最新江苏省2022-2021年高三(上)10月月考数学试卷(解析版)

高三（上）10月月考数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B=．
2．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）
3．计算：=．
4．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=．
5．函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为．
6．若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则实数a的取值范围为．7．若方程2x+x=4的解所在区间为[m，m+1]（m∈Z），则m=．
8．若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为．
9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是．
10．设周期函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m2﹣m，则m的取值范围是．
11．已知1+2x+4x•a＞0对一切x∈（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是．
12．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是．
13．设方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，函数f （x）=（x+p）（x+q）+2，则f （2），f （0），f （3）的大小关系为．
14．设方程|ax﹣1|=x的解集为A，若A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是．
二、解答题
15．已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B=，（1）当a=2时，求A∩B；
（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．
16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0
无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．17．设函数．
（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；
（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；
（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式的解集．
18．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部销售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）最新年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？
19．已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
高三（上）10月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B={0，1} ．
【考点】交集及其运算．
【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由B中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，
解得：0≤x≤1，即B=[0，1]，
∵A={0，1，2}，
∴A∩B={0，1}，
故答案为：{0，1}
2．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，
由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
则（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），
故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
3．计算：=11．
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．
【解答】解：
=+3+（0.5）﹣2
=4+3+4
=11．
故答案为：11．
4．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=2．
【考点】幂函数的性质．
【分析】把幂函数y=xα的图象经过的点（2，）代入函数的解析式，求得α的值，即可得到函数解析式，从而求得f（4）的值．
【解答】解：∵已知幂函数y=xα的图象过点（2，），则2α=，
∴α=，故函数的解析式为f（x）=x，
∴f（4）=4=2，
故答案为：2．
5．函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）．
【考点】复合函数的单调性．
【分析】由真数大于0求出函数的定义域，进一步得到内函数的减区间，然后由复合函数的单调性得答案．
【解答】解：由2x2﹣3＞0，得x或x．
∵内函数t=2x2﹣3在（﹣）上为减函数，且外函数y=lnt为定义域上的增函数，
∴函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）．
故答案为：（﹣）．
6．若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则实数a的取值范围为（﹣
1，3）．
【考点】特称命题．
【分析】命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则命题“∀x∈R，x2+（a ﹣1）x+1＞0”是真命题，可得△＜0，解出即可得出．
【解答】解：命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，
则命题“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1＞0”是真命题，
则△=（a﹣1）2﹣4＜0，
解得﹣1＜a＜3．
则实数a的取值范围为（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
7．若方程2x+x=4的解所在区间为[m，m+1]（m∈Z），则m=1．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】方程2x+x=4的解转化为函数f（x）=2x+x﹣4的零点问题，把区间端点函数值代入验证即可．
【解答】解：令f（x）=2x+x﹣4，
由y=2x和y=x﹣4均为增函数，
故f（x）=2x+x﹣4在R上为增函数，
故f（x）=2x+x﹣4至多有一个零点，
∵f（1）=2+1﹣4＜0
f（2）=4+2﹣4＞0
∴f（x）=2x+x﹣4在区间[1，2]有一个零点，
即方程方程2x+x=4的解所在区间为[1，2]，
故m=1，
故答案为：1
8．若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为﹣e．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数得y′=lnx+1，从而得到切线的
斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（lnx0+1）x﹣x0，对照已知直线列出最新x0、m的方程组，解之即可得到实数m的值．
【解答】解：设切点为（x0，x0lnx0），
对y=xlnx求导数，得
∴切线的斜率k=lnx0+1，
故切线方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），
整理得y=（lnx0+1）x﹣x0，
与y=2x+m比较得，
解得x0=e，故m=﹣e．
故答案为：﹣e
9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是
（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．
【考点】函数的值域．
【分析】f（x）是分段函数，在每一区间内求f（x）的取值范围，再求它们的并集得出值域；由f（x）的值域为R，得出a的取值范围．
【解答】解：函数f（x）=，
当x＞2时，f（x）=2x+a，在（2，+∞）上为增函数，f（x）∈（4+a，+∞）；当x≤2时，f（x）=x+a2，在（﹣∞，2]上为增函数，f（x）∈（﹣∞，2+a2]；若f（x）的值域为R，则（﹣∞，2+a2]∪（4+a，+∞）=R，
则2+a2≥4+a，
即a2﹣a﹣2≥0
解得a≤﹣1，或a≥2，
则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．
10．设周期函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m2﹣m，则m的取值范围是（﹣1，2）．
【考点】函数奇偶性的判断；函数的周期性．
【分析】根据f（x）为奇函数且周期为3便可得到f（2）=﹣f（1），这便得到f （1）=﹣m2+m，根据f（1）＞﹣2即可得到﹣m2+m＞﹣2，解该不等式即可得到m的取值范围．
【解答】解：根据条件得：f（2）=f（2﹣3）=f（﹣1）=﹣f（1）=m2﹣m；
∴f（1）=﹣m2+m；
∵f（1）＞﹣2；
∴﹣m2+m＞﹣2；
解得﹣1＜m＜2；
∴m的取值范围为（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
11．已知1+2x+4x•a＞0对一切x∈（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是（﹣，+∞）．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】分离出参数a后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值．
【解答】解：1+2x+4x•a＞0可化为a＞，
令t=2﹣x，由x∈（﹣∞，1]，得t∈[，+∞），
则a＞﹣t2﹣t，
﹣t2﹣t=﹣在[，+∞）上递减，当t=时﹣t2﹣t取得最大值为﹣，所以a＞﹣．
故答案为：（﹣，+∞）．
12．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围
是（3，+∞）．
【考点】对数函数的值域与最值；对数的运算性质．
【分析】画出函数f（x）的图象，则数形结合可知0＜a＜1，b＞1，且ab=1，再将所求a+2b化为最新a的一元函数，利用函数单调性求函数的值域即可
【解答】解：画出y=|lgx|的图象如图：
∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），
∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1
∴﹣lga=lgb
即ab=1
∴y=a+2b=a+，a∈（0，1）
∵y=a+在（0，1）上为减函数，
∴y＞1+=3
∴a+2b的取值范围是（3，+∞）
故答案为（3，+∞）
13．设方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，函数f （x）=（x+p）（x+q）+2，则f （2），f （0），f （3）的大小关系为f（3）＞f（2）=f（0）．【考点】二次函数的性质．
【分析】把两个方程分别看作指数函数与直线y=﹣x﹣2的交点B和对数函数与直线y=﹣x﹣2的交点A的横坐标分别为p和q，而指数函数与对数函数互为反函数则最新y=x对称，求出AB的中点坐标得到p+q=﹣2；然后把函数f（x）化
简后得到一个二次函数，对称轴为直线x=﹣=1，所以得到f（2）=f（0）且根据二次函数的增减性得到f（2）和f（0）都小于f（3）得到答案．
【解答】解：如图所示：
，
方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0可以分别看作方程方程2x=﹣x﹣2和方程log2x=﹣x﹣2，
方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，
即分别为函数y=2x与函数y=﹣x﹣2的交点B横坐标为p；y=log2x与y=﹣x﹣2的交点C横坐标为q．
由y=2x与y=log2x互为反函数且最新y=x对称，所以BC的中点A一定在直线y=x 上，
联立得，解得A点坐标为（﹣1，﹣1），
根据中点坐标公式得到=﹣1即p+q=﹣2，
则f（x）=（x+p）（x+q）+2=x2+（p+q）x+pq+2为开口向上的抛物线，
且对称轴为x=﹣=1，
得到f（0）=f（2）且当x＞1时，函数为增函数，所以f（3）＞f（2），
综上，f（3）＞f（2）=f（0）
故答案为：f（3）＞f（2）=f（0）．
14．设方程|ax﹣1|=x的解集为A，若A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是a=
﹣1或﹣≤a≤1或a≥．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】将绝对值不等式转化为不等式组，然后解之．
【解答】解：∵A⊂≠[0，2]，
方程两边平方得a2x2﹣2ax+1=x2，整理得（a2﹣1）x2﹣2ax+1=0，
当a=1时，方程为|x﹣1|=x，解得x=，A={}，满足题意；
当a=﹣1时，方程为|x+1|=x，解得x=﹣，A=∅，满足题意；
当a2﹣1≠0时，方程等价于[（a+1）x﹣1][（a﹣1）x﹣1]=0，
要使A⊂≠[0，2]，①两根为正根时，只要0≤≤2并且0≤≤2，解得a ≥且a≥，所以a≥；
②当＞0并且＜0时，只要0≤≤2，解得﹣≤a＜1；
所以A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是﹣≤a≤1或a≥；
故答案为：a=﹣1或﹣≤a≤1或a≥．
二、解答题
15．已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B=，（1）当a=2时，求A∩B；
（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．
【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．
【分析】（1）把a的值分别代入二次不等式和分式不等式，然后通过求解不等式化简集合A，B，再运用交集运算求解A∩B；
（2）把集合B化简后，根据集合A中二次不等式对应二次方程判别式的情况对a进行分类讨论，然后借助于区间端点值之间的关系列不等式组求解a的范围．【解答】解：（1）当a=2时，A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}={x|x2﹣9x+14=0}=（2，7），
B=={x|}=（4，5），
∴A∩B=（4，5）
（2）∵B=（2a，a2+1），
①当a＜时，A=（3a+1，2）
要使B⊆A必须，此时a=﹣1，
②当时，A=∅，使B⊆A的a不存在．
③a＞时，A=（2，3a+1）要使B⊆A，
必须，此时1≤a≤3．
综上可知，使B⊆A的实数a的范围为[1，3]∪{﹣1}．
16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．
【分析】通过p为真，求出实数m的取值范围；通过q为真，利用判别式小于0，即可求实数m的取值范围，通过p或q为真，p且q为假，分类讨论求出求实数m的取值范围．
【解答】解：p：方程有负根m=﹣=﹣（x+）≥2；
q：方程无实数根，即△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，
∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
∴p、q一真一假，
当p为真q为假时，解得m≥3，
当p为假q为真时，，解得1＜m＜2，
∴1＜m＜2或m≥3，
所以实数m的取值范围为1＜m＜2或m≥3．
17．设函数．
（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；
（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；
（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式的解集．
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断函数f（x）不是奇函数；
（2）根据奇函数的性质建立方程即可求a与b的值；
（3）根据函数单调性的定义或性质证明函数f（x）的单调性，并利用单调性的性质解不等式．
【解答】解：（1）当a=b=2时，，
∵，f（1）=0，
∴f（﹣1）≠﹣f（1），
∴函数f（x）不是奇函数．
（2）由函数f（x）是奇函数，得f（﹣x）=﹣f（x），
即对定义域内任意实数x都成立，
整理得（2a﹣b）•22x+（2ab﹣4）•2x+（2a﹣b）=0对定义域内任意实数x都成立，
∴，
解得或
经检验符合题意．
（3）由（2）可知
易判断f（x）为R上的减函数，
证明：∵2x+1在定义域R上单调递增且2x+1＞0，
∴在定义域R上单调递减，且＞0，
∴在R上单调递减．
由，不等式，
等价为f（x）＞f（1），
由f（x）在R上的减函数可得x＜1．
另解：由得，即，
解得2x＜2，∴x＜1．
即不等式的解集为（﹣∞，1）．
18．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部销售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）最新年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？
【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=x2+10x （万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+﹣1450，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；
（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，
∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，
①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，
∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=﹣+40x﹣250；
②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，
∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．
综合①②可得，L（x）=；
（2）①当0＜x＜80时，L（x）=﹣+40x﹣250=﹣+950，
∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；
②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣200=1000，
当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中得到切点的坐标，利用导数求出直线切线，即可求出切线方程；
（Ⅱ）求出f′（x）=0时x的值，分0＜a≤2和a＞2两种情况讨论函数的增减性分别得到f（﹣）和f（）及f（﹣）和f（）都大于0，联立求出a的解集的并集即可．
【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，
∴f（2）=3；
∵f′（x）=3x2﹣3x，
∴f′（2）=6．
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3=6（x﹣2），
即y=6x﹣9；
（Ⅱ）解：f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1）．
令f′（x）=0，
解得x=0或x=．
以下分两种情况讨论：
（1）若0＜a≤2，则；
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x （﹣，0）0（0，）f′（x）+0﹣
f（x）增极大值减
当时，f（x）＞0，等价于即．
解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；
（2）若a＞2，则
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
0（0，）（，）x
（﹣，0）
f′（x）+0﹣0+
f（x）增极大值减极小值增
当时，f（x）＞0等价于即
解不等式组得或．
因此2＜a＜5．
综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．。