2022-2023学年天津市河东区高一上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年天津市河东区高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．cos120︒的值是（ ）
A ．12
-
B ．12
C D ．【答案】A
【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果． 【详解】()1cos120cos 18060cos602
︒=-︒=-︒=-， 故选：A ．
2．已知扇形的面积为9，半径为3，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为（ ） A ．1 B ．π3
C ．2
D ．
2π3
【答案】C
【分析】利用扇形面积公式即可求解.
【详解】设扇形的圆心角的弧度数为()0αα>，由题意得2
1392α⋅=，得2α=.
故选：C.
3．若角α终边经过点()2,1-，则cos α=
A ．
B ．
C
D 【答案】B
【详解】分析：利用三角函数的定义，即可求出.
详解：角α终边经过点()2,1-，则r ==
由余弦函数的定义可得cos x r α== 故选B.
点睛：本题考查三角函数的定义，属基础题. 4．函数241
x
y x =
+的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】由函数的解析式可得：()()241
x
f x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，4
2011
y ==>+，选项B 错误. 故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
5．设0.4
0.580.5,log 0.3,log 0.4a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．c<a<b
D ．b<c<a
【答案】C
【分析】由题意利用指数函数的性质和对数函数的性质确定a ,b ,c 的范围即可比较其大小关系.
【详解】由题意可知：()0.4
0.580.5log 0.31,log 0.01,40,a b c ==>=<∈，则：c<a<b .
故选C .
【点睛】本题主要考查对数函数的性质，指数函数的性质，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．为了得到函数π
sin(2)3
y x =-的图象，可以将函数sin2y x ＝的图象（ ）
A ．向右平移π
6个单位长度
B ．向右平移π
3个单位长度
C ．向左平移π
6个单位长度
D ．向左平移π
3
个单位长度
【答案】A
【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论． 【详解】∵函数ππ
sin(2)sin[2()]36
y x x =-=-，
∴为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，可以将函数y =sin2x 的图象向右平移π
6
个单位长度．
故选A ．
7．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V ，满足5lg L V =+.已知某同学视力的
五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（
）()
1.259
A ．0.8
B ．1
C ．1.3
D ．1.5
【答案】A
【分析】将 4.9L =代入5lg L V =+中直接求解即可 【详解】由题意得 4.9L =， 所以4.95lg V =+，lg 0.1V =-，
所以0.1
1
0.110
111100.810 1.259
10V -==
=≈≈， 故选：A
8．函数()()1sin f x x x π=--在区间3722ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
,上的所有零点之和为（ ）
A ．0
B ．2π
C ．4π
D ．6π
【答案】C
【分析】把方程()0f x =变形，把零点个数转化为正弦函数图象与另一函数1
y x π
=-图象的交点个数，根据函数的对称性计算可得．
【详解】解：因为()()1sin f x x x π=--，令()0f x =，即()1sin x x π=-，当x π=时显然不成立， 当x π≠时1
sin x x π
=
-，作出sin y x =和1y x π=-的图象，如图，
它们关于点(,0)π对称，
由图象可知它们在3722ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
,上有4个交点，且关于点(,0)π对称，每对称的两个点的横坐标和为
2π，所以4个点的横坐标之和为4π．
故选：C ．
二、填空题 9．计算：22log sin log cos
12
12
π
π
+=______．
【答案】2-
【分析】根据给定条件利用对数运算法则，二倍角的正弦公式、特殊角的三角函数值计算作答. 【详解】222222log sin log cos
log sin
cos
)log sin )log 12
12
12
11222((26
π
π
π
π
π
-+====-. 故答案为：2-
10．cos66cos84sin66sin84︒︒︒︒-的值是_____. 【答案】3
##132
【分析】利用余弦的和差公式、诱导公式及特殊角的三角函数值可解.
【详解】()cos66cos84sin66sin8cos 6684co 104s 5︒︒︒︒=︒+︒=-︒()3cos 18030cos30=︒-︒=-︒=故答案为：3
. 11．函数()y f x =是定义在R 上周期为2的奇函数，若()0.51f -=-，则()2.5f =______． 【答案】1
【分析】根据给定条件利用周期性、奇偶性计算作答.
【详解】因函数()y f x =是R 上周期为2的奇函数，()0.51f -=-， 所以()2.5(0.5)(0.5)1f f f ==--=.
故答案为：1
【点睛】易错点睛：函数f (x )是周期为T 的周期函数，T 是与x 无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期.
12．已知()tan 2πα+=，α是第三象限角，则
()()sin sin 23cos 2cos 2παπαπαπα⎛⎫
++- ⎪⎝⎭=⎛⎫
+-+ ⎪⎝⎭
____________.（请用数字作答）
【答案】3
4
##0.75
【分析】利用诱导公式即可化简求解. 【详解】
()tan 2πα+=，
∴()tan tan 2παα+==.
由
()()sin sin 23cos 2cos 2παπαπαπα⎛⎫
++- ⎪⎝⎭
⎛⎫
+-+ ⎪⎝⎭
cos sin sin 2cos αα
αα
+=
+
cos sin cos cos sin 2cos cos cos αα
αααα
αα+=
+
1tan tan 2
α
α+=
+
12
22+=+ 34
=
. 故答案为：3
4
.
13．已知函数()12
32e ,2
log 1,2x x f x x x -⎧<=⎨-≥⎩，则()()1f f =____________. 【答案】3
4log 3
【分析】首先计算()12f =，再计算()()()12f f f =即可.
【详解】()0
12e 2f ==，()()()33
412log 41log 3
f f f ==-=. 故答案为：3
4log 3
三、双空题
14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.
如图2，将筒车抽象为一个几何图形（圆），以筒车转轮的中心O 为原点，过点O 的水平直线为x 轴建立如图直角坐标系xOy . 已知一个半径为1.6m 的筒车按逆时针方向每30s 匀速旋转一周，O 到水面的距离为0.8m.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（0P 时的位置）时开始计算时间，且设盛水筒M 从点0P 运动到点P 时所经过的时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），则d 关于t 的函数关系式为___________，在水轮转动的任意一圈内，点
P 距水面的高度不低于1.6m 的时长为___________s.
【答案】 151.6sin()0.8(0)6
d t t ππ
=-+≥ 10
【分析】根据给定信息，求出以Ox 为始边，OP 为终边的角，求出点P 的纵坐标即可列出函数关系，再解不等式作答.
【详解】依题意，点0P 到x 轴距离为0.8m ，而0|| 1.6m OP =，则06
xOP π
∠=，
从点0P 经t s 运动到点P 所转过的角为
23015
t t ππ=，因此，以Ox 为始边，OP 为终边的角为156t ππ-，
点P 的纵坐标为1.6sin()156t ππ-，于是得点P 距离水面的高度151.6sin()0.8(0)6d t t ππ
=-+≥，
由 1.6d ≥得：1sin()1562t ππ-≥，而0t ≥，即522,N 61566
k t k k ππππ
ππ+≤-≤+
∈，解得3053015,N k t k k +≤≤+∈，
对于k 的每个取值，3015(305)10k k +-+=，
所以d 关于t 的函数关系式为151.6sin()0.8(0)6
d t t ππ
=-+≥，水轮转动的任意一圈内，点P 距水面的高
度不低于1.6m 的时长为10s.
故答案为：151.6sin()0.8(0)6
d t t ππ
=-+≥；10
【点睛】关键点睛：涉及三角函数实际应用问题，探求动点坐标，找出该点所在射线为终边对应的角是关键，特别注意，始边是x 轴非负半轴.
四、解答题 15．求值
()1
23
3
031sin13864-
⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
(2)7log 2log lg125lg87++. 【答案】(1)16 (2)6.5
【分析】（1）根据指数幂的运算性质，求解即可； （2）根据对数的运算性质和运算律，求解即可.
【详解】（1）原式1122
3
32
2
33
53153111224224--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
53
1161622
=
--+= （2）原式3
2
33
log 3lg(1258)2lg100022
=+⨯+=++ 3
322
=
++ 6.5= 16．已知4sin 5α
，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
． (1)求cos α，tan α的值；
(2)求sin 24πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值．
【答案】(1)35
；4
3-.
(2).
【分析】（1）利用给定条件结合同角公式计算作答.
（2）由（1）结合二倍角公式求出sin 2,cos 2αα，再利用和角的正弦公式计算作答.
【详解】（1）因4sin 5α
，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则5
c os 3
α==-=，sin tan s 43co ααα=
=-， 所以cos α，tan α的值分别是35和4
3-.
（2）由（1）知，24sin 22sin cos 25ααα==-
，2
7cos 212sin 25
αα=-=-，
所以247sin(2)sin 2cos cos 2sin 4442525πππααα+=+=-=
17．已知函数()()lg 4f x x =-. (1)求()3f 的值； (2)求()f x 的定义域.
【答案】(2)[)0,4
【分析】（1）将3代入函数解析式即可求答案.
（2）根据根式的意义以及对数真数大于0，列出不等式组，可求答案.
【详解】（1）()()lg 433f =-（2）由310
40x x ⎧-≥⎨->⎩
，解得()f x 的定义域为[)0,4.
18．已知函数()sin(2)sin(2)cos 2166f x x x x ππ
=++-+-
(1)求()f x 的最小正周期；
(2)当[0,]4
x π
∈时，求()f x 的单调区间；
(3)在（2）的件下，求()f x 的最小值，以及取得最小值时相应自变量x 的取值. 【答案】(1)T π=
(2)()f x 的单调递增区间为[0,]6π，单调递减区间为[,]64
ππ
(3)当0x =时，()f x 的最小值为0
【分析】（1）根据周期公式计算即可.
（2）求出()f x 单调区间，然后与所给的范围取交集即可.
（3）根据（2）的结论，对()0f 与4f π⎛⎫
⎪⎝⎭进行比较即可.
【详解】（1）
()sin 2cos
cos 2sin
sin 2cos
cos 2sin
cos 216
6
6
6
f x x x x x x π
π
π
π
=++-+-
2cos212sin 216x x x π⎛
⎫=+-=+- ⎪⎝
⎭，
222
T πππω===，故()f x 的最小正周期为π.
（2）先求出增区间，即： 令()222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈
解得(),3
6
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈
所以在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上，当0,6x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增，当,64x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，函数()f x 单调递减；
所以()f x 的单调递增区间为[0,]6π，单调递减区间为[,]64
ππ
（3）由（2）所得到的单调性可得()02sin 106f π
=-=
，2sin 11426f πππ⎛⎫⎛⎫
=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以()f x 在0x =时取得最小值0.
19．已知函数()2
2e 1f x x x m =-++-，()2
e g x x x
=+()0x >．
(1)若()g x m =有零点，求m 的取值范围；
(2)试确定m 的取值范围，使得()()0g x f x -=有两个相异实根． 【答案】(1){}|2e m m ≥； (2)2e 2e 1m >-++.
【分析】（1）利用函数单调性的定义判断函数()2
e g x x x
=+在()0,∞+上的单调性，作出函数()g x 的
图象，数形结合即可求解；
（2）由（1）知()g x 的最小值，根据二次函数的性质可求出()f x 的最大值，由题意可知()g x 与()f x 的图象有两个不同的交点，结合图象可知()()max min f x g x >解不等式即可求解.
【详解】（1）任取()120,x x <∈+∞，则()()()()2
22121212121212
e e e x x x x g x g x x x x x x x ---=+--=，
当12e x x <<时，120x x -<，2
12e x x <，可得()()120g x g x ->即()()12g x g x >，
当21e x x >>时，120x x -<，2
12>e x x ，可得()()120g x g x -<即()()12g x g x <，
所以()2
e g x x x =+在()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增，()()min e 2e g x g ==，
作出函数()2
e g x x x
=+图象如图：
若()g x m =有零点，则有函数()y g x =与y m =图象有交点， 由图知：2e m ≥，故实数m 的取值范围为{}|2e m m ≥．
（2）若()()0g x f x -=有两个相异实根，即()g x 与()f x 的图象有两个不同的交点． 因为()()2
222e 1e 1e f x x x m x m =-++-=--+-+，对称轴为e x =，开口向下，
最大值为21e m -+，
由（1）知：()()min e 2e g x g ==，
在同一平面直角坐标系中，作出()2
e g x x x
=+()0x >和()f x 的图象，如图．
由图知当21e 2e m -+>即2e 2e+1m >-+时，
()g x 与()f x 的图象有两个不同的交点，即()()0g x f x -=有两个相异实根，
所以实数m的取值范围是2e2e+1
m>-+.
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