2019年高考数学(理科,天津课标版)二轮复习题型练 Word版含答案 8
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x
(-∞,0) 0
h'(x) -
0
(0,+∞) +
h(x) ↘
极小值 ↗
所以函数 h(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).
(2)证明 由 f'(x)=axln a,可得曲线 y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线斜率为������������1ln a.
1
1.
由 g'(x)=������������������������,可得曲线 y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线斜率为������2������������������
2������������(������������������)
������������������ ;
1
(3)证明当 a≥������������时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线,也是曲线 y=g(x)的切线.
������������������������������
1
6.设函数 f(x)= ������ ,g(x)=-2x+(a+b)(其中 e 为自然对数的底数,a,b∈R,且 a≠0),曲线 y=f(x)在点(1,f(1))
处的切线方程为 y=ae(x-1).
(1)求 b 的值;
[ ) (2)若对任意
x∈
1
������,
+
∞
,f(x)与
g(x)有且只有两个交点,求
a
的取值范围.
题型练 8 大题专项(六)
函数与导数综合问题
1.解 (1)因为 f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,
所以 f'(x)=[2ax-(4a+1)]ex+[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex=[ax2-(2a+1)x+2]ex(x∈R).
������2 + 1
. 所以 g(axn)>g(1)=e= ������
故(*)式亦恒成立.
≥1 综上所述,若 a ������2 - 1,则对一切 n∈N*,xn<|f(xn)|恒成立.
5.(1)解 由已知,h(x)=ax-xln a,有 h'(x)=axln a-ln a.
令 h'(x)=0,解得 x=0. 由 a>1,可知当 x 变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表:
当 x∈(2,+∞)时,f'(x)>0.
所以 f(x)在 x=2 处取得极小值.
若
a
≤
1
2,则当
x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1
≤
1
2x-1<0,所以
f'(x)>0.
所以 2 不是 f(x)的极小值点.
( ) 综上可知,a
的取值范围是
1
2,
+
∞
.
2.解 (1)由于 a≥3,故当 x≤1 时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,当 x>1 时,(x2-2ax+4a-2)-2|x1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式 F(x)=x2-2ax+4a-2 成立的 x 的取值范围为[2,2a].
题型练 8 大题专项(六) 函数与导数综合问题
1.(2018 北京,理 18)设函数 f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex. (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行,求 a; (2)若 f(x)在 x=2 处取得极小值,求 a 的取值范围.
{������,������ ≤ ������,
3.已知函数 f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).
(1)试讨论 f(x)的单调性;
(2)若 b=c-a(实数 c 是与 a 无关的常数),当函数 f(x)有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是(-∞,-3)
( ) ( ) ∪ 1,32
∪
3
2,
+
∞
,求
c
的值.
4.已知 a>0,函数 f(x)=eaxsin x(x∈[0,+∞)).记 xn 为 f(x)的从小到大的第 n(n∈N*)个极值点.证明:
1
因为这两条切线平行,故有������������1ln a=������2������������������,
即 x2������������1(ln a)2=1.
两边取以 a 为底的对数,
得 logax2+x1+2loga(ln a)=0,
2������������(������������������). 所以 x1+g(x2)=- ������������������
f'(1)=(1-a)e.
由题设知 f'(1)=0,即(1-a)e=0,解得 a=1.
此时 f(1)=3e≠0,所以 a 的值为 1.
(2)由(1)得 f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex.
( ) 1
∈
若 a>2,则当 x
���1���,2 时,f'(x)<0;ห้องสมุดไป่ตู้
此时,f(xn)=ea(nπ-φ)sin(nπ-φ)=(-1)n+1ea(nπ-φ)sin φ.
������(������������ + 1) = ( - 1)������ + 2������������[(������ + 1)������ - ������]������������������������
内单调递减.
( ) (2)由(1)知,函数 f(x)的两个极值为 f(0)=b,f
2������
-3
=
4
27a3+b,
( ) ( ) { { ������ > 0,
������ < 0,
则函数 f(x)有三个零点等价于 f(0)·f
-
2������ 3
=b
4 ������3 + ������
27
<0,从而
∪
1,32
∪
3
2,
+
∞
,
( ) ( ) ( ) 则在(-∞,-3)内 g(a)<0,且在 1,32
∪
3
2,
+
∞
内
g(a)>0
均恒成立,从而
g(-3)=c-1≤0,且
g
3 2
=c-1≥0,
因此 c=1.
此时,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a],
因函数有三个零点,则 x2+(a-1)x+1-a=0 有两个异于-1 的不等实根,所以 Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a3>0,且(-1)2-(a-1)+1-a≠0,
- 23������,0 内单调递减;
( ) ( ) ∪
当 a<0 时,x∈(-∞,0)
-
2������
3,
+∞
∈ 时,f'(x)>0,x
0,
-
2������ 3
时,f'(x)<0,
( ) ( ) 所以函数 f(x)在区间(-∞,0),
-
2������
3,
+
∞
内单调递增,在区间
0,
-
2������ 3
φ,公比为-eaπ 的等比数列.
1
1
(2)由(1)知,sin φ= ������2 + 1,于是对一切 n∈N*,xn<|f(xn)|恒成立,即 nπ-φ< ������2 + 1ea(nπ-φ)恒成立,等价于
������2 + 1
<
������������(������������ - ������)
当 2≤x≤6 时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.
{34 - 8������,3 ≤ ������ < 4,
所以,M(a)=
2,������ ≥ 4.
3.解 (1)f'(x)=3x2+2ax,
2������. 令 f'(x)=0,解得 x1=0,x2=- 3 当 a=0 时,因为 f'(x)=3x2>0(x≠0),
-
4 ������3
27
<
������
<
0或
0
<
������
<
- 247������3.
4
4
又 b=c-a,所以当 a>0 时,27a3-a+c>0 或当 a<0 时,27a3-a+c<0.
( ) ( ) 设
4
g(a)=27a3-a+c,因为函数
f(x)有三个零点时,a
的取值范围恰好是(-∞,-3)
1
φ=������
=
������2 - 1 >
3 且
0<φ<���2���知,���3���<φ<���2���.
2������ < 于是 π-φ< 3
������2
-
1,且当
n≥2
3������
时,nπ-φ≥2π-φ> 2
>
������2 - 1.
������������ - ������ ≠ 因此对一切 n∈N*,axn= ������2 - 1 1,
易知 f(xn)≠0,而 ������(������������)
( - 1)������ + 1������������(������������ - ������)������������������������ =-eaπ 是常数,故数列{f(xn)}是首项为 f(x1)=ea(π-φ)sin
即 x=mπ-φ,m∈N*.
对 k∈N,若 2kπ<x+φ<(2k+1)π,即 2kπ-φ<x<(2k+1)π-φ,则 f'(x)>0;若(2k+1)π<x+φ<(2k+2)π,即 (2k+1)π-φ<x<(2k+2)π-φ,则 f'(x)<0.
因此,在区间((m-1)π,mπ-φ)与(mπ-φ,mπ)上,f'(x)的符号总相反.于是当 x=mπ-φ(m∈N*)时,f(x)取得极 值,所以 xn=nπ-φ(n∈N*).
(2)①设函数 f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则 f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2, 所以,由 F(x)的定义知 m(a)=min{f(1),g(a)},
{ 0,3 ≤ ������ ≤ 2 + 2,
即 m(a)= - ������2 + 4������ - 2,������ > 2 + 2. ②当 0≤x≤2 时,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),
当 t>1 时,g'(t)>0,所以 g(t)在区间(1,+∞)内单调递增.
从而当 t=1 时,函数 g(t)取得最小值 g(1)=e.
������2 + 1
1.
因此,要使(*)式恒成立,只需 ������ <g(1)=e,即只需 a> ������2 - 1
而当
a=
1
������2 - 1时,由
tan
������
������(������������ - ������)(*)恒成立(因为 a>0).
设
������������
g(t)= ������ (t>0),则
������������(������ -
g'(t)= ������2
1). 令
g'(t)=0
得
t=1.
当 0<t<1 时,g'(t)<0,所以 g(t)在区间(0,1)内单调递减;
所以函数 f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增;
( ) ( ) ∈
当 a>0 时,x
2������
- ∞, - 3
∪
∈
(0,+∞)时,f'(x)>0,x
- 23������,0 时,f'(x)<0,
( ) ( ) 所以函数 f(x)在区间
2������
- ∞, - 3 ,(0,+∞)内单调递增,在区间
(3)证明 曲线 y=f(x)在点(x1,������������1)处的切线 l1:y-������������1 = ������������1ln a·(x-x1).曲线 y=g(x)在点(x2,logax2)处的切线
1
l2:y-logax2=������2������������������(x-x2).
2.已知 a≥3,函数 F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中 min{p,q}= ������,������ > ������. (1)求使得等式 F(x)=x2-2ax+4a-2 成立的 x 的取值范围; (2)①求 F(x)的最小值 m(a); ②求 F(x)在区间[0,6]上的最大值 M(a).
1
要证明当 a ≥ ������������时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线,也是曲线 y=g(x)的切线,只需证明当 a
(1)数列{f(xn)}是等比数列;
1
(2)若 a≥ ������2 - 1,则对一切 n∈N*,xn<|f(xn)|恒成立.
5.(2018 天津,理 20)已知函数 f(x)=ax,g(x)=logax,其中 a>1.
(1)求函数 h(x)=f(x)-xln a 的单调区间;
(2)若曲线 y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线 y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明 x1+g(x2)=-
( ) ( ) ∪
解得 a∈(-∞,-3)
1,32
∪
3
2,
+
∞
.
综上 c=1.
4.证明 (1)f'(x)=aeaxsin x+eaxcos x=eax(asin x+cos x)=
������2
+
1eaxsin(x+φ),其中
tan
1
������.
φ=������,0<φ<2
令 f'(x)=0,由 x≥0 得 x+φ=mπ,