2019-2020年高三上学期期末考试数学理(2021年整理)
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2019-2020年高三上学期期末考试数学理(word版可编辑修改)
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2019—2020年高三上学期期末考试数学理
xx 。
1
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1。
“”是“直线和直线互相垂直”的
A.充分不必要条件
B 。
必要不充分条件 C.充要条件
D 。
既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】当时,直线为,此时两直线不垂直,所以,所以的斜率为,若直线垂直,则有,即,所以“”是“直线和直线互相垂直"的充要条件 ,选C 。
2。
如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为1,则该几何体的体积为
A. B. C. D 。
1 【答案】A
【解析】由三视图可知,该几何体是四棱锥,底面为边长为1的正方形,高为1的四棱锥,所以体积为,选A.
3.设0.533,log 2,cos 2a b c ===,则
A.
B 。
C. D 。
【答案】A
【解析】,,,,,所以,选A 。
4.设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-=,若,则等于
A. B 。
C. D.3
【答案】B
【解析】因为,所以,即。
所以tan 1211tan()41tan 123πααα---===++,选B. 5。
已知集合,集合,则如图所示的韦恩图中阴影部分所表示的集合为
A.
B.
C. D. 【答案】C
【解析】{}222{20}{02}M x y x x x x x x x ==-=-≥=≤≤,{}3,0{1}x N y y x y y ==>=>,则阴影部分为{}x x M N x M N ∈∉且
,,所以,即阴影部分为{}{012}x x M
N x M N x x x ∈∉=≤≤>且或,即,选C 。
6。
由曲线,直线及轴所围成的曲边四边形的面积为
A. B. C. D 。
【答案】C
【解析】由得,由1y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得,所以曲边四边形的面积为1321
30101111ln ln 322xdx dx x x x +=+=
+⎰⎰,选C.
7.函数是
A.最小正周期为的偶函数
B 。
最小正周期为的奇函数
C 。
最小正周期为的偶函数
D 。
最小正周期为的奇函数
【答案】B 【解析】212sin ()cos
2()cos(2)sin 2442
y x x x x πππ=--=-=-=,所以周期,所以函数为奇函数,所以选B 。
8。
下列命题正确的是
A 。
若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
【答案】C
【解析】A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线可能平行,也可能相交或异面,所以错误.B 中,若三点共线,则两平面不一定平行,所以错误。
C 正确.D 若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行或相交,所以错误。
所以命题正确的为C,选C 。
9。
设,函数的图象可能是
【答案】B
【解析】由图象可知。
()()2()y f x x a x b ==--,则,排除A ,C.,当时,()()2
()0f x x a x b =--<,排除D,选B.
10。
已知不等式组210y x y kx y ≤-+⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为面积等于的三角形,则实数的值为
A 。
B 。
C. D.1
【答案】D
【解析】由图象知。
当时,..,所以,即由,得,所以11211 (2)
2
14
ABC
k
S
k k
∆
-
=-⨯=
+
,解得或(舍去),
所以,选D。
11。
以双曲线的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线线相切的圆的方程是
A。
B。
C. D。
【答案】D
【解析】双曲线的右焦点为,双曲线的渐近线为,不妨取渐近线,即,所以圆心到直线的距离
等于圆的半径,即
22
3232
3
63
(2)2
r====
+
,所以圆的标准方程为,选D。
12。
函数(其中)的图象如图所示,为了得到的图象,则只需将的图象
A.向右平移个长度单位B。
向右平移个长度单位
C。
向左平移个长度单位D。
向左平移个长度单位
【答案】A
【解析】由图象可知,,即周期,所以,所以函数为。
又
77
()sin(2)1
1212
f
ππ
ϕ
=⨯+=-,即,所以,
即,因为,所以当时,,所以.()sin2sin[2()]
63
g x x x
ππ
==-+,所以只需将的图象向右平移,即
可得到的图象,所以选A。
二、填空题:本大题共4个小题,每小题4分,共16分.请把答案填在答题纸的相应位置上。
13。
设非零向量满足,则__________。
【答案】或
【解析】因为,所以,所以所,以,即,所以
2
1
1
2
cos,
2
b
a b
a b
a b a b
-
<>===
-,所以。
14.下面图形由小正方形组成,请观察图1至图4的规律,并依此规律,写出第个图形中小正方形的个数是___________。
【答案】
【解析】
1234
1,3,6,10
a a a a
====,所以
213243
2,3,4
a a a a a a
-=-=-=,,等式两边同时累加得,即
(1)
12
2
n
n n
a n
+
=+++=,所以第个图形中小正方形的个数是。
15.已知F是抛物线的焦点,M、N是该抛物线上的两点,,则线段MN的中点到轴的距离为__________.
【答案】
【解析】抛物线的焦点为,准线为。
,过M,N分别作准线的垂线,则','
MM MF NN NF
==,所以''3
MM NN MF NF
+=+=,所以中位线
''3
'
22
MM NN
PP
+
==,所以中点到轴的距离为。
16。
已知函数的定义域为,部分对应值如下表,的导函数的图像如图所示,给出关于的下列命题:
①函数时,取极小值②函数是减函数,在是增函数,③当时,函数有4个零点④如果当时,的最大值是2,那么的最小值为0,其中所有正确命题序号为_________。
【答案】①③④
【解析】由导数图象可知,当或时,,函数递增。
当或时,,函数递减。
所以在处,函数取得极
小值,所以①正确,②错误。
当时,由得。
由图象可知,此时有四个交点,所以③正确。
当时,的最大值是2,由图象可知,所以的最小值为0,所以④正确.综上所有正确命题序号为①③④。
三、解答题:本大题共6个小题,满分74分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
请将解答过程写在答题纸的相应位置。
17。
(本小题满分12分)
的内角A、B、C所对的边分别为,且sin sin sin2sin
+=+
a A
b B
c C a B
(I)求角C;
(II)求的最大值。
18。
(本小题满分12分)
在等差数列中,,其前项和为,等比数列的各项均为正数,,公比为,且
(I)求与;
(II )设1121,n n n n T a b a b a b n N +-=++⋅⋅⋅+∈,求的值。
19。
(本小题满分12分)
如图,四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD.底面ABCD 为直角
梯在棱PA 上,且
形,90,//,,2.ABC AD BC AB AD PB BC AD ∠====点E
PE=2EA.
(I )求证:平面PBD ;
(II )求二面角A —BE —D 的余弦值。
20.(本小题满分12分)
小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该年每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第年年底出售,其销售价格为25万元(国家规定大货车的报废年限为10年)。
(I)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?
(II 在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?)
(利润=累计收入+销售收入—总支出)
21.(本小题满分12分)
已知椭圆的离心率为、分别为椭圆C 的左、右焦点,过F 2的直线与C 相交于A 、B 两点,的周长为.
(I)求椭圆C 的方程;
(II )若椭圆C 上存在点P ,使得四边形OAPB 为平行四边形,求此时直线的方程.
22。
(本小题满分14分)
已知函数()()ln f x x x ax a R =+∈
(I )若函数在区间上为增函数,求的取值范围;
(II)若对任意()()()
∈+∞>-+-恒成立,求正整数的值.
1,,1
x f x k x ax x
2019-2020年高三上学期期末考试数学理科试题
高三数学(理科) xx.1
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合,{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ,则( )
(A )(B )(C )(D )
【答案】D 【解析】1{|(21)(1)0}{1}2
B x x x x x x =-+>=><-或,所以{01}A B x x x =><-或,即,选D. 2.在复平面内,复数的对应点位于( )
(A)第一象限(B )第二象限(C )第三象限(D)第四象限
【答案】B
【解析】55(2)5(2)122(2)(2)5
i i i i i i i i i ++===-+-+-,,对应的点的坐标为,所以在第二象限,选B. 3.在极坐标系中,已知点,则过点且平行于极轴的直线的方程是( )
(A )(B )(C )(D)
【答案】A
【解析】先将极坐标化成直角坐标表示, 转化为点
cos 2cos sin 2sin 166x y π
π
ρθρθ======,即,过点且平行于轴的直线为,在化为极坐
标 为,选A.
4.执行如图所示的程序框图.若输出, 则框图中
①处可以填入()
(A)(B)(C)(D)
【答案】C
【解析】第一次循环,满足条件,;第二次循环,满足条件,;第三次循环,满足条件,;第四次循环,不满足条件,输出,此时,所以条件应为,选C。
5.已知函数,其中为常数.那么“"是“为奇函数”的( )
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若,则为奇函数.若为奇函数,则有,即,所以是为奇函数的充分必要条件,选C。
6.已知是正数,且满足.那么的取值范围是( )
(A)(B)(C)(D)
【答案】B
【解析】原不等式组等价为,做出不等式组对应的平面区域如图阴影部分,
,表示区域内的动点到原点距离的平方,由图象可知当在D点时,
最大,此时,原点到直线的距离最小,即,所以,即的取值范围是,选B 。
7.某四面体的三视图如图所示.该四面体的六条棱的长度中,最大的是( )
(A )(B)(C )(D )
【答案】C
【解析】由三视图可知该四面体为,其中,,,。
所以六条棱中,最大的为或者。
22222(23)216AC AE EC =+=+=,所以222216220VA AC VC =+=+=,此时。
22222(23)428AB AE EB =+=+=,所以,所以棱长最大的为,选C 。
8.将正整数随机分成两组,使得每组至少有一个数,则两组中各数之和相等的概率是( )
(A )(B )(C )(D)
【答案】B
【解析】将正整数随机分成两组,使得每组至少有一个数则有
123456777777722126C C C C C C +++++=-=种,因为123456728++++++=,所以要使两组中各数之和相,则有各组数字之和为14.则有;;;;;;;共8种,所以两组中各数之和相等的概率是,选B 。
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9。
已知向量,,.若向量与向量共线,则实数 _____.
【答案】
【解析】(1,3)+(21)(2,31)ka b k k k +=-=-+,
,因为向量与向量共线,所以,解得。
10.如图,△中,,,.以为直径的圆交于点,则 ;______【答案】,
【解析】因为,所以,又为直径,所以.所以,即341255
AC BC CD AB ⨯===。
,所以。
11.设等比数列的各项均为正数,其前项和为.若,,,则______.
【答案】6
【解析】设公比为,因为,所以,则,所以,又,即,所以.
12.已知椭圆 的两个焦点是,,点在该椭圆上.若,则△的面积是______. 【答案】
【解析】由椭圆的方程可知,且,所以解得,又,所以有,即三角形为直角三角形,所以△的
面积12211122
S F F PF ∆==⨯= 13.已知函数,其中.当时,的值域是______;若的值域是,则的取值范围是______.
【答案】,
【解析】若,则,,此时,即的值域是。
若,则,。
因为当或时,,所以要使的值域是,则有,即,所以,即的取值范围是。
14.已知函数的定义域为.若常数,对,有,则称函数具有性质.给定下列三个函数:
①; ②;③.
其中,具有性质的函数的序号是______.
【答案】①③.
【解析】由题意可知当时,恒成立,若对,有。
①若,则由得,即,所以,恒成立.所以①具有性质P。
②若,由得,整理,所以不存在常数,对,有成立,所以②不具有性质P.③若,则由得由33
+-+>---,整理得,所以当只要,则成立,所以③具有性质P,
()()()()
x c x c x c x c
所以具有性质的函数的序号是①③。
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)
在△中,已知.
(Ⅰ)求角的值;
(Ⅱ)若,,求△的面积.
16.(本小题满分14分)
如图,四棱锥中,底面为正方形,,平面,
为棱的中点.
(Ⅰ)求证:// 平面;
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
17.(本小题满分13分)
生产A,B两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于为正品,小于为次品.现随机抽取这两种元件各件进行检测,检测结果统计如下:
(Ⅰ)试分别估计元件A,元件B为正品的概率;
(Ⅱ)生产一件元件A,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件元件B,若是
正品可盈利50元,若是次品则亏损10元 .在(Ⅰ)的前提下,
(ⅰ)记为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量的分布列和数学期望;
(ⅱ)求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率.
18.(本小题满分13分)
已知函数,其中.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)设.若,使,求的取值范围.
19.(本小题满分14分)
如图,已知抛物线的焦点为.过点的直线交抛物线于,
两点,直线,分别与抛物线交于点,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)记直线的斜率为,直线的斜率为.证明:为定值.
20.(本小题满分13分)
如图,设是由个实数组成的行列的数表,其中表示位于第行第列的实数,且.记为所有这样的数表构成的集合.
对于,记为的第行各数之积,为的第列各数之
积.令
11()()()n n i j i j l A r A c A ===+∑∑.
(Ⅰ)请写出一个,使得;
(Ⅱ)是否存在,使得?说明理由;
(Ⅲ)给定正整数,对于所有的,求的取值集合.
北京市西城区xx — xx 第一学期期末
高三数学(理科)参考答案及评分标准
xx 。
1
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.D; 2.B ; 3.A ; 4.C ; 5.C ; 6.B ; 7.C ; 8.B .
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.; 10.,; 11.;
12.; 13.,; 14.①③.
注:10、13题第一问2分,第二问3分;14题结论完全正确才给分。
三、解答题:本大题共6小题,共80分。
若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标
准给分.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解法一:因为,
所以 2cos 2sin B B B =. ………………3分 因为 , 所以 ,
从而 , ………………5分
所以 . ………………6分 解法二: 依题意得 ,
所以 ,
即 . ………………3分
因为 , 所以 ,
所以 . ………………5分
所以 . ………………6分 (Ⅱ)解法一:因为 ,,
根据正弦定理得 , ………………7分 所以 . ………………8分
因为 , ………………9分
所以 5sin sin sin()1246C πππ==+= ………………11分
所以 △的面积13sin 22S AC BC C =
⋅=. ………………13分 解法二:因为 ,,
根据正弦定理得 , ………………7分 所以 . ………………8分
根据余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅, ………………9分
化简为 ,解得 . ………………11分 所以 △的面积13sin 22
S AB BC B +=
⋅=. ………………13分
16.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:连接与相交于点,连结.
因为四边形为正方形,所以为中点. 因为 为棱中点. 所以 . ………………3分 因为 平面,平面,
所以直线//平面. ………………4分
(Ⅱ)证明:因为平面,所以. ………………5分
因为四边形为正方形,所以,
所以平面. ………………7分
所以平面平面. ………………8分 (Ⅲ)解法一:在平面内过作直线.
因为平面平面,所以平面.
由两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系. …………9分
设,则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E . 所以 ,. 设平面的法向量为
,则有
所以 取,得. ………………11分
易知平面的法向量为. ………………12分 所以 |||cos ,|||||11
⋅=
=
〈〉n v n v n v . ………………13分
由图可知二面角的平面角是钝角,
所以二面角的余弦值为. ………………14分 解法二:取中点,中点,连结,. 因为为正方形,所以.
由(Ⅱ)可得平面. 因为,所以.
由两两垂直,建立如图所示
的空间直角坐标系. ………………9分
设,则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---.
所以 ,. 设平面的法向量为,则有
所以 取,得. ………………11分
易知平面的法向量为. ………………12分 所以|||cos ,|||||11
⋅=
=
〈〉n v n v n v . ………………13分 由图可知二面角的平面角是钝角,
所以二面角的余弦值为. ………………14分
17.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:元件A 为正品的概率约为. ………………1分
元件B 为正品的概率约为. ………………2分
(Ⅱ)解:(ⅰ)随机变量的所有取值为. ………………3分 ; ;
; . ………………7分
所以,随机变量的分布列为:
………………8分
3311
904530(15)66520520
EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=. ………………9分
(ⅱ)设生产的5件元件B 中正品有件,则次品有件. 依题意,得 , 解得 .
所以 ,或. ………………11分 设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件,
则 44
5531381()C ()()444128P A =⨯+=
.
………………13分
18.(本小题满分13分) (Ⅰ)解:① 当时,.
故的单调减区间为,;无单调增区间. ………………1分
② 当时,. ………………3分 令,得,. 和的情况如下:
故的单调减区间为,;单调增区间为.
………………5分
③ 当时,的定义域为. 因为在上恒成立,
故的单调减区间为,,;无单调增区间.
………………7分
(Ⅱ)解:因为,,
所以 等价于 ,其中. ………………9分 设,在区间上的最大值为.………………11分 则“,使得 ”等价于.
所以,的取值范围是. ………………13分
19.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解:依题意,设直线的方程为. ………………1分
将其代入,消去,整理得 . ………………4分
从而. ………………5分 (Ⅱ)证明:设,.
则
22
123434112
1222
2341231234
44
444
y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y -
---+=⨯=⨯=---+-. ………………7分 设直线的方程为,将其代入,消去, 整理得 . ………………9分
所以 . ………………10分 同理可得 . ………………11分 故
112121223412
444
k y y y y y y
k y y y y ++===--+-+. ………………13分 由(Ⅰ)得 ,为定值. ………………14分
20.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:答案不唯一,如图所示数表符合要求.
………………3分 (Ⅱ)解:不存在,使得. ………………4分 证明如下:
假设存在,使得. 因为, ,
所以,,,,,,,这个数中有个,个. 令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅.
一方面,由于这个数中有个, 个,从而. ①
另一方面,表示数表中所有元素之积(记这个实数之积为);也表示, 从而. ②
①、②相矛盾,从而不存在,使得. ………………8分 (Ⅲ)解:记这个实数之积为.
一方面,从“行”的角度看,有12()()()n p r A r A r A =⋅⋅⋅; 另一方面,从“列”的角度看,有12()()()n p c A c A c A =⋅⋅⋅.
从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅
⋅=⋅⋅
⋅. ③ ………………10分
注意到, .
下面考虑,,,,,,,中的个数:
由③知,上述个实数中,的个数一定为偶数,该偶数记为;则的个数为, 所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-. ………………12分 对数表:,显然.
将数表中的由变为,得到数表,显然. 将数表中的由变为,得到数表,显然. 依此类推,将数表中的由变为,得到数表. 即数表满足:11221(1)kk a a a k n ====-≤≤,其余.
所以 12()()()1k r A r A r A ==
==-,12()()()1k c A c A c A ==
==-.
所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-.
由的任意性知,的取值集合为{2(2)|0,1,2,
,}n k k n -=.……………13分。