三角恒等变换 章末复习课 Word版含答案 ]

题型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用
给值求值的重要思想是沟通已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各
角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·α2，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12
[(α＋β)＋(α－β)]，β＝12
[(α＋β)－(α－β)]等． 例1 已知α、β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13
，求cos β的值． 解 ∵α是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34
. ∴tan β＝tan [α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan αtan (α－β)＝139
. ∵β是锐角，故cos β＝91050
. 跟踪训练1 已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17
，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 解 tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝13
>0. 而α∈(0，π)，故α∈(0，π2
)． ∵tan β＝－17，0<β<π，∴π2
<β<π. ∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝12
>0， ∴－π<α－β<－π2
. ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．
∵tan(2α－β)＝tan [α＋(α－β)]
＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)
＝1，∴2α－β＝－3π4. 题型二 整体换元的思想在三角恒等变换中的应用
在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来(如例2令sin x －cos x ＝t )．
例2 求函数y ＝sin x ＋sin 2x －cos x (x ∈R )的值域．
解 令sin x －cos x ＝t ，
则由t ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x －π4知t ∈[－2，2]， 又sin 2x ＝1－(sin x －cos x )2＝1－t 2.
∴y ＝(sin x －cos x )＋sin 2x ＝t ＋1－t 2
＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54
. 当t ＝12时，y max ＝54
； 当t ＝－2时，y min ＝－2－1.
∴函数的值域为⎣
⎡⎦⎤－2－1，54. 跟踪训练2 求函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，x ∈R 的最值及取到最值时x 的值． 解 设sin x ＋cos x ＝t ，
则t ＝sin x ＋cos x ＝2⎝⎛
⎭
⎫22sin x ＋22cos x ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4， ∴t ∈[－2，2]，
∴sin x ·cos x ＝(sin x ＋cos x )2－12＝t 2－12
. ∴f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x
即g (t )＝t ＋t 2－12＝12
(t ＋1)2－1，t ∈[－2，2]． 当t ＝－1，即sin x ＋cos x ＝－1时，f (x )min ＝－1.
此时，由sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22
， 解得x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2
，k ∈Z . 当t ＝2，即sin x ＋cos x ＝2时，f (x )max ＝2＋12
. 此时，由2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4＝1. 解得x ＝2k π＋π4
，k ∈Z . 综上，当x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝－1；当x ＝2k π＋π4
，k ∈Z 时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝2＋12
. 题型三 转化与化归的思想在三角恒等变换中的应用
三角函数式的化简就是通过恒等变换化繁为简．其中切化弦、异名化同名、异角化同角等方法均为转化与化归思想的运用；三角恒等式的证明就是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简，左右归一或变更论证，也属转化与化归思想的应用．
例3 求证：tan 32x －tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x .
证明 ∵左边＝tan 32x －tan x 2＝sin 32x cos 32x －sin x 2cos x 2
＝sin 32x cos x 2－sin x 2cos 32x cos x 2cos 32x ＝sin x
12(cos 2x ＋cos x )＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝右边．
∴tan 32x －tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x
. 跟踪训练3 已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，17π12<x <7π4，求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x
的值． 解 sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝sin 2x ＋2sin 2x cos x cos x 1＋tan x
＝sin 2x (1＋tan x )1－tan x
＝sin 2x ·tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x .
∵17π12<x <7π4，∴5π3<x ＋π4
<2π， 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45
. ∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－43
. ∴cos x ＝cos ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4
＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫35－45＝－210
. ∴sin x ＝sin ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4－sin π4cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－7210
， sin 2x ＝725.∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x
＝－2875. 题型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用
方程(组)思想是中学重要的思想方法之一．借助三角函数公式构建关于某些量的方程(组)来
求解，也是三角求值中常用的方法之一．
例4 已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15
. (1)求证：tan A ＝2tan B .
(2)设AB ＝3，求AB 边上的高．
(1)证明 ∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15
， ∴⎩⎨⎧ sin A cos B ＋cos A sin B ＝35，sin A cos B －cos A sin B ＝15
⇒⎩⎨⎧ sin A cos B ＝25，cos A sin B ＝15
⇒tan A tan B
＝2. ∴tan A ＝2tan B . (2)解 ∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35
， ∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B
＝－34. 将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得
2tan 2B －4tan B －1＝0，
解得tan B ＝2±62，舍去负值，得tan B ＝2＋62
. ∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6.
设AB 边上的高为CD ，
则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD 2＋6
， 由AB ＝3，得CD ＝2＋ 6.
∴AB 边上的高等于2＋ 6.
跟踪训练4 已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝
825
，求cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8 的值．
解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)，
|m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2
＝4＋22(cos θ－sin θ)
＝ 4＋4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝2 1＋cos ⎝⎛⎭
⎫θ＋π4. 由已知|m ＋n |＝
825，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝725. 又cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭
⎫θ2＋π8－1， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝1625.
∵π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8
. ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝－45
. [呈重点、现规律]
本章所学的内容是重要的三角恒等变换，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质．。