有趣的数学游戏-三阶幻方

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19 13
2倍角格=不相邻的两个边格之和 ？=（13+19）÷2=16
三条直线上的数字的和=幻方所有数字之和+2个？-（19+13） 幻和=一条直线上的三个数字之和 所有数字之和=3×幻和 所以：三条直线上的数字的和=幻方所有数字之和 则：？=（13+19）÷2
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三阶幻方
风
子
编
辑
第一课 基础部分
幻方起源：大约两千多年前西汉时代，流传夏禹治水时，黄河中跃出一匹神马，马背上 驮着一幅图，人称「河图」；又洛水河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案 称为「洛书」.他们发现，这个图案每一列，每一行及对角线，加起来的数字和都是一样 的。
中国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的 数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方。
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原先每条边的和为：30+10+10=50 新的填法每条边的和为：50+15=65 总和减少，每边和增加，则应该把大数移到公共角的位置 则有：30+10+30=70 70-65=5 所以，四个10各减5，合计正好减了20.
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2 9 31 20 27 22
7 32 3 25 23 21 6 1 35 24 19 26 29 36 4 11 18 13 34 5 30 16 14 12 33 28 8 15 10 17
Merzirac法生成奇阶幻方：在第一行居中的方格内放1，依次向右上 方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向下移一格继续填写。
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
lou1b0 e1re2法1生9 成21奇3阶幻方：在居中的方格向上一格内放1，依次向右上 方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向上移二格继续填写。
11 18 25 2 9
23 6 19 2 15
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**以上方法只适合于n=4时**
平面幻方的构造二
单偶幻方：N 为4m+2的偶数 1）把大方阵分解为4个奇数(2m+1阶）子方阵。 按上述奇数阶幻方给分解的4个子方阵对应赋值。由小到大依次为
上左子阵（i），下右子（i+v），上右子阵（i+2v)，下左子阵（i+3v）， 即4个子方阵对应元素相差v，其中v=n*n/4 四个子矩阵由小到大排列方式为 ① ③④ ②
按三条红线排列三组等差或等比数列，再按红数字位置调整
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上下对调
左右对调
第二课 拓展部分
平面幻方的构造一
奇幻方：N 为奇数时
奇幻方：N 为奇数时 ⑴ 将1放在第一行中间一列； ⑵ 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放： 按 45°方向行走，如向右上 每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1 ⑶ 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。 例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1; ⑷ 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n
例：在下图空格上填上互不相等,且不大于15的自然数，使每行、每例、对角线上的和 为30。
ABC
D
E
F
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H
6 12 12
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为方便表述，对每个空格编号为A-H。 1、根据中心数是幻和的1/3，可得到E=10 2、根据幻和为30，可知C=30-10-8=12 3、根据A+H=B+G=D+F=20,且每个数不大于15， 则最小为5。符合条件的数对还
动动手： p.45随堂1
幻和与中央数：一个幻方的幻和=3×中央数=总和÷3
例1：（p.46例3）
动动手： p.46随堂3
已知三个数填写幻方
01
例1：（p.47例4）
02
动动手： p.47随堂4
A
B
C
D
E
F
G
H
I
对九宫格每个格子进行编号为A-I，设S=A+B+C +D+E+F+G+H+I，即九个数的和。 定义：幻和=A+B+C=D+E+F=G+H+I=A+D+G =B+E+H=C+F+I=A+E+I=C+E+G，即每条横、竖、 斜线上的三个数的和相等，为幻和。
列时， 则把下一个数放在上一个数的下面。
双偶幻方：N为4的倍数。采用对称元素交换法。 1)把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵 2)将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方
阵中心作对称交换，即a(i,j）与a(n+1-i,n+1-j）交换，所有其它 位置上的数不变。（或者将对角线不变，其它位置对称交换也可）
三个数相乘的幻方的属性：
20 2560 80
640
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320
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2 100 5
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三个数相乘的幻方的属性： 1、等差数列或者三组等差数列：找一个包含10的等差数列（如图） 或者：｛1、2、4｝、｛5、10、20｝、｛25、50、100｝ 2、角格的平方=不相邻的边格之积
17 5 13 21 9
4 12 25 8 16
11 24 7 20 3
错位补角
横补角，以中间行为基准，将突出的数字补回本 行所缺的方格内，4，5补到1的前，10补到6前， 16补到20后，21，22补到25后。从而重新得到 一个n*n方格。 对于所有的奇阶幻方，1-n*n从小到大填入n*n 的方格中。以n=5时，1-25为例。 横错位，将方格横向错位，每行错位数为 n-行 数，即第一行横向移动n-1位，第二行横向移动 n-2位...直到形成一个左低右高的楼梯。
幻方的发展：经过国内外幻方数学家和爱好者的研究，幻方 得到了快速的发展。从最初的三阶幻方发展到现在的高阶幻 方，由和幻方发展到乘幻方。对平面幻方的构造，分为三种 情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其它偶数(4n+2的形 式）。
清末民初数学家寿孝天
三阶幻方：就是将9个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使 每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等。 例1：（p.45例1）将1-9这9个数填入上图，使它成为一个三阶幻方。
其次利用红线和相等关系，知道下中间的数为2；利用蓝线和相等，得
到中右格数为4。
利用幻和=3×中间数
3×幻和=所有数，可知中间那个数为6。
这样其他几个利用幻和可以得到了。
本题与上体方法一样，自己尝试下Biblioteka 10 1589
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先在两条蓝线上确定左下角的数：1×10÷2=5，在两条线段上的公共格不 用考虑；再找有两个确定数的线段，通过未知角画出另外的线段，如图红 线，则可知左中格为：2×10÷5=4，右上格为：2×10÷1=20。利用一条 对角线上的三个数的积5×10×20=1000，可以得到其它几个数。
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三组｛22，26，30｝，为等差数列，所以先把中间数放中间； 以中间格为中心，画四条直线；在一条对角线上放与中间格相同的 数，另一条对角线上放两个不同的数；剩下四个位置只要保证同一 行或列上没有重复的数字。
3 10 5
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利用角格是不相邻的两个边数和的一半，可以得到右下角方格的数字；
3×幻和=（A+B+C）+（D+E+F）+（G+H+I）=S，即幻和是总和的1/3。 D+E+F=B+E+H=A+E+I=C+E+G，即4×幻和= A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E=3×幻和+3E 所以，3E=幻和，即E是幻和的1/3，是总和的1/9 S= （A+B+C）+（A+E+I）+（A+D+G）= （A+B+C）+（D+E+F）+（G+H+I） 所以，2A=F+H 同理可得：2G=B+F，2I=B+D，2C=D+H
2）此时各列和与幻和相同，对角线、上三行与下三行之和不符合幻和 要求。因此，只需在同列间交换数字。
上述交换使行列及对角线上元素之和相等。
2 9 4 20 27 22
7 5 3 25 23 21 6 1 8 24 19 26 29 36 31 11 18 13 34 32 30 16 14 12 33 28 35 15 10 17
4.竖错位，将方格纵向错位，每列错位数为 n-列数， 即第一列横向移动n-1位，第二列横向移动n-2位... 直到形成一个左低右高的楼梯。
5.竖补角，以中间列为基准，将突出的数字补回本 列所缺的方格内，17，23补到4上，24补到5上，2 补到21下，3，9补到22下。从而重新得到一个n*n 方格，及得到结果。
有四对：｛5,15｝、｛6,14｝、｛7,13｝、｛9,11｝，只有一堆为偶数。 4、选｛6、14｝放入任何格对中，因为偶数+偶数+偶数=偶数，但剩下的数都
是奇数，所以不符合。 5、选择包含最大数的一对｛5，15｝，如果15与12在同一行或列，则这行或列
的另一个数为3，小于5。所以，15不能与12在同一行或列，因此放在D格。 对应的F格则为5。 6、剩下的空格就很容易了。
小结：错位补角可以先横后竖，也可以先竖后横。楼梯可以左低右高，也可以左高右 低。只要保证横竖做出的楼梯方向相同，就能得到正确结果。一共可以求出4个答案。