第1章 匹配滤波器

第1章 匹配滤波器
在雷达发展的初期，普遍地采用信噪比作为衡量雷达接收机抗干扰性能的准则。

对于一定的输入信号和噪声而言，给出输出信噪比大的系统一般说来（并非永远如此）要比给出信噪比小的系统为好。

最大信噪比准则，是指输出信号在某一时刻0t 瞬时功率对噪声平均功率之比达到最大。

在雷达情形里，从荧光屏上观测到的回波是回波信号与噪声的混合（有回波信号存在时），或仅为噪声（无信号时）。

当我们所关心的问题是根据回波来判断信号是否存在时，显然，最有利的情形是：在观测时刻0t ，信号瞬时功率对噪声平均功率之比达到最大。

1943年到North 从最大信噪比准则出发，建立了匹配滤波器理论。

匹配滤波器就是这样一种线性滤波器，在所有的线性滤波器中，在它的输出端能给最大的信号噪声功率比。

§1.1 白噪声下的匹配滤波器
图1.1-1线性滤波器
设加到线性滤波器输入端的是信号与噪声的混合波形。

如图1.1-1所示。

)()()(t n t s t x += （1.1-1）
其中输入信号)(t s 为已知函数，具有能量E 和频谱)(ωS ⎰
∞
∞
-=
t t s E d )(2
（1.1-2）
⎰
∞
∞
--=
t e
t s S t
j d )()(ωω
（1.1-3）
)(t n 为输入相加噪声的一个样本函数。

设输入噪声为平稳白噪声，它的功率谱密度为02
1N 。

相关函数为)(τR
[])(2
1)()()(0τδττN t n t n E R =
+=
（1.1-4）
我们已经规定，滤波器是线性系统，它满意迭加原理。

因而，可得到滤波器的输出为： )()()(00t n t s t y +=
（1.1-5）
其中)(0t s 是输出的信号部分，它仅由输入信号决定。

⎰
∞
∞
--=τττd )()()(0h t s t s （1.1-6a ）
或
⎰
∞
∞
-=
ωωωπ
ωd )()(21)(0t
j e
S H t s （1.1-6b ）
)(0t n 是输出的噪声部分，它仅由输入噪声决定。

⎰
∞
∞
--=
τττd )()()(0h t n t n （1.1-7）
)(t h 是滤波器的脉冲响应，)(ωH 是它的传输函数。

输出噪声也是平稳随机过程。

这是因为，平稳随机过程通过线性系统之后，仍为平稳随机过程。

输出噪声的相关函数为
[][]⎰
⎰⎰
⎰⎰
∞
∞
-∞∞
-∞
∞
-∞
∞
-∞
∞---=
'''--=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡'''--=τ
ττττττττττττ
ττd )]([)(2
1d d )()()()()()()()()()(21021212010t t h h N h h t n t n E d h t n d h t n E t n t n E
（1.1-8）
它只与时间差值21t t -有关，而与时刻本身无关。

实际上，输出噪声的平稳性已经决定了这一点。

从上式还可看出，输出噪声已不再为白噪声了。

求解白噪下的匹配滤波器，可以在时域进行，也可在频域进行。

考虑到频域中的许多概念更为大家所熟悉，在本教材中，介绍频域求解方法。

这有助于深入理解匹配滤波器的工作机理。

1.1-1 保证输出最大信噪比的线性滤波器——匹配滤波器
图1.1-1中，在任意时刻t ，输出噪声为一随机变量，它的统计平均功率正比于 [
]
ωωπ
d )(4)(2
02
⎰
∞
∞
-=
H N t n E （1.1-9）
可见，噪声的平均功率是一常数，与时间无关。

另一方面，假定滤波器输出信号的峰值出现在0t t =时刻，记为)(00t s ，它是一个确定量。

⎰
∞
∞
-=ωωωπ
ωd )()(21)(0
00t j e
H S t s （1.1-10）
此时，输出信号的瞬时功率为
2
2
00d )()(21)
(0
⎰
∞
∞
-=
ωωωπ
ωt j e
H S t s （1.1-11）
我们定义滤波器输出端的瞬时功率信噪比（下面简称为信噪比）为 )]
([)
(2
02
00t n E t s ＝
输出噪声平均功率
输出信号瞬时功率=
ρ （1.1-12）
将式1.1-9和1.1-11代入上式，得到
⎰
⎰
∞
∞
-∞
∞
-=
ω
ωπ
ω
ωωπ
ρωd )(4d )()(21
2
02
H N e
H S t j
（1.1-13）
前面已经提到，当我们关心的问题是根据对回波的观测来判断信号是否存在时（例如雷达），最有利的情形是：在观测时刻0t ，信号的瞬时功率对噪声的平均功率之比达到最大。

以此为标准来设计最佳线性滤波器，就是最大信噪比准则。

于是，寻求保证最大输出信噪比的线性滤波器，在数学上便归结为求解使式（1.1-13）达到最大值的线性滤波器的传输函数)(ωH 。

这是一个泛函求极值的问题，可以用变分法解决，也可用schwarz 不等式解决。

下面我们用schwarz 不等式求解。

根据schwarz 不等式
2
2
2
d )()(d )(d )(⎰
⎰
⎰
∞
∞
-*
∞
∞
-∞
∞
-≥
x x Q x P x x Q x x P
式中)()(x Q x P 、都是实变量x 的复函数。

*表示复共轭。

当
)()(x CP x Q =
（1.1-15）
时，式1.1-14的等号成立。

C 为任意的非零复常数。

我们令
)()(;)()(0
ωωωH x Q e
S x P t j ==*
将schwarz 不等式用于式（1.1-13）的分子，并注意到关系式
⎰
⎰
=
*
x x P x x P x P d )(d )()(2
于是，可以得到
2
2
02
2
2
2
1d )(21d )(4d )(d )(41
N S H N w
H S ⎰
⎰
⎰
⎰
∞
∞
-∞
∞
-∞
∞
-∞
∞-=
≤
ω
ωπ
ω
ωπ
ωωωπ
ρ
（1.1-16）
根据Parseval 定理，有
⎰
⎰
∞
∞
-∞
∞
-==
E t t s S d )(d )(212
2
ωωπ
（1.1-17）
式中E 为输入信号的能量。

将上式代入式（1.1-16），可得 0
2N E ≤
ρ （1.1-18）
上式给出了平稳白噪声下，线性滤波器所能给出的最大输出信噪比为 0
m a x 2N E =
ρ （1.1-19）
下面，我们来求能给出最大输出信噪比的线性滤波器的传输函数)(ωm H 。

根据schwarz 不等式中等号成立的条件式（1.1-15），可得到，不等式（1.1-16）之等号成立的条件是
)()(t j m e
CS H ωωω-*
= （1.1-20a ）
上式给出了)(ωH 的表达式。

它表明，除了复常数C 和线性相位因子0t j ω外，)(ωH 正好是)(ωS 的复共轭。

这个结果可陈述如下：当线性滤波器的传输函数为输入信号频谱的复共轭时，该滤波器可以给出最大的输出信噪比。

我们把这个复共轭现象称之为“匹配”，称这种线性滤波器为匹配滤波器。

最后，我们讨论一下常数C 。

C 表示匹配滤波器的相对放大量和引入的固定相位移。

对于匹配滤波器来说，重要的是它的传输函数的形状，而不是此传输函数的相对大小以及它的固定相移。

为了简化运算而又不影响分析的一般性，在以后的讨论中，都令1=C ，即
)()(t j e
S w H ωω-*
=
匹配滤波器的概念在信号检测理论中起着重要的和基本的作用，匹配滤波理论是信号检测理论中的特别重要的一个论题。

为了更好地理解和应用匹配滤波理论，下面，有必要对匹配滤波器的某些性质作进一步的阐述和讨论。

1.1-2 匹配滤波器的若干性质
1．在所有线性滤波器中，匹配滤波在其输出能给出最大的信噪比，其数值等于
02N E ／。

2．匹配滤波器的输出信噪比，仅与输入信号能量E 和白噪声的功率谱密度0N 有关，而与输入信号的波形、噪声的分布律无关。

输入信号的波形只影响匹配滤波器传输函数的形状。

只要各种信号的能量相同，白噪声的功率谱密度相同，与它们相应的匹配滤波器的输出信噪比就都一样。

换句话说，在同样的噪声干扰条件下，只有增加信号的能量，才能提高匹配滤波器的检测能力。

3．匹配滤波器的传输函数。

可将式（1.20-b ）写成如下形式
)()()
()(t S H S H ωωϕωϕωω--== （1.1-21）
上式的第一个等式说明，匹配滤波器的幅频特性与输入信号的振幅谱一致。

匹配滤波器的作用之一是，对输入信号中较强的频率成分给以较大的权重，而对输入信号中较弱的频率成分，则给以较小的权重，这显然是在白噪声（它具有均匀的功率谱密度）中过滤信号的一种最有效的权重方式。

上式中的第二个等式表明，匹配滤波器的相频特性与输入信号的相位谱互补（除线性相位项0t ω而外）。

它说明，不管输入信号有怎样复杂的非线性相位谱，经过匹配滤波器以后，这些非线性相位谱将全部被补偿掉，输出信号仅保留有线性相位谱。

这就意味着输出信号的各不同频率成分将在某一时刻0t 达到同一相位，振幅代数相加，从而形成输出信号的峰值。

至于噪声，由于它固有的随机性，因此匹配滤波器的相位特性对它没有任何影响。

匹配滤波器的这一作用还可用下面的方法加以解释：
由式（1.1-6b ）可以得到匹配滤波器的输出信号为 ωωωπ
ωd )()(21)(0t
j m e
H S t s ⎰
∞
∞
-=
（1.1-22）
将匹配滤波器传输函数)(ωm H 的表达式（1.1-20b ）代入上式，得
ωωπ
ωd )(21)()
(2
00⎰
∞
∞
--=
t t j e
S t s （1.1-23）
将上式的积分号变为求和号，则有： ∑
∞
-∞
=∆-=
k t t j k k e
S t s ω
ωωπ
)(2
00)(21)( （1.1-24）
这样，我们可以将上式看成是无穷个正弦型信号矢量之和，即
∑∞
-∞
==k j k
t e
a
t s k
)()(0φ （1.1-25）
其中
2
)(2k k S a ωπ
ω∆=
；)()(0t t t k k -=ωϕ
可以把式（1.1-25）表示成图（1.1-2）所示。

当0t t ≠时，各矢量取向不一致；当0t t =时，各矢量取向一致，使合成矢量的模)(00t s 达到最大，从而使输出信号的瞬时功率达到最大值。

)
(00t s
图1.1-2 匹配滤波器对信号作用的矢量解释
4．匹配滤波器的物理可实现性与脉冲响应
为了保证匹配滤波器的物理可实现性，式（1.20-b ）的右端必须取上半平面的极点，即
+-*
=])([)(0
t j m e
S H ωωω
（1.1-26）
或者表示成另外一种形式 ωωπ
ωωd )(21d )(0
⎰
⎰
∞
∞
--*
∞
-=
t
j t j j w t
m e
e
S t
e
w H
（1.1-27）
若输入信号)(t s 为实函数（物理上存在的信号都是实函数），即有)()(ωω-=*
S S ，则
t e
t t s e
S t
e
H t
j t t j t
j m d )(d )(21d )(0
0)
(0
0⎰
⎰
⎰
∞
-∞
∞
---∞
--=
-=
ωωωωωπ
ω
因此，匹配滤波器的脉冲响应为：
⎩
⎨
⎧<≥-=0
00)
()(0t t t t s t h m （1.1-28）
上式说明，匹配滤波器的脉冲响应是输入信号的镜像函数。

如图（1.1-3）所示。

对称点在时轴的
02
1t 点上。

5．观测时刻0t 的选择
根据匹配滤波的物理可实现条件，我们得到了如式（1.1-28）给出的脉冲响应)(t h m 。

式中的0t 是指匹配滤波器输出信号成分达到峰值的时刻，这个时刻可以在一定范围内选择。

2
t
图1.1-3 匹配滤波器的脉冲响应
设输入信号)(t s 的持续时间间隔为),0(0t ，因为
00
)(<=t t s
所以
s s t t t t s >=-0
)(
（1.1-29）
（1.1-28）式说明，输入信号必须在0t 之前结束，或者说，观测时刻0t 必须选择在输入信号全部结束之后，即s t t ≥0。

这是容易理解的。

因为在输入信号未全部结束之前，便无从得到它的全部能量，滤波器的输出信噪比当然也不可能达到它的最大值0/2N E 。

实际中，一般常把观测时刻选择在信号的未尾，即s t t =0。

6．匹配滤波器对于波形相似而振幅和时延参量不同的信号具有适应性。

就是说，对于信号)(t s 匹配的匹配滤波器，对于所有与)(t s 波形相似仅振幅及时延不同的其它信号，也是匹配的。

设匹配滤波I 与频谱为)(ωS 的信号)(t s 匹配，它的传输函数为)(ωH ，若另一信号)(1t s 的频谱为
ωτ
ωωj e
aS S -=)()(1
a 为任意实常数。

根据式（1.1-20
b ），可以得出与信号)(1t s 匹配的匹配滤波器Ⅱ的传输函
数为
[])(0
1100
0)()()()()(τωω
ωωτωωω+-'--*'-*
=-'==t t j j t j e
aH t e aS e
S H （1.1-30）
上式中0t 表示滤波器Ⅰ输出信噪比达到最大值的时刻；0
t '表示滤波器Ⅱ输出信噪比达到最大值的时刻，若观测时刻都选在信号的末尾，由于)(1t s 相对于)(t s 延迟了时间τ，所以0t '也比0t 延迟时间τ；即τ+='00
t t ，代入上式，便有
)()(1ωωaH H =
（1.1-31）
由上式可见，两个匹配滤波器之间除了一个表示相对放大量的常数a 以外，它们的传输函数完全一致。

所以，匹配滤波器Ⅰ对于信号)()(1τ-=t as t s 来说，也是匹配的，只是最大信噪比出现的时刻平移了而已。

应当指出，匹配滤波器对于频移信号不具有适应性，设频移信号的频谱为
)()(1γωω+=S S
与这个信号匹配的匹配滤波器的传输函数为
)()(2t j e
S H ωγωω-*
+=
显然，)(2ωH 与)(ωH 是不相同的，故匹配滤波器对于频移信号没有适应性。

7．匹配滤波器与相关器
若匹配滤波器输入端为信号与噪声的混合波形
)()()(t n t s t x +=
它的输出为
⎰
⎰
∞
∞
--=
-=
00
d )()(d )()()(ττττττt x t s t x h t y m
注意到式（1.1-28），上式的积分下限实际上不可能小于0，因而，不妨将积分下限改为∞-，于是有
)(d )()()(00t t R t x t s t y xs -=--=
⎰
∞
∞
τττ
（1.1-32）
)(t R xs 为输入信号与混合波形的互相关函数。

相似地，匹配滤波器输出端的信号成分就是输入信号的自相关函数 )(d )()()(00t t R t s t s t y ss s -=--=
⎰
∞
∞
τττ
（1.1-33）
以上说明了匹配滤波器与相关器的等效性。

在具体应用中，相关器主要考虑输入信号时间域上的特性，对相关器的综合也是在时间域上进行的，而匹配滤波器的综合多在频率域上进行。

另方面，匹配滤波器可以用模拟方法实现，连续地给出实时输出常用于模拟信号处理中，而相关器中的时延τ不便连续取值。

因此多用于数字信号处理中。

1.1-3 举例
例1：设输入信号为单个脉冲，其持续时间为0τ
⎩⎨
⎧><≤≤=0
0,0,
00,
)(ττt t t a t s 当当
信号)(t s 的频谱为
)1(d d )()(0
ωτ
τωωω
ωj t
j t
j e
j a t e
a t e
t a S ---∞
∞
--=
==
⎰⎰
（1.1-34）
当00τ=t 时，匹配滤波器应具有传输函数为 )1()1()(0
ωτ
ωτ
ωτ
ω
ωωj j j e
j ca e
e
j ca H ---=
-=
（1.1-35）
1
（a ） 匹配滤波器的组成
)
(1t s 3
（b ） 匹配滤波器的输出信号波形 图1.1-4 单个矩形脉冲的匹配滤波器
这样的传输函数可由如图1.1-4 (a) 所示的系统得到实现。

系统可由视频放大器（放大系数为ca ），积分器，能延迟0τ时间的延迟线及减法器组成。

根据式（1.1-29）可得匹配滤波器的冲激响应为 ⎩
⎨⎧>≤≤=00
,00)(ττt t ca t h 当当，
（1.1-36）
匹配滤波器的输出信号，由式（1.1-33）可得为
⎪⎩
⎪⎨⎧>≤≤-≤≤=0
0002
0202,02),
2(0,
)(τττττt t t ca t t ca t s 当当当 （1.1-37）
输出信号峰值出现0τ=t 时刻并等于cE ，这里有02
τca cE =，输出信号)(0t s 具有如图
1.1-4 (b) 所示的波形。

可见，匹配滤波器把矩形脉冲变成了持续期加倍的三角形永冲。

例2：假设信号是具有矩形包络的射频脉冲，脉冲持续时间为0τ，高频填充频率为0f ，信号波中图1.1-5 (a) 所示，其解析表示式为
t t
a r e c t t s 00
c o s )()(ωτ=
（1.1-38a ）
其中rect 为矩形函数
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>≤=21,02
1,1)(x x x r e c t 当当 （1.1-38b ）
)(t s 相应的频谱为
[]⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡+++--=+=
==
⎰⎰
⎰
-
+-----∞
∞
--0
00002
/2
/)()(2
/2
/02s i n 2s i n d 2d c o s d )()(00
0000ωωωωωωτωωωωττ
ωωωωττωωa t
e
e
a
t
te
a t e
t s S t
j t
j t
j t
j （1.1-39）
频谱形式如图1.1-5所示，在0ωω±=处形成两个主峰，并按x
x sin 函数（称为辛克函数）
展开，形成一系列逐渐衰减的副瓣。

(a) (b)
图 1.1-5
(a) 单个矩形脉冲信号)(t s ；(b) 信号)(t s 的频谱形式
已知单个矩形脉冲信号的信号波形和频谱，根据（1.1-20a ）和式（1.1-29）即可得到对于单个矩形脉冲信号的匹配滤波器的频率特性及冲激响应，为
)2s i n
2s i n
(
)(0
t j e
ca H ωωωτωωωωτωωω-+++
--= （1.1-40）
)(c o s )()(000
0t t t
t c a r e c t t h --=ωτ
（1.1-41）
输入信号的能量为
⎰⎰
⎰
-
-∞
∞-≈
+=
==
2
/2
/02
02
2
/2
/02
22
00
002
d )2c o s 1(2
d c o s d )(ττ
τττωωa t t a
t
t a t t a E （1.1-42）
匹配滤波器输出的信噪比为
02
2N a N E τρ==
（1.1-43）
为了求得匹配滤波器的输出信号波形，以式（1.1-38）代到式（1.1-33），并对式（1.1-33）
做变量置换，令μττ=-0，及2
00τ
=t ，有
[]⎰⎰
∞∞-∞
∞
-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+=-+=
μτμωμωττμτμμ
μμd 2(cos cos )2()(d )()()(000000200t t rect rect ca t t s s t s 于是
⎪⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧
>≤≤-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-+<≤-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-<=⎰⎰-2/3,0232,)2(c o s c o s
22,)2(c o s c o s
20)(00200002002
0002000
0τττμτμωμωττμτμωμωττττt t d t ca t d t ca t t s t t ， （1.1-44） 式（1.1-44）的积分限是用图1.1-6的方法确定的。

图1.1-6 工（1.1-44）的积分限的确定
（a ）)(
τμrect
（b ）⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+0
0)2(ττμt rect ； 20
τ-<t （c ）同（b ）， 22
ττ<
≤-
t
（d ）同（b ），
2
32
00
ττ≤≤t ；
（e ）同（b ）， 2
30τ>
t
由图可见，当∞-到t 时，相当于令⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+0
0)2
(ττμt rect 。

在μ轴上自左向右滑动，图
1.1-6中（e ）、（b ）两种情况下积分均为0，只有在（c ）、（d ）两种情况下积分才有数值。

利用三角公式可得
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+)2(2cos )2(cos 21
)2(cos cos 0000000t t t τμωτωτμωμω 并利用近似等式（高次谐波项积分值很小）
⎰≈--0d )2
(
2(cos 0
0μτμωt
代入式（1.1-44），积分后得到
⎪⎪⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪
⎪
⎨
⎧
>≤
≤-+-<≤-
-+<=23,02
32
),
2(cos )23(222
),2
(cos )2(22
,0)(0
0000
02
000002
00ττττωττττωττt t t t ca t t t ca t t s （1.1-45）
式（1.1-45）可改写为
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>-≤----=002
000020,02),2(cos )2(2)(τττττωττt t t t ca t s
（1.1－46）
图1.1-7给出了)(0t s 的波形。

它呈振荡形式，其频率仍为0f ，包络为对称的三角形波，
顶点位于00
2
t t ==
τ处，振荡的瞬时峰值也发生在这一点，其值为
cE ca s ==
2
)2
(
2
00ττ
图1.1-7 输入为矩形射频脉冲信号的波形及其匹配滤波器的输出波形
§1.2 色噪声下的匹配滤波——广义匹配滤波器
上一节中，从最大信噪比准则出发，讨论在零均值平稳色噪声下的最佳线性滤波问题，即色噪声下的匹配滤波问题，色噪声就是指非白噪声，它的功率谱密度不再是均匀的，相应地，它的相关函数也不再是δ函数型的。

解决色噪声下的匹配滤波问题，可以用频域分析方法，也可以用时域分析方法。

在上
一节里，讨论白噪声下的匹配滤波时，我们介绍了频域分析方法。

这一节里，我们将介绍时域分析方法，其结果导致解一个线性积分方程。

1.2-1 色噪声下匹配滤波器的近似解法
和上一节中的讨论类似，设加在线性滤波器输入的是信号与相加噪声之和
)()()(t n t s t x +=
输入信号)(t s 为已知函数，具有频谱)(ωS ，相加噪声)(t n 为零均值平稳色噪声，具有功率谱密度)(ωN 相关，函数)(τn R 与)(ωN 构成付氏变换对，即 )()(ωτN R n ↔ （1.2-1） [])()()(ττ-=t n t n E R n （1.2-2）
线性滤波器的输出为
)()()(00t n t s t y +=
（1.2-3）
)()(00t n t s 和分别表示输出的信号成分和噪声成分。

对于物理可实现的滤波器，必须满足以下条件
0,
0)(>=t t h
)(t h 是滤波器的脉冲响应。

于是有
⎰
⎰
∞
∞
-=
-=0
000d )()()(d )()()(τ
τττ
ττh t n t n h t s t s
在任意时刻t ，输出噪声的统计平均功率为：
[]
[]⎰⎰
⎰⎰
⎰
⎰∞
∞
∞∞
∞
∞
'
''-=
'''--=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡'''--=0
00
2
0d d )()()(d d )()()()(d )()(d )()()(ττττττττττττττττ
ττh h R h h t n t n E h t n h t n E t n E n 设在时间0t t =，形成了输出信号的峰值，则 ⎰
∞
-=
000d )()()(τττh t s t s
（1.2-5）
按照上节中对滤波器输出端信噪比ρ的定义，有
)]
([)
(2
2
00t n E t s =
ρ
将式（1.2-4）、（1.2-5）代入上式，得：
⎰⎰
⎰⎰
∞
∞∞∞
'
'-''
'--'=
00d d )()()(d d )()()()(ττττττττττττρn R h h t s t s h h （1.2-6）
于是，我们要解决的问题，便归结为寻求使上式中的信噪比。

达到最大值（记为m ρ）的滤波器的脉冲响应)(τm h 。

它是一个泛函求极值的问题，最后得到的结果是)(τm h 必须满足下列积分方程
)(d )()(00
τττττ'-='-⎰
∞
t Cs R h n m
（1.2-7）
其中C 为常数。

上式就是第一类Fredholm 积分方程。

下面我们来证明式（1.2-7）所示的这一结果。

我们已经规定m ρ表示滤波器能够给出的最大输出信噪比，则必有
m ρρ≤ （1.2-8）
将式（1.2-6）代入（1.2-8），可得
m n R h h t s t s h h ρττττττττττττρ≤'
'-''
'--'=
⎰⎰
⎰⎰
∞
∞∞∞
00d d )()()(d d )()()()(
或
0d d )()()()(d d )()()(0
000
≥''--'-
''-'⎰⎰
⎰
⎰
∞∞
∞
∞
ττττττττττττρt s t s h h R h h n m
上式中的第二项，表示对应于滤波器)(t h ，其输出信号的瞬时功率；式中的第一项表示其输出噪声平均功率与最大信噪比m ρ的乘积，我们用I 来表示这个功率差，于是可得 []0d d )()()()()(000
≥''---'-'=
⎰⎰
∞
∞
ττττττρττt s t s R h h I n m
（1.2-9）
很明显，对于任何一个物理可实现的滤波器)(τh ，若我们找到了一个最佳脉冲响应)(τm h ，它使滤波器的输出信噪比达到了最大值m ρ，代入（1.2-6），可得
⎰⎰
⎰⎰
∞
∞∞
∞
'
'-''
'--'=
00d d )()()(d d )()()()(ττττττττττττρn m m m m m R h h t s t s h h
以及
[]0d d )-()()()()(000
=''--'-'=
⎰⎰
∞∞
ττττττρττt s t s R h h I n m m m m （1.2-10）
比较式（1.2-9）和（1.2-10），可得：
m I I ≥ （1.2-11）
上式告诉我们，对应于最佳脉冲响应)(τm h 的那个m I ，在所有的I 中取最小值，换句话说，必须满足条件（1.2-11）。

假定有某一不等于)(τm h 的脉冲响应)(τh
)()()(τεηττ+=m h h
（1.2-12）
式中)(τη为任意物理可实现滤波器的脉冲响应。

ε为任一非零的常数。

将（1.2-12）中的)(τh 代入式（1.2-9），可以得到它所相应的I 值，用I I I m δ+=表示，于是有 ττττττρτεηττεητδ'
'---'-'+'+=
+=⎰⎰
∞∞
d d )]()()()][()()][()([000
t s t s R h h I I I n m m m m
（1.2-14）
上式展开，并与式（1.2-10）比较，最后可得
ττττττρτητηε
ττττττρτητεδ'
'---'-'+'
'---'-'=⎰⎰
⎰⎰
∞
∞
∞
∞
d d ]()()()[()(d d )]()()()[()(20
002
0000t s t s R t s t s R h I n m n m m （1.2-15）
根据（1.2-11），必有
0≥I δ
（1.2-16）
另外，根据式（1.2-9）可知，式（1.2-15）中的第二项是非负的，即 []0d d )()()()()(0
002
≥''---'-'⎰⎰
∞
∞
ττττττρτητηε
t s t s R n m （1.2-17）
由于ε可能取正值，也可能取负值，于是，对于任何的ε值，保证式（1.2-16）总能成立的条件是：式（1.2-15）中的第一项等于零，即
[]0d d )()()()()(0
00=''---'-'⎰⎰
∞
∞
ττττττρτητt s t s R h n m m
（1.2-18）
还可将上式写成另一种形式
[]0d d )()()()()(0
00=''---'-'⎰
⎰∞
∞
ττττττρττηt s t s R h n m m （1.2-19）
式中)(τη'表示任意一物理可实现滤波器的脉冲响应，0)(≠'τη，因此，式（1.2-19）成立的条件是：它里面的那个积分式等于零，即
[]0d )()()()(0
00='---'-⎰
∞
τττττρτt s t s R h n m m
（1.2-20）
从上式便可得到积分方程（1.2-7） )(d )()(00
τττττ'-='-⎰
∞
t Cs R h n m
（1.2-7）
其中
m
m t s t s h C ρρτ
ττ)
(d )()(00m
0=
-=
⎰
∞
（1.2-21）
这就证明了能使信噪比达到最大值的)(τm h 必须满足积分方程（1.2-7）。

我们把在平稳色噪声下能给出最大输出信噪比的线性滤波器称为广义匹配滤波器，也叫做色噪声下的匹配滤波器。

为了求得色噪声下匹配滤波器的脉冲响应)(τm h ，需要求解积分方程（1.2-7）。

在这里，我们只求它的近似解。

做法是：不管式（1.2-7）中积分限的限制，而取积分限为),(∞-∞，于是式（1.2-7）便可作为一个卷积积分来求解。

当然，这样得到的解，既是准最佳的，又是物理不可实现的。

我们用)(0τh 表示在上述近似条件下滤波器的脉冲响应，代入式（1.2-7），有
)(d )()(00τττττ'-=-'⎰
∞
∞
-t Cs R h n
（1.2-22）
上式的左边表示卷积积分，即
)()(d )()(00ττττττ'⊗'=-'⎰
∞
∞
-n n R h R h
对式（1.2-22）的等号左右两边求付氏变换，便可得到
)()()(0t j e CS N H ωωωω-*
=
或
)
()()(0
0ωωωωN e
S C
H t j -*
= （1.2-23）
上式就是色噪声下物理不可实现匹配滤波器传输函数的表示式。

将上式与白噪声下匹配滤波器传输函数的表示式（1.1-20a ）比较，可把)(0ωH 理解为)(ωm H 除以噪声的功率谱密度（除常数C 不同外）。

当相加噪声为白噪声时，积分方程（1.2-7）很容易求解。

这时，将白噪声的自相关函数)(2
1)(0τδτN R n =
代入该式，可以得到
)(d )()(2
00ττττδτ'-=-'⎰
∞
∞
-t Cs h N m
利用δ函数的积分性质，可得：
)()(2
00ττ-=t Cs h N m
（1.2-24）
除相差一常数外，它与上一节里得到的白噪声下匹配滤波器的脉冲响应的表示式完全相同。

实际上，我们可以把白噪声下的匹配滤波器看成是色噪声下匹配滤波器的特例，或者，反过来说，把色噪声下的匹配滤波器看成白噪声下匹配滤波器的推广。

1.2-2 白化—匹配滤波器组合法
对于色噪声下的匹配滤波问题，我们还可用另一种方法导出与式（1.2-23）相同的结果，采用的方法是白化—匹配滤波器组合法，即：先将色噪声进行白化处理，然后再求白噪声下的匹配滤波器。

这样，就可将在白噪声下得到的结果应用到色噪声情况中。

具体地说，就是把传输函数为)(ωH 的滤波器等效为两个滤波器的级联，它们的传输函数分别为)(1ωH 和)(2ωH ，如图（1.2-1A ）所示。

图中滤波器Ⅰ用来作为白化滤波器，将输入色
噪声)(t n 变换成白噪声，因此，在它的输出端为已知信号)(1t s 与相加白噪声)(1t n 之和。

滤波器Ⅱ则是在白噪声下对于信号)(1t s 的匹配滤波器。

下面，我们对这种方法做具体讨论。

)
白化滤波器
与 匹配的匹配滤波器
)(1t s
图（1.2-1a
） 白化滤波器和匹配滤波器的组合 )
t
图（1.2-1b ） 等效滤波器
一、白化滤波器
若色噪声的功率谱密度)(ωN 为有理函数（这一点在实际上常能满足，既使做不到这一点，通常也可以用有理函数来逼近)(ωN ，我们知道，对于一个有理函数，总能把它表示成如下的分解因式形式
βαβωβωαωαωω≠----=)
()()()()(112
N M a
N （1.2-25）
式中ω为复频率，l k βα,分别表示)(ωN 的零点和极点。

作为噪声)(t n 的功率谱密度，)(ωN 具有以下性质： 1．)(ωN 为非负；
2．)(ωN 是实函数； 3．)(ωN 在实轴上可积。

根据上述性质，可以导出关于)(ωN 的零，极点的如下特性： 1．2a 为实数；
2．)(ωN 的所有虚部不为0的零点和极点均成复共轭出现； 3．)(ωN 的所有零、极点皆为偶重的； 4．)(ωN 的实轴上无极点； 5．N M <。

于是，可将)(ωN 分解为两项之积
)()()(ωωω-+=N N N （1.2-26）
其中
)
()()
()()(2/12
/1N M
a
N βωβωαωαωω----=+ （1.2-27）
)
()()()()(2121*
*
*
*
-----=N M a N βωβωαωαωω （1.2-28）
在上两式中：
1．k α与*
k α互为复共轭2/,2,1M k =； 2．l β与*
l β互为复共轭2/,2,1N l =；
3．)(ω+N 的所有零点和极点皆分布在上半平面，即对于0<t ，它的逆付氏变换为零； 4．)(ω-N 的所有零点和极点皆分布在下半平面，即对于0
>t
，它的逆付氏变换为零。

我们选择图（1.2-1a ）中滤波器Ⅰ的传输函数)(1ωH 为： )
()(1ωω+=
N C H
（1.2-31）
其中C 为任意常数。

为了简化运算，下面我们都取1=C 。

于是，在滤波器Ⅱ的输出端，信号的频谱和噪声的功率谱分别为 )
()()
(1)()(1ωωωωω++=
⋅
=N S N S S （1.2-32）
1)
()()(2
11=⋅=ωωωH N N （1.2-33）
)(1ωN 为常数，所以)(1t n 为白噪声，滤波器Ⅰ的作用是把色噪声转换成了白噪声，因而
称它为白化滤波器。

二、求解白噪声下的匹配滤波器
白化滤波器把在色噪声下寻求对信号)(t s 的匹配滤波问题转化成了在白噪声下求对信号)(1t s 的匹配滤波问题。

于是，我们便可将上一节中得到的白噪声下匹配滤波理论推广到色噪声的情形中。

在图（1.2-1a ），应当这样选择)(2ωH ，以使滤波器Ⅱ在白噪声下对于信号)(1t s 匹配。

根据上节计论的结果，不难写出它的表示式
)()()()(12122t j t j e S H C e S C H ωωωωωω-**-*==
（1.2-34）
2C 为一常数，为了简化运算，以下皆令12=C 。

滤波器总的传输函数为
)
()()()
(1
)(1)()()(21t j t j e
N S e
S N N H H H ωωωωωωωωωω-*
-*
*
+
+=
=
= （1.2-35）
将上式与式（1.2-23）比较，可见，二者是一致的。

图（1.2-2） 持续时间为无限的信号)(1t s
应当指出的是，采用上述方法时，滤波器Ⅰ是物理可实现滤波器，这是由)(ω+N 的性质所决定的。

但滤波器Ⅱ有可能是物理不可实现的。

这是因为：
（1）0
)()()(2t j e
N S H ωωωω-*+*⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=的极点不一定都分布在上半平面 （2）在讨论白噪声下匹配滤波器的性质时，曾指出：观测时间的选择必须满足条件
s t t >0，s t 是输入信号的结束时间。

根据物理可实现条件，观测时间必须为有限值，即0
t 不能选在∞。

因此s t 也必须为有限值。

对于通常的输入信号，总能做到这一点。

但是，在现在的情况下，既使输入信号)(t s 的持续时间有限值，白化滤波器的输出信号（亦即滤波器Ⅱ的输入信号）)(1t s 的持续时间s t '也可能是无限的。

这是因为)(1t s 的持续时间s t 为输入信号)(t s 的持续时间s t 与白化滤波器的记忆时间之和，而后者与)(ωN 的零点有关。

当
s t 趋于无限时，滤波器Ⅱ便成为非物理可实现的了。

这从图（1.2-2）可以看到。

图中表明
s
t '为无限，若观测时间0t 为有限值，则0t t >的那部分信号便属于未来，而超出了物理可实现滤波器的存取时间。

如果不必用实时方式处理信号时，物理可实现问题就无关重要。

在实践中，也常常根据记录数据进行分析，而且这种分析是以非实时方式来完成的。

这时，我们不仅可以使用信号的过去历史，同时还可使用它的未来，对于这样的非实时分析，我们可以做出能利用全部数据的滤波器，在实时分析中，这显然是办不到的，因为物理可实现滤波器不能在信号出现之前就对它产生响应。

1.2-3 色噪声下匹配滤波器的输出信噪比
在1.2-2中，我们采用了先将色噪声进行白化处理，然后将在白噪声下得到的结果推广到色噪声情形中，得出了广义匹配滤波器传输函数的表达式，应用相同的方法不难得到滤波器的输出信噪比。

如图（1.2-1a ）所示，滤波器Ⅱ是在白噪声下对信号)(1t s 的匹配滤波器，应用§1.1中讨论的结果，可得到匹配滤波器的输出信噪比为
)
(11m a x ωρN E =
（1.2-36）
式中)(1ωN 是白噪声)(1t n 的功率谱密度；1E 是信号)(1t s 的能量
⎰
∞
∞
-=
ωωπ
d )(212
11S E
（1.2-37）
将式（1.2-32）中的)(1ωS 代入上式，再将式（1.2-37），（1.2-33）代入（1.2-36），最后可得到
ωωωπ
ρd )
()
(212
m a x ⎰
∞
∞
-=
N S （1.2-38）
式中)(ωS 与)(ωN 分别表示滤波器的输入信号频谱和输入色噪声功率谱密度。

在上一节中曾指出，在输入噪声是白噪声的情形下，匹配滤波器的输出信噪比取决于输入信号的能量E 和输入噪声谱密度0N 之比，而与信号波形无关。

对于色噪声的情形，这个结论不再成立。

式（1.2-38）说明了这一点。

给定了色噪声的功率谱密度)(ωN 。

适当设计信号的波形，可以得到更大的信噪比。

1.2-4 举例
例1：已知相加色噪声的功率谱密度为
2
21
)(ωωω+=
N
求对于已知信号)(t s 匹配的广义匹配滤波器的脉冲响应。

解：假设此匹配滤波器不一定是物理可实现的。

根据公式（1.2-23）可以写出它的传输函数)(ωH 为
)
()()(t j e
N S C
H ωωωω-*
=
将给定的)(ωN 代入上式，得
)()()(202
t j e
S C H ωωωω
ω-*
+=
我们知道，0
)(t j e S ωω-*的付氏变换是)(0t t s -，即
)()(00
t t s e
S t j -↔-*
ωω
而
[])()(0
2
220
t t s dt
d e
S t j --
↔-*
ωωω
)()(t h H ↔ω
因此
[])()()(0
2
2020
t t dt
d t t S t h --
-=ω
例2：已知信号)(t S 为
⎩⎨
⎧<≥-=--0
00
)(2/t t e e t s t
t
噪声的功率谱密度为
2
11)(ω
ω+=
N
求：对于)(t s 匹配的广义匹配滤波器。

我们用白化—匹配滤波器组合的方法来解这个问题。

)(ωN 为有理函数，又可写成如下形式
ω
ωωωωj j N N N -+=
=-+11
11
)()()(
于是，白化滤波器的传输函数为
ωωωj N H +==
+1)
(1)(1
白化滤波器输出端的信号频谱为
ωωω
ωωωωj j j j H S S 211
)1(11
212)()()(11+=+⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+-
+== 相应的时间函数为
021)(2
1≥=
-t e
t s t
1)
()()(2
11=⋅=ωωωH N N
下面，进一步求白噪声下对)(1t s 的匹配滤波器。

此滤波器输出传输函数为
)()(12t j e
S H ωωω-*
=
式中0t 是观测时刻。

将)(1ω*S 代入上式，得
211)(2t j e
j H ωω
ω--=
与)(2ωH 相应的脉冲响应为
⎪⎩⎪⎨⎧><<∞-=-0
02
/)(20
2
1)(0t t t t e
t h t t
可见，第二个滤波器（白噪声的匹配滤波器）是物理不可实现滤波器。

我们取它的物理可实现部分，做为物理可实现滤波器，于是有
为其他
t t t e
t h t t c 02/)(200
2
1)(0<<⎪⎩⎪⎨⎧=-
相应的传输函数)(2ωc H 为
)(211d 2
1)(2
/2
/)(200
0t t j t
j t t
t t c e
e
j t e
e
h ------=
=
⎰
ωωω
ω
广义匹配滤波器的传输函数为：。