2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 遇到角平分线如何添加辅助线(课件)

第1题图
2. 如图，AB∥CD，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点E， AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE.若 AD＝8，则PE的最小值为___4___．
第2题图
3. 如图，∠MON＝30°，OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于 点Q.若OQ＝4，则点P到OM的距离为___2__．
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
方法一 过角平分线上一点向角两边作垂线
方法解读 如图，已知∠MON，点P是∠MON平分线上一点．
过角平分线上的点向角两边作垂线． 已知PA⊥OM， 添加辅助线，作PB⊥ON于点B.
结论：PA＝PB，OA＝OB，∠APO＝∠BPO等．
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°4 ，AD平分∠BAC交BC于点D，若 AC＝4，BC＝3，则CD的长为____3____．
第7题图
方法四 作角平分线的垂线，构造等腰三角形
方法解读 过角平分线上的点作角平分线的垂线，三线合一试试看． 已知AP⊥OP，延长AP交ON于点B.
结论：__R_t_△__A_O__P_≌__R_t_△__B_O__P_，__O_A__＝__O_B_，__A__P_＝__B_P__. __
8. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD. 若BD＝1，BC＝3，则AC的长为__5___．
结论：____△__A__O_P_≌__△__B__O_P_，__A__P_＝__B_P______
6. 如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线，若AC＝ 16，AD＝8，则线段BC的长为__2_4___．
第6题图
7. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B＋∠ADC＝180°， 若BC＝2，则DC的长为__2___．
第3题图
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BF是∠CBA的平 分线，过点A作AD⊥BF，交BF延长线于点D，若AD＝6，则BF的长 为__1_2___．
第4题图
5. 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，过点P作PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为点D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF. 求证：DF＝EF.
第1题图
2. 如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连 接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是__5_0___．
第2题图
3. 如图，∠ABP＝∠CBP，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠BAP
＋∠BCP＝180°，求证：AB＋BC＝2BD.
证明：如解图，过点P作PE⊥BA于点E，
证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
在Rt△OPD和Rt△OPE中，
OP＝OP
PD＝PE
,
∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL)，
第5题图
∴OD＝OE，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOF＝∠EOF，
在△ODF和△OEF中，
OD＝OE DOF＝EOF , OF＝OF
AB＝FB
F
ABD＝FBD ,
第6题图
BD＝BD
∴△ABD≌△FBD(SAS)，∴∠BFD＝∠A，AD＝DF，
∵AD＝DE， ∴DE＝DF， ∴∠DFC＝180°－∠A＝80°， 又∵∠ABC＝∠ACB＝40°， ∴∠FDC＝60°， ∵∠EDC＝∠ADB＝180°－∠ABD－∠A＝60°， ∴∠EDC＝∠FDC，
第5题图
∴BE⊥AM，
在△ABE和△MBE中，
3＝4
BE＝BE
,
AEB＝MEB
∴△ABE≌△MBE，∴AE＝ME，
在△ADE和△MCE中，
1＝M
AE＝ME
,
5＝6
∴△ADE≌△MCE，∴AD＝CM，
∴AB＝BM＝BC＋CM＝BC＋AD
M
第5题图
方法三 利用角平分线，构造对称图形
方法解读 图中有角平分线，可将图形对折看，对折以后关系现． 已知A为OM上任意一点，O为∠MON平分线上一点，连接AP.在ON 上截取OB＝OA，连接PB.
第8题图
9.
如图，在平行四边形ABCD中，BD为对角线，∠BAD的
平分线交BC于点E，过点B作BF⊥AE于点F，连接DF.已知S△ADF＝14， S△ABF＝10，则平行四边形ABCD的面积为__5_6___．
第9题图
综合训练
1. 如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA 交OB于点D，PE⊥OA于点E.若OD＝4，则PE的长为( A ) A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4
方法解读 角平分线＋平行线＝等腰三角形 1．过点P作PQ∥ON.
2．若∠MON 为钝角，过点P作PQ∥ON.
结论：△OPQ为等腰三角形． 知二推三：①点P为∠AOB(或其外角)平分线上一点；②PQ∥OB；③ △POQ为等腰三角形．知道其中任意两个条件，均可推出第三条结 论．
4. 如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC， 交DE于点F，若BC＝6，则DF的长为__3___．
第4题图
5. 如图，AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，连
接CE并延长交AP于点D.求证：AB＝AD＋BC.
M
证明：如解图，延长AE交BC的延长线于点M，
∵AE平分∠PAB，BE平分∠CBA，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠M＝∠2，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴BM＝BA，∠3＋∠2＝90°，
∴△ODF≌△OEF(SAS)，
∴DF＝EF.
第5题图
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD是∠ABC的平分线，
延长BD至点E，连接EC，DE＝AD，试求∠ECA的度数．
解：如解图，在BC上截取BF＝AB，连接DF，
∵BD是∠ABC的平分线，
Hale Waihona Puke ∴∠ABD＝∠FBD，在△ABD和△FBD中，
E
∴∠PEA＝∠PDC＝90°，
又∵∠BAP＋∠BCP＝180°，
∴∠PAE＝∠PCD.
又∵∠ABP＝∠CBP，P为BN上一点，且 PD⊥BC于点D，
第3题图
∴BE＝BD，PE＝PD，
∴△PEA≌△PDC， ∴AE＝CD， ∴AB＋BC＝BE－AE＋BD＋CD＝2BD.
E
第3题图
方法二 角平分线遇平行线，构造等腰三角形