九年级数学上册4.4解直接三角形的应用第2课时与坡度方向角有关的解直角三角形作业课件湘教版
湘教版九年级数学上册课件4.4.2与坡度、方向角有关的解直角三角形的实际应用
You made my day!
我们，还在路上……
解：(1)分别过点 E，D 作 EG⊥AB，DH⊥AB 交 AB 于点 G，H.∵四边 形 ABCD 是梯形，且 AB∥CD，∴DH 平行且等于 EG，故四边形 EGHD 是矩形，∴ED＝GH.在 Rt△ADH 中，AH＝DHtan∠DAH＝8(米)．在 Rt△FGE 中，i＝1∶2＝EFGG，∴FG＝2EG＝16(米)，∴AF＝FG＋GH－ AH＝16＋2－8＝10(米)
度越___大_____，山坡越陡．
1．(4 分)(2015·奉贤区一模)一斜坡长为 10米，高度为 1 米，那么坡度
为( A )
A．1∶3
B．1∶13
C．1∶ 10
D．1∶
10 10
2．(4 分)(2014·德州)如图是拦水坝的横断面，斜坡 AB 的水平宽度为 12
米，斜面坡度为 1∶2，则斜坡 AB 的长为( B )
A．4 3米 B．6 5米 C．12 5米
D．24 米
3．(4 分)如图是某水库大坝横断面示意图．其中 AB，CD 分别表示水库
上、下底面的水平线，∠ABC＝120°，BC 的长是 50 m，则水库大坝的
高度 h 是( A )
A．25 3 m B．25 m
C．25 2 m
50 3 D. 3 m
4．(4 分)(2014·衡阳)如图，一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，坝顶宽
(2)加宽部分的体积 V＝S 梯形 AFED×坝长＝12×(2＋10)×8×400＝19 200(立方米)．故完成这项工程需要土石 19 200 立方米．
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月13日星期三上午12时36分53秒00:36:5322.4.13
湘教版(2012)初中数学九年级上册 4.4 解直角三角形的应用-坡度与坡角导学案
4.4解直角三角形的应用---坡度与坡角导学案教学目标：1、知识与技能：使学生知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系。
2、过程与方法：会用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点：引导学生学习运用解直角三角形的知识，解决斜坡中的简单计算问题。
教学难点： 将实际问题中的数量关系抽象为直角三角形中元素间的关系。
一、情境引入1、观察水库坝图片，发现大坝有什么特点？2、思考：我们知道，大坝的侧面是斜坡，那么你知道该大坝的坡角吗？二、自主学习：1、阅读书127-128页：完成坡度的概念，坡度与坡角的关系。
坡面的 h 和 的比叫做 或（坡比），一般用 表示。
常写成ｉ＝lh （或写成i=1:m ）的形式。
把坡面与水平面的夹角α叫做_____________。
2、思考：坡度i 与坡角α之间具有什么关系？i ＝_____________＝____________ 。
显然，坡度越大，坡角__________，坡面_______________。
3、巩固概念：（1）斜坡的坡度是，则坡角α=______度 （2）斜坡的坡角是450 ，则坡比是 _______（3）斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_____， α=______度三、概念应用 1、如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高20m ，斜坡AB 的坡度i=1∶ ，斜坡CD 的坡度i=1∶1.5，求：（1）坝底AD （2）斜坡AB 的长度及斜坡AB 的坡角α 。
3:1E F AB C i=1:1.5 20 6 3:1i α3四.解决问题,服务于生活1.我军某部在一次野外训练中,有一辆坦克准备通过一座小山,已知山脚和山顶的水平距离为1000米,山高为565米,如果这辆坦克能够爬30°的斜坡,试问:它能不能通过这座小山？2.如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1∶，且AB=20 m．身高为1.7 m的小明站在大堤A点，测得高压电线杆端点D的仰角为30°．已知地面CB宽13 m，求高压电线杆CD的高度（结果保留1位小数）五．挑战自我1.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由．六、课堂小结本节课的收获有：A C1000米565米BCBMP A D37.133。
4.4解直角三角形的应用课件九年级数学上册
感悟新知
水平方向飞行 200m 到达点 Q，测得奇楼底端 B 的俯 角为 45° ，求奇楼 AB 的高度．(结果精确到 1m，参 考数据： sin 1 5 ° ≈ 0 . 26，cos 15 ° ≈ 0 . 97， tan15° ≈ 0.27) 解：如图，延长BA交PQ的 延长线于点C，则∠ACQ＝90°. 由题意得，BC＝225 m，PQ＝200 m，
课堂新授
2. 解决实Βιβλιοθήκη 问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下 表所示：
图形
关系式
图形
关系式
AC＝BC·tanα， AG＝AC＋BE
BC＝DC－BD＝ AD·(tanα －tanβ )
课堂新授
续表
图形
关系式
AB＝DE＝ AE·tanβ， CD＝CE＋DE ＝AE·(tanα＋
tanβ)
图形
关系式
感悟新知
(1) 求登山缆车上升的高度 DE； (2)若步行速度为 30m/min，登山缆车的速度为60m/min，
求 从山底 A 处到达山顶 D 处大约需要多少分钟 .(结果 精确到 0.1min，参考数据： sin53° ≈ 0.80， cos53° ≈ 0.60，tan53° ≈ 1.33)
感悟新知
课堂新授
例2
课堂新授
解题秘方：在建立的非直角三角形模型中，用 “化斜为直法”解含公共直角边的 直角三角形.
课堂新授
课堂新授
计算结果必须根据 题目要求进行保留.
课堂新授
方法点拨 解直角三角形的实际应用问题的求解方法： 1. 根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角
形的数学问题， 画出平面几何图形，弄清已知条件中 各量之间的关系； 2. 若条件中有直角三角形，则直接选择合适的三角函数关 系求解即可；若条件中没有直角三角形，一般需添加辅 助线构造直角三角形，再选用合适的三角函数关系求解.
教案：解直角三角形的应用（第二课时）刘新旺
abcB CA铅直线视线仰角 俯角视线 春来初中集体备课教学案春来初中集体备课教学案年级年级九科别科别 数学数学周次周次月 日主备课人主备课人刘新旺刘新旺课题课题 解直角三角形的应用（第二课时）一、 教学目标：教学目标：1. 知道方向角、方位角、坡角、坡比（坡度）的意义. 2. 能将有关实际问题转化为解直角三角形的问题. 3. 培养严谨致学的学习态度. 二、 教学重点：教学重点：把实际问题转化为解直角三角形的问题. 三、 教学难点：教学难点：将实际问题中的数量关系抽象为直角三角形中元素间的关系. 四、 教具准备：课件教具准备：课件 五、 教学过程：教学过程： （一）知识回顾：（一）知识回顾： 1.解直角三角形解直角三角形在直角三角形中,除直角外,由已知两元素（必有一边）求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 2.解直角三角形的依据解直角三角形的依据(1)三边之间的关系: a 2＋b 2＝c 2（勾股定理）； (2)两锐角之间的关系:∠ A ＋ ∠ B ＝ 90º；(3)边角之间的关系: sinA ＝a ccosA ＝b ctanA ＝a b3、仰角和俯角、仰角和俯角 在进行测量时，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. （二）探究新知：（二）探究新知：65°34°PCA 30° 45° BOA（结果保留小数点后一位）？一位）？900的角,叫BADF60°30°i=1:1.5 .问：根据定义，你能用坡度来刻画斜坡的倾斜、即陡的程度吗？ 楼厅比楼外的地面高0.4米，求残疾人通道的坡度与坡角 (角，其他近似数取四位有效数字). hLa()222223AD D Fx x x--=A F 3tan 30x=31:1.6 2.8 1.2).米22223.20.4AB BC --AD6mα βi =1:3i =1:1.5 B F =2269117313+=»。
湘教版-数学-九年级上册 4.4解直角三角形的应用 精品课件
解：由点A作BD的垂线
交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°
由题意图示可知∠DAF=30°
A
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
60°
AF AD2 DF 2 2x2 x2 3x
B 12 D F
在Rt△ABF中，
30°
tan ABF AF tan 30 3x
解：如图 ，在Rt△APC中，
cosAPC cos(900 650 ) PC AP
∴ PC＝PA·cos（90°－65°） ＝80×cos25°≈72.51
AB // ED
B 340
∴ 在Rt△BPC中，∠B＝34°，PC=72.51
sin B PC PB
PB
PC sin B
72.51 sin 340
cosA＝
b c
tanA＝
a b
Ａ
bＣ
3、仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅
仰角
直
线
俯角
水平线
视线
例5. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方 向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行 一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向 上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多 远？ （结果保留小数点后一位）？
BF
12 x
解得x=6
AF 6x 6 3 10.4 ∵10.4 > 8,∴没有触礁危险。
拓展提高
• （2013•莱芜）如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中 心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东 37°方向C处，B岛在南偏东66°方向，从B岛测得渔船在正西方向，已知两 个小岛间的距离是72海里，A岛上维修船的速度为每小时20海里，B岛上维修 船的速度为每小时28.8海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛 上的维修船？
九年级数学上册锐角三角函数. 解直接三角形的应用 与坡、方向角有关的解直角三角形
在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时(cǐ shí)测得岛礁P在北偏
东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来
之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行 _____________小
时即可到达．(结果保留根号)
(参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73)
第十八页，共二十页。
解：(1)过点 C 作 CE⊥AB，由题意得∠ABC＝45°，∠BAC＝60 °，设 AE＝x 海里，在 Rt△AEC 中，CE＝AE·tan 60°＝ 3 x. 在 Rt△BCE 中，BE＝CE＝ 3 x.∴AE＋BE＝x＋ 3 x＝100( 3 ＋1)，解得 x＝100，AC＝2x＝200.在△ACD 中，∠DAC＝60°， ∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F，设 AF＝y，则 DF＝CF＝ 3 y，∴AC＝y＋ 3 y＝200，解得 y＝ 100( 3 －1).∴AD＝2y＝200( 3 －1)海里．(2)由(1)可知，DF＝
时
间
为
40
2＋40 6 30
＝
4 2＋4 3
6
≈
4×1.41＋4×2.45 3
≈5.15(小时)＞5 小时，∴海轮
以每小时 30 海里的速度从 A 处到 B 处，不能在 5 小时内到达 B 处．
第十七页，共二十页。
【素养提升】 13．(18分)(信阳模拟)如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船， 现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(＋1)海里，船C在船A的北偏东 60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D 的南偏东75°方向上. (1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果(jiē guǒ)有根号，请保留根 号)； (2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在 去营救的途中有无触暗礁危险？
九年级数学上册4.4解直角三角形的应用与坡度、方位角有关的应用问题
3．坡度 i 与坡角 α 的关系 关 系：i＝hl ＝tan α.坡度越大，山坡越陡．
12/11/2021
第五页，共二十七页。
归类探究
类型之一 与方位角有关的应用问题 [2018·贺州]如图 4-4-11，一艘游轮在 A 处测得北偏东 45°的方向上有
12/11/2021
图 4-4-16
第十七页，共二十七页。
3．某地一人行天桥如图 4-4-17 所示，天桥高 6 m，坡面 BC 的坡度为 1∶1， 为了方便行人过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面 AC 的坡度为 1∶ 3.
(1)求新坡面的坡角 α. (2)原天桥底部正前方 8 m 处(PB 的长)的文化墙 PM 是否需要拆除？请说明理由．
12/11/2021
第 4 题答图
第二十三页，共二十七页。
则 KG＝PC＝0.9 m，AG＝EH＝43FH＝12 m. ∴BK＝BA＋AG－KG＝22.5＋12－0.9＝33.6(m)． ∵BPKK≥1.25， ∴PK≥1.25BK＝1.25×33.6＝42(m)． ∴CG≥42 m. ∵FH＝9 m，HG＝EA＝4 m， ∴CF≥29 m. 答：底部 C 距 F 处至少 29 m.
要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至 B 处时，测得该岛位于正北方
向 10(1＋ 3)海里的 C 处，为了防止某国海巡警干扰，请求我 A 处的渔监船前往 C
处护航．已知 C 位于 A 处的东北方向上，A 位于 B 的北偏西 30°方向上，则 A 和
C 之间的距离为( A )
A．10 2海里
B．20 2海里
例 2 答图
24.4.4 解直角三角形的应用—坡度与坡角(课件)九年级数学上册(华东师大版)
第24章 解直角三角形
与地面的倾斜角分别是 45°和 30°，求路基下底的宽 (精确到 0.1， 2 1.414
3 1.732 解：作DE⊥AB，CF⊥AB，
垂足分别为E、F． 由题意可知 DE＝CF＝4 (米)，
12 米
D
C
4米
45°
30°
A
E
F
B
CD＝EF＝12 (米)．
在 Rt△ADE 中，
第24章 解直角三角形
=
9.28
(m)，DF
=
2.5×5.A8
=
14.5
E (m).
β i2 = 1 : 2.5 5.8
F
D
∴AD = AE + EF + DF = 9.28 + 9.8 + 14.5 ≈ 33.6 (m).
∵ tan
=
i1
1 ，tan 1.6
=
i2=
1， 2.5
∴ 32°， 21° .
答：铁路路基下底宽为 33.6 m，斜坡的坡角分别为 32° 和 21°.
坡面
i= h : l
h
α
l 水平面
第24章 解直角三角形
典例讲解
例1 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1 : 3 ，斜坡 CD 的坡度 i = 1 : 2.5 ， 求(1)求坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长 （精确到0.1m ）； (2)斜坡 CD 的坡面角 α（精确到 1°）
第24章 解直角三角形
课堂练习
1. 斜坡的坡度是 1: 3 ，则坡角 α =_3_0_度. 2. 斜坡的坡角是 45° ，则坡比是 1__:_1__. 3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是_1__: __3__.
湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》ppt课件1
延伸拓展
▪ 某居民生活区有一块等腰梯 形空地，经过测量得知，梯形上 底与腰相等，下底是上底的2倍， 现计划把这块空地分成形状和面 积完全相同的四个部分，种上不 同颜色的花草来美化环境，请你 帮助设计出草图。
课堂小结
▪ 1.说一说本节课你有哪 些收获?学会了哪些方法！
▪ 2.本节课你还有哪些疑 惑?
AB cot A1.2 BC
AB BCcot A
9° A
C 1.2 B
1.2 6.31
7.6
有一段防洪大堤, 其横断面为梯形 ABCD,AB∥CD, 斜坡AD的坡度i1=1∶1.2,斜坡BC 的坡度i2=1∶0.8, 大堤顶宽DC为6米, 为了增强抗 洪能力, 现将大堤加高,加高部分的横断面为梯形 DCFE, EF∥DC, 点E、F分别在AD、BC的延长线 上（如图）.当新大堤顶宽EF为3.8米时,大堤加高 了几米?
▪ 一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中 数据，求出坡角α和坝底宽AD．
▪ （单位米，结果保留根号） ▪
一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米. 台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根 据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角 不得超过9°．从斜坡的起点至楼门的最短 的水平距离该是多少？（精确到0.1米）
坡度坡角问题
▪ 如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,
即i= h l
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，
有i＝ h =tanα l
坡度越大，坡角α 怎样变化？
▪ 一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上 底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾
角分别是32°和28°．求路基下底的
宽．（精确到0.1米）
湘 教版九年级数学上册 4.4 解直角三角形的运用
解直角三角形的运用【基础知识精讲】 1、坡度和坡角：在筑坝、修路时，常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫作坡度 （或坡比），用字母i 表示（如图（1）），则有,lhi = 坡面和水平面的夹角叫作坡角.显然有：αtan ==lhi ， 这说明坡度是坡角的正切值，坡度越大，坡角也越大. 2、方位角：在航海的某些问题中，描述船的航向，或目标对观测点的位置，常用方位角.画方位角时，常以铅直的直线向上的方向指北，而以水平直线向右的方向为东，而以交点为观测点. 3、仰角和俯角在利用测角仪观察目标时，视线在水平线上方和水平线的夹角称为仰角，视线在水平线下方和水平线的夹角称为俯角（如图）.在测量距离、高度时，仰角和俯角常是不可缺少的数据.【例题巧解点拨】例1.如图，在高为100米的山顶D 上，测得一塔的塔顶A 与塔基B 的俯角分别为30°和45°，求塔高AB ．(精确到0．1米)(可供选择的数据：2≈1.414，3≈1.732)例2．如图，海岛A的四周20海里范围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A 在北偏西60°，航行24海里到C处，见岛且在北偏西30°，货轮继续向西航行，有无触礁危险?i=1:1.2，例3 、如图，有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD，AB∥DC，斜坡AD的坡度1i=1:0.8，大堤顶宽DC为6米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部斜坡BC的坡度2分的横断面为梯形DCFE，EF∥DC，点E、F分别在AD、BC的延长线上，当新大堤顶宽EF为3.8米时，大堤加高了几米?【同步达纲练习】 A 组 1、如图(1），在高2米坡度为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需 ___________ 米．(1） (2） 2、如图(2），水坝的迎水坡AB=25m ，坡比i=l ：2，这座水坝的高度是 _______m 3、如图(3）,为测得一河两岸相对两电线杆A 、B 间的距离，在距A 点15米的C 处(AC ⊥ AB)测得之∠ACB=50°，则A 、B 间的距离应为( )米．A ．15sin50°B ．15 cos 50°C ．15 tan50°D ．15tan40°(3） (4） (5）4．如图(4），要测旗杆AB 的高，在C 处测得旗杆顶A 的仰角30°，向杆前进l0m 到达D 处，测得A 的仰角为45°，则旗杆的高为 ．5．如图(5），两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的角为α，则它们的重叠部分的面积为( ) A ．αsin 1B ．αcos 1C ．αsinD ．16．甲乙两船从A 港出发，甲船沿北偏东20°的方向航行，乙船沿南偏东的30°的方向航行，那么两船的两条航线所成的角为( )A ．80°B ．100°C ．40°D ．130°7、如图，A 、B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC=a 米，∠A=90°，∠C=40°，则AB 等于（ ）米． A ．asin40° B ．acos40° C ．atan40° D ．0tan 40a8、如图，两个高度相等且底面直径之比为1：2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（）9、．如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成角为45°，如果梯子底端O固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60°，则此保管室的宽度AB为（）10、如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长32m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C为33m ，则鱼竿转过的角度是（）A．60° B．45° C．15° D．90°11．如图，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝高10米，斜坡AB的坡度为1:2．现要加高2米，在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下，加固一条长50米的大坝，需要多少土方?12.我人民解放军在进行“解放一号”军事演习时,于海拔高度为600米的某海岛顶端A处设立了一个观察点.上午九时, 观察员发现“红方Ｃ舰”和“蓝方Ｄ舰”与该岛恰如在一条直线上，并测得“红方Ｃ舰”的俯角为30°, 测得“蓝色D舰”的俯角为8°,请求出两舰之间的距离.(参谋数据: 3=1.73,tan8°=0. 14)13.如图,MN是表示某引水工程的一段设计路线,从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°方向上有一点A,以A为圆心,500 米为半径的圆形区域为居民区,取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75°,已知MB=400米,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区?DCBAB组1、路边路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA的长为2m，灯杆与灯柱BC成120度角，锥形灯罩轴线AD与灯杆AB垂直，且灯罩轴线AD正过道路路面的中心线（D在中心线上），已经点C与D点之间的距离为12m，则BC的高（）m．2、如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为．3、课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB 在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是____米。
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(2)海轮以每小时 30 海里的速度从 A 处到 B 处， 海轮不能在 5 小时内到达 B 处，理由如下：∵∠ PCB ＝ 90 ° ， ∠ B ＝ 30 ° ， ∴ BC ＝ 3 PC ＝ 40 6 ，∴AB＝AC＋BC＝40 2 ＋40 6 ，∴海 轮以每小时 30 海里的速度从 A 处到 B 处所用的
第11题图
三、解答题(共 36 分) 12．(18 分)(2019·新疆)如图，一艘海轮位于灯塔 P 的东 北方向、距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一 段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处． (1)求海轮从 A 处到 B 处的途中与灯塔 P 之间的最短距离 (结果保留根号)； (2)若海轮以每小时 30 海里的速度从 A 处到 B 处，试判断 海轮能否在 5 小时内到达 B 处，并说明理由．(参考数据：
第8题图
9．《奔跑吧，兄弟！》节目组预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需 经 A、B、C、D 四地．如图，其中 A，B，C 三地在同一直线上，D 地在 A 地北偏东 30°方向、在 C 地北偏西 45°方向上，C 地在 A 地北偏东 75°方向，且 BD＝BC＝30 m．从 A 地到 D 地的距离是 (D) A．30 3 m B．20 5 m C．30 2 m D．15 6 m
在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻
加速以75海里/小时的速度继续航行 1_8_＋__6___3______小时即可到达．(结果
保留根号)
5
第7题图
一、选择题(每小题 6 分，共 12 分) 8．如图，在某监测点 B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西 15°方向 的 A 处，若渔船沿北偏西 75°方向以 40 海里/小时的速度航行，航行半 小时后到达 C 处，在 C 处观测到 B 在 C 的北偏东 60°方向上，则 B，C 之间的距离为( C ) A．20 海里 B．10 3 海里 C．20 2 海里 D．30 海里
第4题图
与方向角有关的实际问题 5．(6 分)(2019·长沙)如图，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60° 方向、距离灯塔 60 n mile 的小岛 A 出发，沿正南方向航行一段时间 后，到达位于灯塔 C 的南偏东 45°方向上的 B 处，这时轮船 B 与小 岛 A 的距离是( D )
A.30 3 n mile B．60 n mile C．120 n mile D．(30＋30 3 ) n mile
D．20 m
第1题图
2．(5 分)如图，在坡度为 1∶2 的山坡上种树， 要求相邻两棵树的水平距离是 6 m，则斜坡上相 邻两棵树的坡面距离是( B ) A．3 m B．3 5 m C．12 m D. 6 m
第2题图
3．(6 分)(衡阳中考)如图，一河坝的横断面为等
腰梯形 ABCD，坝顶宽 10 米，坝高 12 米，斜坡
第9题图
二、填空题(每小题6分，共12分) 10．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的 起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是__2_1_0____cm.
第10题图
11．如图，一渔船由西往东航行，在 A 点测得海岛 C 位于北偏东 60 °的方向，前进 20 海里到达 B 点，此时，测得海岛 C 位于北偏东 30 °的方向，则海岛 C 到航线 AB 的距离 CD 等于1_0__3____海里．
A．10 3 海里/时
B．30 海里/时
C．20 3 海里/时 D．30 3 海里/时
第6题图
7．(6分)(潍坊中考)如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向
航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此
时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M
时
间
为
40
2＋40 6 30
＝
4 2＋4 3
6
≈
4×1.41＋4×2.45 3
≈5.15(小时)＞5 小时，∴海轮
以每小时 30 海里的速度从 A 处到 B 处，不能在 5 小时内到达 B 处．
【素养提升】 13．(18分)(信阳模拟)如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘 巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(＋1)海里， 船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观 测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上. (1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号， 请保留根号)； (2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营 救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？ (参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73)
6．(6 分)如图，一渔船在海岛 A 南偏东 20°方向的 B 处遇险，
测得海岛 A 与 B 的距离为 20 海里，渔船将险情报告给位于 A
处的救援船后，沿北偏西 80°方向向海岛 C 靠近，同时，从 A
处出发的救援船沿南偏西 10°的方向匀速航行，20 分钟后，救
援船在海岛 C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为( D )
AB 的坡度 i＝1∶1.5，则坝底 AD 的长度为
(D )
A．26 米
B．28 米
C．30 米
D．46
米
第3题图
4．(6 分)(河南模拟)如图，斜面 AC 的坡度(CD 与 AD 的比)为 1∶2，AC＝52 5 米，坡顶有旗 杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点之间有一条彩带相 连．若 AB＝13 米，则旗杆 BC 的高度为( C ) A．56 ( 5 ＋1)米 B．5 米 C．9.5 米 D．12 米
2 ≈1.41， 3 ≈1.73， 6 ≈2.45)
解：(1)作 PC⊥AB 于点 C，如图所示，则∠PCA ＝∠PCB＝90°，由题意，PA＝80，∠APC＝45 °，∠BPC＝90°－30°＝60°，∴△APC 是等
腰直角三角形，∠B＝30°，∴AC＝PC＝
2 2
PA
＝40 2 ，∴海轮从 A 处到 B 处的途中与灯塔 P 之间的最短距离为 40 2 海里．
第４章 锐角三角函数
４．４ 解直角三角形的直角三角形 的实际应用
与坡度、坡角有关的实际问题
1．(5 分)拦水坝横断面如图所示，迎水坡 AB 的
坡比是 1∶ 3 ，坝高 BC＝10 m，则坡面 AB 的
长度是( D ) A．15 m B．20 3 m
C．10 3 m