四川省宜宾市翠屏区中学2022年九年级数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．小苏和小林在如图所示①的跑道上进行450⨯米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y(单位：m)与跑步时间t(单位：s)的对应关系如图所示②．下列叙述正确的是（ ）
A ．两人从起跑线同时出发，同时到达终点；
B ．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度；
C ．小苏前15s 跑过的路程大于小林前15s 跑过的路程；
D ．小林在跑最后100m 的过程中，与小苏相遇2次；
2．二次函数与288y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( )
A ．2k <
B ．2k <且0k ≠
C ．2k ≤
D ．2k ≤且0k ≠
3．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，tan ∠BAC=2，A （0，a ），B （b ，0），点C 在第二象限，BC 与y 轴交于点
D （0，c ），若y 轴平分∠BAC ，则点C 的坐标不能表示为（ ）
A ．（b+2a ，2b ）
B ．（﹣b ﹣2c ，2b ）
C ．（﹣b ﹣c ，﹣2a ﹣2c ）
D ．（a ﹣c ，﹣2a ﹣2c ）
4．如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，且AB AD ≠，过点O 作OE BD ⊥交BC 于点E ，若CDE 的周长为10，则▱ABCD 的周长为( )
A ．14
B ．16
C ．20
D ．18
5．对于反比例函数4y x =-，下列说法正确的是（ ） A ．y 的值随x 值的增大而增大
B ．y 的值随x 值的增大而减小
C ．当0x >时，y 的值随x 值的增大而增大
D ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小
6．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．若3x=2y （xy≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A ．23x y =
B ．23x y =
C ．32x y =
D ．32
x y = 8．如图，以点O 为位似中心，把ABC 放大为原图形的2倍得到A B C '''，则下列说法错误的是（ ）
A ．ABC A
B
C '''∽△△
B ．:1:2CO CA '=
C ．A ，O ，A '三点在同一直线上
D ．//AC A C ''
9．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点
A所经过的路径长为()
A．10πB．10 3
C．10
3
πD．π
10．如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长度为（）
A．2 B．23C．3D．22
11．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC 的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）
A5B．2 C．5
2
D．5
12．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃
C．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数
二、填空题（每题4分，共24分）
13．一组数据4，3，x，1，5的众数是5，则x＝_________.
14．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数中，任取一个数是奇数的概率是．
15．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的7个小球，其中红球2个，黑球5个，若再放入m个一样的黑
球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率等于4
5
，则m的值为．
16．如图，在△ABC中，BC=12，BC上的高AH=8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC 上．设DE x
=，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x的函数关系式是______．（不需写出x的取值范围）．17．如图，A、B、C、D是O上四个点，连接OA、OC，过A作AE OC
⊥交圆周于点E，连接OE，若140
ABC
∠=︒，则OEA
∠的度数为___________．
18．如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为．
三、解答题（共78分）
19．（8分） “垃圾分类”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就“垃圾分类”知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中m 的值为 ；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（3）若从对垃圾分类知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加垃圾分类知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线AC 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点50,
2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与反比例函数10y x
=在第一象限的图象交于点C ，CD y ⊥轴于点D ，2CD =.
（1）求点A 的坐标；
（2）动点P 在x 轴上，PQ x ⊥轴交反比例函数10y x =的图象于点Q .若:2PAC POQ S S =，求点P 的坐标.
21．（8分）已知：如图，在四边形ABCD 中，点G 在边BC 的延长线上，CE 平分∠BCD ，CF 平分∠GCD ，EF ∥BC 交CD 于点O ．
（1）求证：OE=OF ；
（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．
22．（10分）有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘A、B，游戏规定，转动两个转盘各一次，指向大的数字获胜．现由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为什么？
23．（10分）先化简，再求值：（
2
2
41
-
442
a
a a a
-
-+-
）÷
2
1
2
a a
-
，其中a是一元二次方程对a2+3a﹣2＝0的根．
24．（10分）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=26，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．
25．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是线段AB上一点（0＜AD＜1
2
AB）．过点B作BE⊥CD，
垂足为E．将线段CE绕点C逆时针旋转90°，得到线段CF，连接AF，EF．设∠BCE的度数为α．（1）①依题意补全图形．
②若α＝60°，则∠CAF＝_____°；EF
AB
＝_____；
（2）用含α的式子表示EF与AB之间的数量关系，并证明．
26．若关于x的一元二次方程(m+1)x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，(1)求m的取值范围；
(2)若x ＝1是方程的一个根，求m 的值和另一个根．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】依据函数图象中跑步者距起跑线的距离y （单位：m ）与跑步时间t （单位：s ）的对应关系，即可得到正确结论．
【详解】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A 错误；
根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B 错误；
小苏前15s 跑过的路程小于小林前15s 跑过的路程，故C 错误；
小林在跑最后100m 的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知2次，故D 正确；
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
2、D
【解析】利用△=b 2-4ac ≥1，且二次项系数不等于1求出k 的取值范围．
【详解】∵二次函数与y =kx 2-8x +8的图象与x 轴有交点，
∴△=b 2-4ac =64-32k ≥1，k ≠1，
解得：k ≤2且k ≠1．
故选D ．
【点睛】
此题主要考查了抛物线与x 轴的交点，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解题关键．
3、C
【分析】作CH ⊥x 轴于H ，AC 交OH 于F ．由△CBH ∽△BAO ，推出2BH CH BC AO BO AB
===，推出BH=﹣2a ，CH=2b ，
推出C （b+2a ，2b ），由题意可证△CHF ∽△BOD ，可得CH HF BO OD =,推出2b FH b c
=，推出FH=2c ，可得C （﹣b ﹣2c ，2b ），因为2c+2b=﹣2a ，推出2b=﹣2a ﹣2c ，b=﹣a ﹣c ，可得C （a ﹣c ，﹣2a ﹣2c ），由此即可判断；
【详解】解：作CH ⊥x 轴于H ，AC 交OH 于F ．
∵tan ∠BAC=BC AB =2， ∵∠CBH+∠ABH=90°
，∠ABH+∠OAB=90°， ∴∠CBH=∠BAO ，∵∠CHB=∠AOB=90°
， ∴△CBH ∽△BAO ，
∴2BH CH BC AO BO AB
===， ∴BH=﹣2a ，CH=2b ，
∴C （b+2a ，2b ），
由题意可证△CHF ∽△BOD ，
∴
CH HF BO OD
=， ∴2b FH b c =， ∴FH=2c ，
∴C （﹣b ﹣2c ，2b ），
∵2c+2b=﹣2a ，
∴2b=﹣2a ﹣2c ，b=﹣a ﹣c ，
∴C （a ﹣c ，﹣2a ﹣2c ），
故选C ．
【点睛】
本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
4、C
【解析】由平行四边形的性质得出AB CD =，BC AD =，OB OD =，再根据线段垂直平分线的性质得出BE DE =，由CDE 的周长得出BC CD 6cm +=，即可求出平行四边形ABCD 的周长． 【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，
AB CD ∴=，BC AD =，OB OD =，
OE BD ⊥，
BE DE ∴=， CDE 的周长为10，
DE CE CD BE CE CD BC CD 10∴++=++=+=，
∴平行四边形ABCD 的周长()2BC CD 20=+=；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
5、C
【分析】根据反比例函数的增减性逐一分析即可. 【详解】解：在反比例函数4y x
=-中，﹣4＜0 ∴反比例函数的图象在二、四象限，且在每一象限内y 随x 的增大而增大
∴A 选项缺少条件：在每一象限内，故A 错误；
B 选项说法错误；
C 选项当0x >时，反比例函数图象在第四象限，y 随x 的增大而增大，故C 选项正确；
D 选项当0x <时，反比例函数图象在第二象限，y 随x 的增大而增大，故D 选项错误.
故选C.
【点睛】
此题考查的是反比例函数的增减性，掌握反比例函数的图象及性质与比例系数的关系是解决此题的关键.
6、A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义结合图形的特点选出即可．
【详解】解：A 、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B 、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C 、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D 、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查轴对称图形及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键． 7、A
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】A ．由23x y =得：3x =2y ，故本选项比例式成立； B ．由23x y
=得：xy =6，故本选项比例式不成立； C ．由32
x y =得：2x =3y ，故本选项比例式不成立； D ．由
32x y =得：2x =3y ，故本选项比例式不成立． 故选A ．
【点睛】
本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．
8、B
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出答案．
【详解】∵以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△ABC ，
∴△ABC ∽△A′B′C′，A ，O ，A′三点在同一直线上，AC ∥A′C′，
无法得到CO ：CA′=1：2，
故选：B ．
【点睛】
此题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
9、C
【详解】如图所示：
在Rt △ACD 中，AD=3，DC=1，
根据勾股定理得：2210AD CD +
又将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，
则顶点A所经过的路径长为l=601010
1803
π
π
⨯
=．
故选C.
10、B
【解析】本题考查的圆与直线的位置关系中的相切．连接OC,EC所以∠EOC=2∠D=60°，所以△ECO为等边三角形．又因为弦EF∥AB所以OC垂直EF故∠OEF=30°所以EF=3OE=23．
11、C
【分析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD=5，应用两次勾股定理分别求BE和a．
【详解】过点D作DE⊥BC于点E
.
由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm1．.
∴AD=a.
∴1
2
DE•AD＝a.
∴DE=1.
当点F从D到B5
∴5
Rt△DBE中，
()2
222
=521 BD DE
--=，∵四边形ABCD是菱形，
∴EC=a-1，DC=a，
Rt△DEC中，
a1=11+（a-1）1.
解得a=5 2 .
故选C．【点睛】
本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．12、D
【解析】根据图可知该事件的概率在0.5左右，在一一筛选选项即可解答.
【详解】根据图可知该事件的概率在0.5左右,
（1）A事件概率为1
3
，错误.
(2)B事件的概率为1
4
，错误.
(3)C事件概率为2
3
，错误.
(4)D事件的概率为1
2
，正确.
故选D.
【点睛】
本题考查概率，能够根据事件的条件得出该事件的概率是解答本题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、5
【解析】根据众数的概念求解可得．
【详解】∵数据4，3，x，1，1的众数是1，
∴x=1，
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
14、5
9
．
【解析】试题分析：∵从1到9这九个自然数中一共有5个奇数，
∴任取一个数是奇数的概率是：5
9
．
故答案是5
9
．
考点：概率公式．15、1．
【解析】试题分析：根据题意得：5
7
m
m
+
+
=
4
5
，解得：m=1．故答案为1．
考点：概率公式．
16、23122y x x =-+；
【分析】根据题意和三角形相似，可以用含x 的代数式表示出DG ，然后根据矩形面积公式，即可得到y 与x 的函数关系式． 【详解】解：四边形DEFG 是矩形，12BC =，BC 上的高8AH =，DE x =，矩形DEFG 的面积为y ， //DG EF ∴，
ADG ABC ∴∆∆∽， ∴8812
x DG -=， 得3(8)2
x DG -=， 23(8)3·1222
x y x x x -∴==-+， 故答案为：23122y x x =-+．
【点睛】
本题考查根据实际问题列二次函数关系式、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17、10︒
【分析】由140ABC ∠=︒，利用圆的内接四边形求,D ∠ 进而求解AOC ∠，利用垂径定理与等腰三角形的三线合一可得答案．
【详解】解：140,ABC ∠=︒ 四边形ABCD 是O 的内接四边形，
40,D ∴∠=︒
80,AOC ∴∠=︒
,,OA OE OC AE =⊥
80,AOC EOC ∴∠=∠=︒
18016010.2
OAE OEA ︒-︒∴∠=∠=
=︒ 故答案为：10.︒
【点睛】 本题考查的是垂径定理，同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的三线合一，掌握以上知识是解题的关键．
18、300π
【解析】试题分析：首先根据底面圆的面积求得底面的半径，然后结合弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求得侧面积即可．∵底面圆的面积为100π， ∴底面圆的半径为10，∴扇形的弧长等于圆的周长为20π，设扇形的母线长为r ， 则120180r π=20π， 解得：母线长为30，∴扇形的面积为πrl=π×10×30=300π 考点：（1）、圆锥的计算；（2）、扇形面积的计算 三、解答题（共78分）
19、（1）60，10；（2）96°；（3）23
【分析】（1）根据基本了解的人数和所占的百分比可求出总人数，m =总人数-非常了解的人数-基本了解的人数-了解很少的人数；
（2）先求出“了解很少”所占总人数的百分比，再乘以360°即可；
（3）采用列表法或树状图找到所有的情况，再从中找出所求的1名男生和1名女生的情况，再由概率等于所求情况数与总情况数之比来求解.
【详解】（1）3050%60÷=
604301610m =---=
（2）“了解很少”所占总人数的百分比为
1646015= 所以所对的圆心角的度数为
43609615
⨯︒=︒ （3）
由表格可知，共有12种结果，其中1名男生和1名女生的有8种可能，所以恰好抽到1名男生1名女生的概率为
82=123
【点睛】 本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，根据图中信息解题，以及用列表法或树状图求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或表格，再由概率等于所求情况与总情况之比求解，注意列表时要做到不重不漏.
20、（1）()2,0A -；（2）()6,0P -或()2,0
【分析】（1）根据反比例函数表达式求出点C 坐标，再利用“待定系数法”求出一次函数表达式，从而求出坐标；
（2）根据“P 在x 轴上，PQ x ⊥轴交反比例函数10y x =
的图象于点Q ”及k 的几何意义可求出△POQ 的面积，从而求得△PAC 的面积，利用面积求出点P 坐标即可.
【详解】解：（1）∵CD y ⊥轴于点D ，2CD =，
∴点C 的横坐标为2，
把2x =代入反比例函数10y x =，得1052
y ==， ∴()2,5C ，
设直线AC 的解析式为y kx b =+， 把50,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,5C 代入，得5225b k b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得5452k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴直线AC 的解析式为5542y x =
+， 令55042
y x =+=，解得2x =-， ∴()2,0A -；
（2）∵PQ x ⊥轴，点Q 在反比例函数10y x =
的图象上， ∴11052POQ S =
⨯=△， ∵:2PAC POQ S S =，
∴10PAC S =△， ∴
1102
C PA y ⋅=， ∴21045PA ⨯==， 由（1）知()2,0A -，
∴()6,0P -或()2,0.
【点睛】
本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，要熟练掌握“待定系数法”求表达式及反比例函数中k 的几何意义，在利用面积求坐标时要注意多种情况.
21、证明见解析
【解析】（1）由于CE 平分∠BCD ，那么∠DCE=∠BCE ，而EF ∥BC ，于是∠OEC=∠BCE ，等量代换∠OEC=∠DCE ，
那么OE=OC，同理OC=OF，等量代换有OE=OF；
（2）由于O是CD中点，故OD=OC，而OE=OF，那么易证四边形DECF是平行四边形，又CE、CF是∠BCD、∠DCG 的角平分线，∠BCD+∠DCG=180°那么易得∠ECF=90°，从而可证四边形DECF是矩形．
【详解】解：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠BCE=∠DCE，∠DCF=∠GCF．
∵EF∥BC，
∴∠BCE=∠FEC，∠EFC=∠GCF，
∴∠DCE=∠FEC，∠EFC=∠DCF，
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF；
（2）∵点O为CD的中点，
∴OD=OC．
又∵OE=OF，
∴四边形DECF是平行四边形．
∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠DCE=1
2
∠BCD，∠DCF=
1
2
∠DCG，
∴∠DCE+∠DCF=1
2
（∠BCD+∠DCG）=90°，
即∠ECF=90°，
∴四边形DECF是矩形．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及矩形的判定，证得OE=OF，得出四边形DECF是平行四边形是解题的关键，注意角平分线的应用．
22、选择A转盘．理由见解析
【解析】试题分析：由题意可以画出树状图，然后根据树状图求得到所有等可能的结果，找全满足条件的所有情况，再利用概率公式即可求得答案．
试题解析：选择A转盘．
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，A 大于B 的有5种情况，A 小于B 的有4种情况，
∴P （A 大于B ）=，P （A 小于B ）=，
∴选择A 转盘．
考点：列表法与树状图法求概率
23、a 1+3a ，1
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a 1+3a ﹣1＝0可以得到a 1+3a 的值，从而可以求得所求式子的值．
【详解】解：（2241442a a a a
---+-）÷212a a - ＝[2(2)(2)1(2)2
a a a a +-+--]•a （a ﹣1） ＝（
2122
a a a ++--）•a （a ﹣1） ＝32a a +-•a （a ﹣1） ＝a （a +3）
＝a 1+3a ，
∵a 1+3a ﹣1＝0，
∴a 1+3a ＝1，
∴原式＝1．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，代数式求值．解决此题应注意运算顺序，能熟练掌握通分、因式分解、约分等知识点是解题关键．
24、证明见解析．
【分析】根据AC =26CD ＝4，BD ＝2，可得
AC CD BC AC
=，根据∠C =∠C ，即可证明结论． 【详解】解：∵AC =26CD ＝4，BD ＝2 ∴266AC BC ==626CD AC == ∴
AC CD BC AC = ∵∠C =∠C
∴△ACD ∽△BCA ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握知识点是解题关键．
25、（1）①补图见解析；②30，1
2
；（2）EF＝ABcosα；证明见解析．
【分析】（1）①利用旋转直接画出图形，
②先求出∠CBE＝30°，再判断出△ACF≌△BCE，得出∠CAF＝30°，再利用等腰直角三角形的性质计算即可得出结论；
（2）先判断出△ACF≌△BCE，得出∠CAF＝α，再同（1）②的方法即可得出结论．
【详解】（1）①将线段CE绕点C逆时针旋转90°，得到线段CF，连接AF，EF，如图1；
②∵BE⊥CD，∠CEB＝90°，
∵α＝60°，
∴∠CBE＝30°，
在Rt△ABC中，AC＝BC，
∴AC 2 AB，
∵∠FCA＝90°﹣∠ACE，∠ECB＝90°﹣∠ACE，∴∠FCA＝∠ECB＝α．
在△ACF和△BCE中，
AC＝BC，∠FCA＝∠ECB，FC＝EC，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴∠AFC＝∠BEC＝90°，∠CAF＝∠CBE＝30°，
∴CF＝1
2 AC，
由旋转知，CF＝CE，∠ECF＝90°，
∴EF2CF＝
2
2
AC＝
2
2
×
2
2
AB＝
1
2
AB，
∴EF
AB
＝
1
2
，
故答案为30，1
2
；
（2）EF＝ABcosα．
证明：∵∠FCA＝90°﹣∠ACE，∠ECB＝90°﹣∠ACE，∴∠FCA＝∠ECB＝α．
同（1）②的方法知，△ACF≌△BCE，
∴∠AFC＝∠BEC＝90°，
∴在Rt△AFC中，cos∠FCA＝FC AC
．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°．∵∠ECF＝90°，CE＝CF，∴∠CFE＝∠CEF＝45°．在△FCE和△ACB中，
∠FCE＝∠ACB＝90°，
∠CFE＝∠CAB＝45°，
∴△FCE∽△ACB，
∴EF FC
AB AC
＝cos∠FCA＝cosα，
即EF＝ABcosα．
【点睛】
此题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ACF≌△BCE是解本题的关键．
26、（1）m＞﹣2且m≠﹣1；（2）方程的另一个根为x＝﹣1
3
．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（-2）2+4（m+1）＞0，然后解不等式即可；
（2）先根据方程的解的定义把x=1代入原方程求出m的值，则可确定原方程变为3x2-2x-1=0，然后解方程得到方程的另一根．
【详解】（1）根据题意得△＝（﹣2）2+4（m+1）＞0，
解得m＞﹣2，
且m+1≠0，
解得：m≠﹣1，
所以m＞﹣2且m≠﹣1；
（2）把x＝1代入原方程得m+1﹣2-1＝0，解得m＝2，
∴原方程变为3x2﹣2x﹣1＝0
解方程得x1＝1，x2＝﹣1
3
，
∴方程的另一个根为x＝﹣1
3
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．。