专题08：从算式到方程-2020-2021学年七年级数学暑假提高训练专题(人教版)

专题08：从算式到方程
1. 下列方程：①x 2＝0，①1x 2−2＝0，①2x 2+3x ＝(1+2x)(2+x)，①3x 2−√x =0，①
2x 3x −8x +1＝0中，
一元二次方程的个数是（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 2. 下列四个式子中，是方程的是（ ）
A.3+2=5
B.x =1
C.2x −3<0
D.a 2+2ab +b 2
3. 下列各式符合代数式书写规范的是( )
A.b a
B.a ×3
C.3x −1个
D.212n 4. 在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时v 1千米，下坡时的速度为每小时v 2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（ ）
A.v 1+v 22千米
B.v 1v
2v 1+v 2千米 C.2v 1v 2
v 1+v 2千米 D.无法确定
5. 已知抛物线y =x 2−x −1与x 轴的一个交点为(m, 0)，则代数式m 2−m +2008的值为( )
A.2006
B.2007
C.2008
D.2009
6. 已知关于x 的方程a +x ＝5−(2a +1)x 的解是x ＝−1，则a 的值是（ ）
A.−5
B.−6
C.−7
D.8
7. 下列属于一元一次方程的是( )
A.2x 2+x =1
B.3x +y =7
C.2x +3=6
D.2x +2=1 8. 下列各式：−x +1，π+3，9>2，x−y x+y ，s =12ab ，其中代数式的个数是（ ）
A.5
B.4
C.3
D.2
9. 已知矩形周长为20cm ，设长为xcm ，则宽为（ ）
A.20−x
B.10−x
C.20−2x
D.20−x
2
，x2y+xy2，3>2，3+2=5中，代数式有（）
10. 在1，a，a+b，x
2
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
11. 在一张挂历上，任意圈出同一列上的三个数的和不可能是（）
A.4
B.33
C.51
D.27
12. 一家商店一月份把某种商品按进货价提高60%出售，到三月份再声称以8折(80%)大拍卖，那么该商品三月份的价格比进货价（）
A.高12.8%
B.低12.8%
C.高40%
D.高28%
13. 若a=b，则下列式子不正确的是（）
A.a+1=b+1
B.a+5=b−5
C.−a=−b
D.a−b=0
14. 若|x−3|与|y−2|互为相反数，则xy+x−y的值是（）
A.5
B.−5
C.7
D.−7
+m−2cd的值（）
15. 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，a+b
m
A.0
B.−4
C.1
D.−4和0
16. 体育委员小金带了500元钱去买体育用品，已知一个足球x元，一个篮球y元．则代数式500−3x−2y 表示的实际意义是________．
17. 已知关于x的方程2x+a−5=0的解是x=2，则a的值为________．
18. 若m2−2m−1=0，则代数式2m2−4m+3的值为________．
19. 已知(n+2)x|n|−1=3是关于x的一元一次方程，则n=________．
20. 某地区夏季高山的温度从山脚处开始每升高100米，降低0.7∘C，如果山脚温度是28∘C，那么比山脚高300米处的温度为________；一般地，比山脚高x米处的温度为________．
21. 如果x−y=21
，那么|2−x+y|=________．
2
22. 已知a−3b=3，则8−a+3b的值是________．
23. 已知方程x−2
5=2−x+3
2
的解也是方程|3x−2|=b的解，则b=________．
24. 已知5+√11的小数部分为a，5−√11的小数部分为b．求：
(1)a+b的值；(2)a−b的值．
25. 已知(a+b)y2−y13a+2+5=0是关于y的一元一次方程．（1）求a、b的值；
（2）若x=a是方程x+2
6−x−1
2
+3=x−x−m
3
的解，求|a−b|−|b−m|的值．
26. 已知(c−a)2−4(a−b)(b−c)=0，求证：2b=a+c．
27. 用等式的性质解方程3x+1=7．
28. 如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图①的方式拼成一个正方形．
(1)你认为图①中的阴影部分的正方形的边长等于________；
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图①中阴影部分的面积．
方法①________．方法①________；
(3)观察图①，你能写出(m+n)2，(m−n)2，mn这三个代数式之间的等量关系吗？
(4)根据(3)题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=6，ab=4，则求(a−b)2的值．
29. 为节约用水，某市规定三口之家每月标准用水为15立方米，超过部分加价收费，假设不超过部分水费为1.5元/立方米，超过部分每立方米加收1.5元，设某户该月用水x立方米，
(1)请用代数式表示该月该用户应缴水费多少元？
(2)若这家该月用水20立方米，那么应缴多少水费呢？
30. 某同学在解方程2x−13=x+a 2−1进行去分母变形时，方程右边的−1忘记乘6，因而求得的解为x =−2，
请你求出a 的值，并求方程的正确解．
31. 当m 取何值时，关于x 的方程3x +m −2(m +2)=3m +x 的解在−5和5之间（不包括−5和5）？
32. 当m 取何值时，关于x 的方程3x −2=4m +x 的解是正数？
33. 你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答会告诉你方法．
（1）阅读下列材料：
问题：利用一元一次方程将0.7⋅
化成分数．
解：设0.7⋅=x ．
方程两边都乘以10，可得7.7⋅=10x ．
由0.7⋅=x 和7.7⋅=10x ，可得7.7⋅−0.7⋅即7＝10x −x ．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用） 解得x =79，即0.7=79．
填空：将0.4⋅写成分数形式为________．
（2）请你仿照上述方法把小数1.3⋅2⋅化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程．
参考答案与试题解析
专题08：从算式到方程
1.【答案】A
【解答】
①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
①是分式方程，不是整式，所以不是一元二次方程；
①化简后不含二次项，是一元一次方程，不是一元二次方程；
①是无理方程，不是一元二次方程；
①是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，根据定义对每个方程进行分析，再作出准确的判断．
2.【答案】B
【解答】
解：A、不是方程，因为不含有未知数，故本选项错误；
B、是方程，x是未知数，式子又是等式，故本选项正确；
C、不是方程，因为它是不等式而非等式，故本选项错误；
D、不是方程，因为它不是等式，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：(1)方程是等式；(2)方程中必须含有字母（未知数）．
3.【答案】A
【解答】
解：A符合代数式的书写，故选项正确；
B中乘号应省略，数字放前面，故选项错误；
C中后面有单位的应加括号，故选项错误；
D中的带分数应写成假分数，故选项错误．
故选A.
【点评】代数式的书写要求：
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；
（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．4.【答案】C
【解答】
依题意得：2÷(1
v1+1
v2
)＝2÷v1+v2
v1v2
=2v1v2
v1+v2
千米．
【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．
5.【答案】D
【解答】
解：将(m, 0)代入y=x2−x−1．
得：m2−m−1=0，即m2−m=1，
① m2−m+2008=1+2008=2009．
故选D.
【点评】本题不必求出m的值，对m2−m整体求解即可轻松解答．
6.【答案】C
【解答】
把x＝−1代入原方程得a−1＝5+(2a+1)，解得a＝−7．
【点评】已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．7.【答案】C
【解答】
解：A 、该方程中未知数的最高次数是，属于一元二次方程，故本选项错误；
B 、该方程中含有2个未知数，属于二元一次方程，故本选项错误；
C 、该方程符合一元一次方程的定义，故本选项正确；
D 、该方程属于分式方程，故本选项错误；
故选C ．
【点评】本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1．
8.【答案】C
【解答】
解：题中的代数式有：−x +1，π+3，x−y x+y 共3个．
故选C ．
【点评】注意：代数式中不含有“>”，“=”号．
9.【答案】B
【解答】
解：矩形的宽=
矩形周长2−长① 宽为：10−x ．
故选B ． 【点评】本题应注意矩形的周长=2（长+宽）这个知识点的变换使用．
10.【答案】C
【解答】
解：在1，a ，a +b ，x 2，x 2y +xy 2，3>2，3+2=5中，代数式有1，a ，a +b ，x 2，x 2y +xy 2，共5个． 故选：C ．
【点评】注意：代数式中不含有“=”、“<”、“>”号．
11.【答案】A
【解答】
解：设圈出的第一个数为x，则第二数为x+7，第三个数为x+14，
① 三个数的和为：x+(x+7)+(x+14)=3(x+7)
① 三个数的和为3的倍数
由四个选项可知只有A不是3的倍数，
故选A．
【点评】此题主要考查了列代数式，解决此题的关键是找出三数的关系，然后根据三数之和与选项对照求解．
12.【答案】D
【解答】
解：设一月份的标准价格为a元，则三月份的价格为(1+60%)×80%×a=1.28a，
则1.28a−a=0.28a，即该商品三月份价格比一月份价格高28%．
故选D．
【点评】本题主要考查列代数式，得到三月份的价格是解决本题的突破点；比较三月份与一月份的价格关系是解决本题的关键．
13.【答案】B
【解答】
解：A、由等式的性质1可知A正确，与要求不符；
B、不符合等式的性质1，故B错误，与要求相符；
C、由等式的性质2可知，C正确，与要求不符；
D、由等式的性质1可知，D正确，与要求不符．
故选：B．
【点评】本题主要考车的是等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
14.【答案】C
【解答】
解：① |x−3|与|y−2|互为相反数，
① |x−3|+|y−2|=0，
① x−3=0，y−2=0，
解得x=3，y=2，
所以，xy+x−y=3×2+3−2=6+3−2=7．
故选C．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
15.【答案】D
【解答】
解：① a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于2，
① a+b=0，cd=1，m=±2，
+2−2=0，
当m=2时，原式=0
2
+(−2)−2=−4，
当m=−2时，原式=0
−2
故选D．
【点评】本题考查了代数式求值：先把代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体思想进行计算．也考查了相反数、绝对值和倒数．
16.【答案】
体育委员买了3个足球、2个篮球后剩余的经费
【解答】
解：① 买一个足球x元，一个篮球y元，
① 3x表示体育委员买了3个足球，2y表示买了2个篮球，
① 代数式500−3x−2y：表示体育委员买了3个足球、2个篮球，剩余的经费．
故答案为：体育委员买了3个足球、2个篮球后剩余的经费．
【点评】本题主要考查了列代数式，在解题时要根据题意表示出各项的意义是本题的关键．
17.【答案】1
【解答】
解：把x=2代入方程，得：4+a−5=0，
解得：a=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．
18.【答案】5
【解答】
解:由m2−2m−1=0得m2−2m=1，
所以，2m2−4m+3=2(m2−2m)+3＝2×1+3=5．
故答案为：5.
【点评】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．
19.【答案】2
【解答】
解：(n+2)x|n|−1=3是关于x的一元一次方程，得
|n|−1=1且n+2≠0，
解得n=2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
)∘C
20.【答案】25.9∘C,(28−7x
1000
【解答】
×0.7
解：28−300
100
=28−2.1
=25.9∘C；
28−x
100×0.7=28−7x
1000
∘C．
故答案为：25.9∘C，(28−7x
1000
)∘C．
【点评】考查了列代数式的知识，正确列出上山后降低的温度是解本题的关键，难度不大．
21.【答案】1
2
【解答】
解：|2−x+y|=|2−(x−y)|=|2−21
2|=1
2
．
故本题答案为：1
2
．
【点评】主要是对绝对值中进行变形．注意负数的绝对值是正数．22.【答案】5
【解答】
解：① a−3b=3．
① 8−a+3b
=8−(a−3b)
=8−3
=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查代数式求值，关键是通过变形用整体代入法．
23.【答案】13
7
【解答】
解：2(x−2)=20−5(x+3)，
2x−4=20−5x−15，
7x=9，
解得：x=9
7
．
把x =97代入方程|3x −2|=b 得：|3×97−2|=b ，
解得：b =137．
故答案为：137． 【点评】本题考查了解一元一次方程和方程的解的定义，方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
24.【答案】
解：① 3<√11<4，
① 8<5+√11<9，
① a =5+√11−8=√11−3，
① b =4−√11．
将a ，b 值代入可得：(1)a +b =√11−3+4−√11=1.
(2)a −b =√11−3−4+√11=2√11−7．
【解答】
解：① 3<√11<4，
① 8<5+√11<9，
① a =5+√11−8=√11−3，
① b =4−√11．
将a ，b 值代入可得：(1)a +b =√11−3+4−√11=1.
(2)a −b =√11−3−4+√11=2√11−7．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
25.【答案】
解：（1）由题意得：13a +2=1，a +b =0，
解得：a =−3，b =3．
（2）将x=−3代入方程x+2
6−x−1
2
+3=x−x−m
3
得，
−3+2 6−−3−1
2
+3=−3−−3−m
3
，
解得m=41
2
，
原式=|−3−3|−|3−41
2|=−23
2
．
【解答】
解：（1）由题意得：1
3
a+2=1，a+b=0，解得：a=−3，b=3．
（2）将x=−3代入方程x+2
6−x−1
2
+3=x−x−m
3
得，
−3+2 6−−3−1
2
+3=−3−−3−m
3
，
解得m=41
2
，
原式=|−3−3|−|3−41
2|=−23
2
．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，熟悉一元一次方程的定义及解法是解题的关键．26.【答案】
解：① (c−a)2−4(a−b)(b−c)=0，
① c2−2ac+a2+4ac−4ab+4b2−4bc=0，
即(c+a)2−4b(a+c)+4b2=0
(c+a−2b)2=0
① 2b=a+c
【解答】
解：① (c−a)2−4(a−b)(b−c)=0，
① c2−2ac+a2+4ac−4ab+4b2−4bc=0，
即(c+a)2−4b(a+c)+4b2=0
(c+a−2b)2=0
① 2b=a+c
【点评】本题主要考查完全平方公式的应用，熟记公式是解题的关键．27.【答案】
解：方程两边都减去1，得
3x+1−1=7−1，
化简，得
3x=6
两边除以3，得
x=2．
【解答】
解：方程两边都减去1，得
3x+1−1=7−1，
化简，得
3x=6
两边除以3，得
x=2．
【点评】本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键．
28.【答案】
m−n
(m+n)2−4mn,(m−n)2
(3)由(2)知，(m+n)2−4mn=(m−n)2；
(4)(a−b)2=(a+b)2−4ab，
① a+b=6，ab=4，
① (a−b)2=36−16=20．
【解答】
解：(1)由图知，大正方形的边长为m+n，
所以阴影部分的正方形的边长为m−n，
故答案为：m−n；
(2)方案①大正方形的面积减去四个小长方形的面积：
(m+n)2−4mn，
方案①由(1)知，阴影部分小正方形边长为m−n，
所以面积为：(m−n)2.
故答案为：(m+n)2−4mn；(m−n)2.
(3)由(2)知，(m+n)2−4mn=(m−n)2；
(4)(a−b)2=(a+b)2−4ab，
① a+b=6，ab=4，
① (a−b)2=36−16=20．
【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题．29.【答案】
解：(1)设该月该用户应缴水费y元，
当x≤15时，y=1.5x；
当x>15时，y=15×1.5+(1.5+1.5)(x−15)=3x−22.5；
(2)当x=20时，y=3×20−22.5=37.5（元），
即这家该月用水20立方米，那么应缴37.5元．
【解答】
解：(1)设该月该用户应缴水费y元，
当x≤15时，y=1.5x；
当x>15时，y=15×1.5+(1.5+1.5)(x−15)=3x−22.5；
(2)当x=20时，y=3×20−22.5=37.5（元），
即这家该月用水20立方米，那么应缴37.5元．
【点评】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且
又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来，书写规范．30.【答案】
解：解2x−1
3=x+a
2
−1去分母时，方程右边的−1忘记乘6，
则所得的方程是2(2x−1)=3(x+a)−1，
把x=−2代入方程得2(−4−1)=3(−2+a)−1，解得a=−1．
把a=−1代入方程得2x−1
3=x−1
2
−1，
去分母得2(2x−1)=3(x−1)−6，去括号得4x−2=3x−3−6，
移项合并同类项得x=−7.
【解答】
解：解2x−1
3=x+a
2
−1去分母时，方程右边的−1忘记乘6，
则所得的方程是2(2x−1)=3(x+a)−1，
把x=−2代入方程得2(−4−1)=3(−2+a)−1，解得a=−1．
把a=−1代入方程得2x−1
3=x−1
2
−1，
去分母得2(2x−1)=3(x−1)−6，
去括号得4x−2=3x−3−6，
移项合并同类项得x=−7.
【点评】本题考查了解方程，利用方程的解满足方程得出关于a的方程是解题关键．31.【答案】
解：解方程3x+m−2(m+2)=3m+x，
移项，得：3x−x=3m+2(m+2)−m，
合并同类项，得：2x=4m+4，
系数化为1得：x=2m+2，
根据题得：{2m +2>−52m +2<5
， 解得：−72<m <32． 【解答】
解：解方程3x +m −2(m +2)=3m +x ，
移项，得：3x −x =3m +2(m +2)−m ，
合并同类项，得：2x =4m +4，
系数化为1得：x =2m +2，
根据题得：{2m +2>−52m +2<5
， 解得：−72<m <32． 【点评】本题是一个方程与不等式的综合题目．解关于x 的不等式是本题的一个难点．
32.【答案】
解：解方程3x −2=4m +x 得，x =2m +1，
① 关于x 的方程3x −2=4m +x 的解是正数，
① 2m +1>0，解得m >−12．
【解答】
解：解方程3x −2=4m +x 得，x =2m +1，
① 关于x 的方程3x −2=4m +x 的解是正数，
① 2m +1>0，解得m >−12．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
33.【答案】49 【解答】
（1）设0.4⋅=x ，则4+x ＝10x ，
① x=4
．
9
【点评】本题考查了无限循环小数转化为分数的运用，运用一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据等式的性质变形建立方程是解答的关键．。