S8-7方向导数与梯度

记作gradf, 即 grfa d x fi y f j x f, y f
同样，三元函数 f (x, y,z)在点 P(x, y,z)处的梯度
gradf

f , x
f , y
f z
xfiyf jzfk
l x y z
2
l

G e l
GcoG ,sel()prejG
( e
l
1)
当e与G 方向一,方致向时 导数取最大值：
l
maxf G
l
这说明
G:
方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值
1. 定义 向量 G称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient),
x
(t (x)2(y)2, x tco, s.y tco)s
特别:
• 当 l 与 x 轴同向 0,时 ,有
2
f 存在，f 必存在，反之却并 立不 。成
x
l
该定理对于多元函数任然成立
定理: 若函 f(x,y,z数 )在 P (点 x,y,z)处,可微
f(x,y,z)x2yz,曲线

x y

t 2t
2

1
在点
M (1,1,1) 处切线的方向向量
z t 3
l d dx t,d dy t,d dz t t1(1,4,3)
函数沿 l 的方向导数
l fM fx co fy s co fz s co ( 1 ,1 s ,1 )
2
x02 a4

y02 b4

z02 c4
作业
P51 2，6，7
题 1. 函数 ulnx2(y2z2)在点 M (1,2,2)
处的梯度 graudM92(1, 2, 2)
解: gruaM d u x, u y, u z (1 ,2, 2)
令 rx2y2z2,则
u x
1 r2
2x
注意 x , y , z 具有轮换对称性
2 r2 x,2r2y,2 r2z(1,2,2)
2(1, 9
2,
2)
2. 函数 ulnx ( y2z2)在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是
1 2
.
提示: A B (2 , 2 ,1 ),则
当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为 gradf P.
y
f c3
f c2
P f c1
o
x
(设 c 1c2c3)
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,
指向函数增大的方向.
3. 梯度的基本运算公式
(1 g)r C a0d (2 g)r (C a u ) d C gruad
f f cosf cos
l x
y
其中 ,为l的方向. 角
对于二元函数 f(x,y), 在点 P(x,y)处沿方 l(方 向 向角
为, ) 的方向导数为
f
f(x x,y y)f(x,y)
yl
lim
l t 0
t
lP
fx (x ,y )co fy s (x ,y )coso
指向外侧的法向量, 求函数 u 6x2 8y2 在点P 处沿
方向 n的方向导数.
z
解: n(4x,6y,2z)P2(2,3,1)
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u x
Pz
6x
6x2 8y2

P
6 14
同理得 u 8 , u 14 y P 14 z P
u 162831 41 11
n P 14
7
二、梯度
方向导数公式 ffc o sfco s fcos
l x y
z
令向 量 Gxf,
f, y
f z

e (c,o cs o,c so ) s
f l
解:将已知曲线用参数方程表示为
yx

x x2
1
它在点 P 的切向量为 (1,2x)x2(1,4)
cos 1 , cos 4
17
17
y P
o1 2x
z l
P 6xy
1 (3x22y) 17
4 17
(2 , 3)
60 17
例3. 设 n是曲面 2x23y2z26在点 P(1, 1, 1 )处
(x2
2x y2)2
f y
(x2
2y y2)2
故： gradx2
1 y2

(x2
2x y2)2
i
2y (x2 y2)2 j
例5. 求
grfad 其f(中 x,y,z)xyz (1,2,3)
gr f( 1 ,2 , a 3 ) ( y d ,x z ,x z )|( 1 y ,2 ,3 ) ( 6 ,3 ,2 )
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
2. 梯度的几何意义
对函 zf数 (x,y),曲 线 zzf(C x,y)在xo面 y 上的 影 L*:f(x,y)C称为函数 f 的等值线 .
设fx, fy不同时为, 则零L*上点P 处的法向量为
(fx, fy) PgrafdP 同样, 对应函数 uf(x,y,z), 有等值面(等量面) f(x,y,z)C,

eA B

2, 3
2, 3
1 3

{c,c oo s ,cso }s
u d lnx(1)
1,
x A
d x x1 2
u dln1( y21)
0,
y A
dy
y 0
u 1 z A 2
uuco suco suco s1
graf d xf, yf, zf
• 二元函数 f (x,y)在点 P(x, y)处的梯度为 gr f a (fx ( d x ,y ),fy (x ,y ))
3. 关系
• 可微
方向导数存在
偏导数存在
•
f l
gradf e
l
梯度在方向 l 上的投影.
思考与练习
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
ffco sfco sfco s
l x y
z
其 中 ,,为 l的方.向角
例1. 求函数 u x2yz 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 l(2,1,
3) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
6 26
( 2 )gf rM a ( 2 d ,1 ,0 ) f
cos grafdMl l M 6
gradf M l grad f M 130
arcco6s
130
2. P73 题 16
u
2x02ax202y02by202z02cz20
nM0
2 xa042yb042zc042
t t 0
t 0
t
l P
t (x)2(y)2,
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. l P
方向导数实质上是函数在一点处沿某一方向的变化率。
定理: 若函 f(x,数 y)在P 点 (x,y)处可 , 微
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
(3 g( ) r u v a ) g du r g av d rad
(4 g( ) u rv ) a u g dv r v a gd u rad
(5 g)r f(u a ) d f(u )gr uad
例4.
求
gradx2
1
y2
解:
令f (x,
y)
x2
1 y2
f x
cos 2 , cos 1 , cos 3
14
14
14
u 2xyz l P
2 x2z 14
1 x2y 14
3 14

(1,
1,
1
)
6 14
例2. 求函数 z3x2yy2在点P(2, 3)沿曲线 y x2 1
朝 x Байду номын сангаас大方向的方向导数.
三、物理意义
函数
场
(物理量的分布)
数量场 (数量函数) 如: 温度场, 电位场等
向量场(向量函数)
如: 力场,速度场等
可微函数 f (P) (势)
梯度场 grafd(P)
(向量场)
注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.
内容小结
1. 方向导数
• 三元函数 f(x,y,z)在点 P(x,y,z)沿方向 l (方向角
为,,) 的方向导数为
ffco sfco sfco s
l x
y
z
• 二元函数 f (x,y) 在点 P(x,y) 沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f fcosfcosf cosf sin
l x
y
x
y
2. 梯度
• 三元函数 f(x,y,z)在点 P(x,y,z)处的梯度为
1. 设函数 f(x,y,z)x2yz
(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线

x y

t 2t
2

1
在该点切线方向的方向导数;
z t 3
(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向
的夹角 .
2. P73 题 16
解答提示:
1. (1)
第七节
第八章
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、物理意义
一、方向导数
定义: 若函数 f (x, y) 在点 P(x, y) 处
沿方向 l (方向角为 , ) 存在下列极限:
l
P
P(x,y,z)
lim f lim f(x tco ,y stco ) s f(x ,y )记作 f