以答案为:3、220.
四.圆柱、圆锥的体积与半径、高的变化
13.如图,酒瓶中装有一些酒,倒进一只酒杯中,酒杯口的直径是酒瓶的一半,共能倒满30 杯.
画龙点睛:要求共能倒江满多少杯,要求出酒杯的容积,和酒瓶内酒的体积.因酒杯口的直径直酒瓶直径的一半,那么酒瓶的半径就是酒杯口半径的2倍.设酒杯的半径是r,
高是h,则酒杯的容积为1
3πr2h,酒瓶内酒的体积为π(2r)2h×(1+3
2
).具此可解.
答案与解析:设酒杯的半径是r,高是h,酒杯的容积=1
3
πr2h,
酒瓶中酒的体积=π(2r)2h×(1+3
2
)=10πr2h.
能倒的杯数就是(10πr2h)÷1
3
πr2h=30(杯).
所以答案为:30.
14.圆柱的高不变,底面半径扩大3倍,它的侧面积就扩大()
A.3倍B.6倍C.9倍D.27倍
画龙点睛:根据圆柱的侧面积公式:s=ch,再根据圆的周长公式:c=2πr,圆的半径扩大3倍,圆的周长也扩大3倍,由此可知:圆柱的高不变,底面半径扩大3倍,它的侧面积就扩大3倍.据此解答.
答案与解析:因为圆柱的底面半径扩大3倍,底面周长也扩大3倍,圆柱的高不变,所以圆柱的侧面积就扩大3倍.
所以选:A.
五.等体积变化
15.将一个底面半径是4分米,高6分米的圆柱体零件熔铸成一个底面直径为4分米的圆锥形零件,求圆锥零件的高是多少分米?
画龙点睛:熔铸前后的体积不变,根据圆柱的体积公式先求得这个圆柱体容器的体积,然后利用圆锥的高=圆柱的体积×3÷圆锥的底面积即可解答问题.
答案与解析:3.14×42×6×3÷[3.14×(4÷2)2],
=3.14×288÷[3.14×4],
=288÷4,
=72(分米);
答:圆锥零件的高是72分米.
16.如图所示,一个底面直径是20厘米的圆柱形水杯,里面浸没着一个底面半径是3厘米,高20厘米的圆锥形铅锤.当取出铅锤后,杯里的水下降多少厘米?
画龙点睛:由题意可知:当铅锤取出后,下降的水的体积就等于铅锤的体积,铅锤的体积容易求出,用铅锤的体积除以容器的底面积就是下降的水的高度,从而问题得解.
×3.14×32×20÷[3.14×(20÷2)2],
=1
×3.14×9×20÷[3.14×100],
3
=3.14×3×20÷314,
=188.4÷314,
=0.6(厘米);
答:当铅锤取出后,杯中的水面会下降0.6厘米.
17.圆柱的底面半径和高都是4厘米,把它浸入一个均匀水槽内的水中,量得水位上升了2厘米.再把一个底面直径为6厘米的圆锥浸入水中,水位又上升了4.5厘米.求圆锥的高.
画龙点睛:根据圆柱的体积公式得到圆柱的体积,除以水位上升的高度得到水槽的底面积,再用水槽的底面积乘以圆锥浸入水中水位上升的高度,得到圆锥的体积,再根据圆锥的体积公式得到圆锥的高.
答案与解析:3.14×42×4÷2
=3.14×16×4÷2
=100.48(平方厘米),
100.48×4.5×3÷[3.14×(6÷2)2]
=100.48×4.5×3÷[3.14×9]
=48(厘米),
答:圆锥的高是48厘米.
18.在一个数学实验活动中.先往一个长方体的容器中注水,水深4.4厘米(如图);然后
冰柱浸没将一根圆柱形冰柱垂直放入其中,于是水的高度上升到5.5厘米,这时刚好有1
3在水里,如图.
(1)整根冰柱的体积是多少立方厘米?
(2)已知冰化成水,体积减少原来的1
,这根冰柱融化后将变成多少毫升的水?
10
(3)当冰柱完全融化时,容器内水深一共是多少厘米?
画龙点睛:(1)原来水柱只有4.4厘米,因为“水面上升到5.5厘米处”说明了冰柱插
冰入水中水面上升了(5.5﹣4.4)厘米,用底面积乘以上升的水1.1厘米的高度,就是1
3柱的体积,再求整个冰柱的体积即可.
(2)根据“冰化成水,体积减少原来的1
,要求这根冰柱融化后将变成多少毫升的水,
10
是把冰的体积看做单位“1”,则水是原来冰柱的(1−1
),再根据求一个数的几分之几是
10
多少用乘法计算,据此解答即可.
(3)因为1
冰柱垂直放入长方体的容器中,使水的高度上升了:5.5﹣4.4=1.1(厘米),
3
所以根据整个冰柱化成水后的体积与上升的高度进行计算即可.
答案与解析:(1)10×10×(5.5﹣4.4)÷1
3
=100×1.1×3
1
=110×3
=330立方厘米(立方厘米)
答:整根冰柱的体积是330立方厘米;

(2)330×(1−1
10
=330×9
10
=297(立方厘米)
297立方厘米=297毫升
答:这根冰柱融化后将变成297毫升的水.
(3)4.4+297÷(10×10)
=4.4+297÷100
=4.4+2.97
=7.37(厘米)
答:当冰柱完全融化时,容器内水深一共是7.37厘米.
19.把一个圆柱形木料加工成一个和它等底等高的圆锥,共削去12立方分米,圆柱的体积是18 立方分米,圆锥的体积是 6 立方分米.
画龙点睛:根据圆柱、圆锥的体积公式,可得等底等高的圆柱是圆锥体积的3倍,所以削去部分的体积是圆锥体积的2倍,用12除以2,求出圆锥的体积,进而用圆锥的体积乘以3,求出圆柱的体积是的多少即可.
答案与解析:圆锥的体积为:12÷2=6(立方分米)
圆柱体的体积:6×3=18(立方分米)
答:这个圆柱的体积是18立方分米,圆锥的体积是6立方分米.
所以答案为:18,6.
20.一个下面是圆柱体、上面是圆锥体的容器(如图),圆柱体的高是10厘米,圆锥体的高是6厘米,容器内的液面高7厘米.当将这个容器倒过来放时,从圆锥的尖到液面的高是11 厘米.
画龙点睛:根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍,所以先把圆柱内6厘米的水的体积的1
,即高为2厘米的水的体积倒入圆锥中,正好把圆锥部分装满,则剩下的就
3
是圆柱内水的高度,即7﹣2=5厘米,由圆锥的高度+圆柱内水的高度即可解决问题.答案与解析:把圆柱内水的体积分成2部分:6厘米高的水的体积与上面圆锥等底等高,所以圆柱内6厘米高的水的体积是这个圆锥的体积的3倍,6÷3=2(厘米),
则把圆柱内2厘米高的水倒入高6厘米的圆锥容器内即可装满,
则圆柱内水还剩下7﹣2=5(厘米),
6+5=11(厘米),
答:从圆锥的尖到液面的高是11厘米.
所以答案为:11.
21.在一个圆柱形储水桶里,把一段底面半径为4厘米的圆柱形钢材全部放入水中,这时水面上升10厘米.把这段钢材竖着拉出水面6厘米,水面下降4厘米.求这段钢材的体积.
画龙点睛:圆钢体积V=3.14×42×h=50.24h,水桶底面积=50.24h÷10,根据题意得出下降的水的体积=水面上圆钢的体积,由此得出(50.24h÷10)×4=3.14×42×6,求出圆钢的高,再根据圆柱的体积公式求出圆钢的体积.
答案与解析:设圆钢的高为h厘米,
圆钢体积V=3.14×42×h=50.24h
水桶底面积=50.24h÷10
因为下降的水的体积=水面上圆钢的体积
(50.24h÷10)×4=3.14×42×6
20.096h=301.44
20.096h÷20.096=301.44÷20.096
h=15,
圆钢体积V=3.14×42×h=50.24×15=753.6(立方厘米)
答:这段圆钢的体积是753.6立方厘米.
六.等体积变化---不规则变规则
22.一个饮料瓶里面深27厘米,底面内直径是8厘米,瓶里饮料深15厘米.把饮料瓶塞紧后瓶口向下倒立,这时饮料深20厘米.问饮料瓶容积是多少?
画龙点睛:根据题意,饮料瓶内的饮料正放时高度是15厘米,倒立时空余部分容积的高度是(27﹣20)厘米,即7厘米,那么这个饮料瓶的容积可看作底面直径是8厘米,高是(15+7)厘米的圆柱体,根据圆柱体的体积=底面积×高进行计算即可得到答案.答案与解析:饮料瓶的底面半径为:8÷2=4(厘米),
饮料瓶的容积为:3.14×42×[15+(27﹣20)]
=50.24×[15+7],
=50.24×22,
=1105.28(立方厘米),
=1105.28(毫升);
答:饮料瓶的容积是1105.28毫升.
23.有一种饮料瓶的容积是50立方厘米,瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈).现在瓶中装有一些饮料,正放时饮料高度为20厘米,倒放时空余部分的高度为5厘米.瓶内现有饮料40 立方厘米.
画龙点睛:由图形可得,左图中20厘米高的饮料以上至瓶口部分的容积相当于右图中上
,面5厘米高的那部分的容积,所以饮料瓶中饮料的体积占饮料瓶容积的20÷(20+5)=4
5再根据一个数乘分数的意义,用乘法列式解答即可.
答案与解析:50×[20÷(20+5)]
=50×4
5
=40(立方厘米)
所以答案为:40立方厘米.
七.面转得体---旋转
24.如图,直角三角形ABC的三边分别为3cm、4cm、5cm,将这个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周,求所形成的立体图形的体积(π取近似值3)
画龙点睛:如果以这个直角三角形的短直角边为轴,旋转后组成的图形是一个底面半径为4cm,高为3cm的一个圆锥;如果以这个直角形的长直角边为轴,旋转后所组成的图形
πr2h即可求出圆锥是一个底面半径为3cm,高为4cm的圆锥.根据圆锥的体积公式V=1
3的体积.
×3×42×3,
答案与解析:1
3
×3×16×3,
=1
3
=48(cm3);
1
×3×32×4,
3
=1
×3×9×4,
3
=36(cm3);
答:这个立体图形的体积是48立方厘米或36立方厘米.
25.以图中直角梯形的左底边所在直线为轴,旋转一周后,将会得到什么样的立体图形?请你求出它的体积.(单位:厘米)
画龙点睛:以图中直角梯形的左底边所在直线为轴,旋转一周后,将会得到一个底面半径为6厘米,高为6厘米的圆柱和一个底面半径为6厘米,高为(8﹣6)厘米的圆锥,根据根据圆柱的体积公式V=πr2h即可求出这个圆柱的体积;根据圆锥的体积公式V=
1
πr2h即可求出这个圆锥的体积,二者相加就是这个组合图形的体积.
3
×3.14××62×(8﹣6)
答案与解析:3.14×62×6+1
3
×3.14×36×2
=3.14×36×6+1
3
=678.24+75.36
=753.6(立方厘米)
答:以图中直角梯形的左底边所在直线为轴,旋转一周后,将会得到一个圆柱与圆锥的组合体,它的体积是753.64立方厘米.
26.一个直角三角形,两条直角边长分别为3厘米和4厘米,斜边长是5厘米.以斜边所在直线为轴旋转一周(如图),所得到的立体图形的体积是多少?
画龙点睛:直角三角形斜边所在直线为轴旋转一周,得到的几何体是同一底面的两个圆锥,用直角三角形的面积求出底面圆的半径,然后用圆锥的体积公式求出几何体的体积.
答案与解析:直角三角形斜边所在直线为轴旋转一周,得到的几何体是同一底面的两个圆锥,如上图所示,
设这个圆锥的底面半径是r,则:
5r÷2=3×4÷2,
5r=12,
r=2.4,
所以这个立体图形的体积是:
1
×3.14×2.42×(AO+CO),
3
×3.14×5.76×5;
=1
3
=30.144(立方厘米),
答:旋转一周后的立体图形的体积是30.144立方厘米.。

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