2006电子科技大学自主招生数学试题及答案

1.甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是25, 12, 1
3.现3人各投篮1次,求:
(Ⅰ)3人都投进的概率;
(Ⅱ)3人中恰有2人投进的概率.
2.已知函数f(x)=3sin(2x －π6)+2sin 2(x －π
12
) (x ∈R)
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合.
3.如图,α⊥β,α∩β=l , A ∈α, B ∈β,点A 在直线l 上的射影为A 1, 点B 在l 的射影为B 1,已知AB=2,AA 1=1, BB 1=2, 求:
(Ⅰ) 直线AB 分别与平面α,β所成角的大小; (Ⅱ)二面角A 1－AB －B 1的大小.
4已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n .
5 如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三动点D,E,M 满足AD →=tAB →, BE → = t BC →, DM →
=t DE →
, t ∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线DE 斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M 的轨迹方程.
6.
已知函数f(x)=kx 3－3x 2+1(k ≥0). (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)的极小值大于0, 求k 的取值范围.
【参考答案】
1解: (Ⅰ)记"甲投进"为事件A 1 , "乙投进"为事件A 2 , "丙投进"为事件A 3, 则 P(A 1)= 25, P(A 2)= 12, P(A 3)= 1
3
,
∴ P(A 1A 2A 3)=P(A 1) ·P(A 2) ·P(A 3) = 25 ×12 ×35= 3
25
∴3人都投进的概率为3
25
(Ⅱ) 设“3人中恰有2人投进"为事件B P(B)=P(A 1－A 2A 3)+P(A 1A 2－A 3)+P(A 1A 2A 3－)
=P(A 1－)·P(A 2)·P(A 3)+P(A 1)·P(A 2－)·P(A 3)+P(A 1)·P(A 2)·P(A 3－) =(1－25)×12 ×35 + 25×(1－12)×35 + 25×12 ×(1－35) = 19
50
∴3人中恰有2人投进的概率为19
50
2.解:(Ⅰ) f(x)=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π
12)
= 2[
3
2sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12
)]+1 =2sin[2(x －π12)－π
6]+1
= 2sin(2x －π
3
) +1
∴ T=2π
2
=π
(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x －π3)=1,有 2x －π3 =2k π+π
2
即x=k π+ 5π12 (k ∈Z) ∴所求x 的集合为{x ∈R|x= k π+ 5π
12
, (k ∈Z)}.
3.解法一: (Ⅰ)如图, 连接A 1B,AB 1, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA 1⊥l , BB 1⊥l , ∴AA 1⊥β, BB 1⊥α. 则∠BAB 1,∠ABA 1分别是AB 与α和β所成的角.
A B
A 1
B 1
α
β
l 第2题解法一图
E
F
第2题解法二图
Rt △BB 1A 中, BB 1= 2 , AB=2, ∴sin ∠BAB 1 =
BB 1AB = 2
2
. ∴∠BAB 1=45°. Rt △AA 1B 中, AA 1=1,AB=2, sin ∠ABA 1=AA 1AB = 1
2
, ∴∠ABA 1= 30°.
故AB 与平面α,β所成的角分别是45°,30°.
(Ⅱ) ∵BB 1⊥α, ∴平面ABB 1⊥α.在平面α内过A 1作A 1E ⊥AB 1交AB 1于E,则A 1E ⊥平面AB 1B.过E 作EF ⊥AB 交AB 于F,连接A1F,则由三垂线定理得A 1F ⊥AB, ∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角.
在Rt △ABB 1中,∠BAB 1=45°,∴AB 1=B 1B= 2. ∴Rt △AA 1B 中,A 1B=AB 2－AA 12 =4－1 = 3. 由AA 1·A 1B=A 1F ·AB 得 A 1F=AA 1·A 1B AB = 1×32 = 3
2
, ∴在Rt △A1EF 中,sin ∠A 1FE = A 1E A 1F = 63 , ∴二面角A 1－AB －B 1的大小为arcsin 6
3
. 解法二: (Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则A 1(0,0,0),A(0,0,1),B 1(0,1,0),B(2,1,0).在AB 上取一点F(x,y,z),则存在t ∈R,使得AF →=tAB → , 即(x,y,z －1)=t(2,1,－1), ∴点F 的坐标为(2t, t,1－t).要使A 1F →
⊥AB →,须A 1F →·AB →
=0, 即(2t, t,1－t) ·(2,1,－1)=0, 2t+t －(1－t)=0,解得t=14 , ∴点F 的坐
标为(
24,－14, 34 ), ∴A 1F →=(24,14, 34 ). 设E 为AB 1的中点,则点E 的坐标为(0,12, 12). ∴EF →
=(24
,－14,1
4
). 又EF →·AB →=(24,－14,14)·(2,1,－1)= 12 － 14 － 14 =0, ∴EF →⊥AB →
, ∴∠A 1FE 为所求二面
角的平面角.
又cos ∠A 1FE= A 1F →·EF →|A 1F →|·|EF →| = (24，14，34)·(24，－14，14)216+116+916 ·216+116+116 = 18－116+
3
1634 ·
12 = 13 = 3
3 ,
∴二面角A 1－AB －B 1的大小为arccos
3
3
. 4.解: ∵10S n =a n 2+5a n +6, ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6,解之得a 1=2或a 1=3. 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2),②
由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1),即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 , ∴a n －a n －1=5 (n ≥2).
当a 1=3时,a 3=13,a 15=73. a 1, a 3,a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时,a 3=12, a 15=72, 有a 32=a 1a 15 , ∴a 1=2, ∴a n =5n －3.
5.解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x 0,y 0),E(x E ,y E ),M(x,y).由AD →=tAB →, BE → = t BC →
,
知(x D －2,y D －1)=t(－2,－2). ∴⎩⎨⎧x D =－2t+2y D =－2t+1 同理 ⎩⎨⎧x E =－2t
y E =2t －1
.
∴k DE =
y E －y D x E －x D = 2t －1－(－2t+1)
－2t －(－2t+2)
= 1－2t. ∴t ∈[0,1] , ∴k DE ∈[－1,1].
(Ⅱ) ∵DM →=t DE →
∴(x+2t －2,y+2t －1)=t(－2t+2t －2,2t －1+2t －1)=t(－2,4t －2)=(－2t,4t 2－
2t). ∴⎩⎨⎧x=2(1－2t)y=(1－2t)2
, ∴y=x 24 , 即x 2=4y. ∵t ∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2].
即所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[－2,2]
解法二: (Ⅰ)同上.
(Ⅱ) 如图, OD →=OA →+AD → = OA →+ tAB → = OA →+ t(OB →－OA →
)
= (1－t) OA →+tOB →
,
OE → = OB →+BE → = OB →+tBC → = OB →+t(OC →－OB →) =(1－t) OB →+tOC →,
OM → = OD →+DM →= OD →+ tDE →= OD →+t(OE →－OD →)=(1－t) OD →+ tOE →
= (1－t 2) OA → + 2(1－t)tOB →+t 2OC →
.
设M 点的坐标为(x,y),由OA →=(2,1), OB →=(0,－1), OC →
=(－2,1)得
⎩⎨⎧x=(1－t 2)·2+2(1－t)t ·0+t 2·(－2)=2(1－2t)y=(1－t)2·1+2(1－t)t ·(－1)+t 2·1=(1－2t)2
消去t 得x 2=4y, ∵t ∈[0,1], x ∈[－2,2]. 故所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[－2,2]
6.解: （I ）当k=0时, f(x)=－3x 2+1 ∴f(x)的单调增区间为(－∞,0],单调减区间[0,+∞). 当k>0时 , f '(x)=3kx 2－6x=3kx(x －2
k
)
∴f(x)的单调增区间为(－∞,0] , [2k , +∞), 单调减区间为[0, 2
k ].
（II ）当k=0时, 函数f(x)不存在最小值. 当k>0时, 依题意 f(2k )= 8k 2 － 12
k 2 +1>0 ,
即k 2>4 , 由条件k>0, 所以k 的取值范围为(2,+∞)
第5题解法图。